第二十三章旋转课后培优训练（含答案）人教版2025—2026学年九年级上册

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第二十三章旋转课后培优训练人教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P（3，2）关于原点的对称点P′的坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（﹣3，﹣2）
3．如图，等腰△ABC中，∠A＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠BED的度数是（　　）
A．30° B．45° C．55° D．75°
4．如图，点A的坐标是（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（　　）
（4，6） B．（6，4）
C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）
5．一个正比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（n，﹣6）．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（　　）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝x D．y＝﹣x
6．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（　　）
A． B． C．2 D．
7．有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n的值可能为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
8．如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合（　　）
A．90° B．135° C．180° D．270°
9．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°后得到AE，连接DE，那么线段DE的长为（　　）
A． B．6 C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，连接对角线BD，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF．若CF＝1，则S△BDE＝（　　）
A． B． C． D．．04
二、填空题
11．已知点P（5，a）关于原点对称的点为Q（b，﹣6），则（a+b）2024的值为　 　 ．
12．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转得到的，点A′与点A对应，则旋转角度为　 °．
13．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点D恰好落在边AC上．若AB＝3，AE＝9，则CD的长为 　 　 ．
14．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是 　 ．
四、解答题
15．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为（7，8），（2，8），（10，4），（5，4）．
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标．
16．如图，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC内一点，连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转到CE，使∠DCE＝∠ACB，连结AD，DE，BE．
（1）求证：△CAD≌△CBE．
（2）当∠CAB＝60°时，求∠CBE与∠BAD的度数和．
17．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在边BC上．
（1）若∠A＝60°，求∠BDE的度数；
（2）若AC＝5，CE＝7，求BD的长度．
18．如图，将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE，DE的延长线恰好经过AC的中点F，连接AD，CE．
（1）求证：AE＝CE．
（2）若BC＝2，求AB的长．
19．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，连接AE，将AE绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在边CD的延长线上．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）连接BD、EF交于点M，若∠BAE＝20°，则∠BMF的度数为　160　 °．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠BAC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到AB上方，使得DE∥AB，连接CE，交AD于点F．
（1）求证：△ACE是等边三角形．
（2）若BC＝1，求DF的长．
21．如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4．
（1）将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；
（2）将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．
参考答案
一、选择题
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，点P（3，2）关于原点的对称点P′的坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（﹣3，﹣2）
【解答】解：点P（3，2）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣3，﹣2）．
故选：D．
3．如图，等腰△ABC中，∠A＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠BED的度数是（　　）
A．30° B．45° C．55° D．75°
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣120°）60°＝30°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△CDE，
∴BC＝CE，∠DCE＝∠DEC＝∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴，
∴∠BED＝∠BEC﹣∠CED＝75°﹣30°＝45°，
故选：B．
4．如图，点A的坐标是（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（　　）
（4，6） B．（6，4）
C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）
【解答】解：如图所示，
分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOM+∠BON＝∠A+∠AOM＝90°，
∴∠A＝∠BON．
在△AOM和△OBN中，
，
∴△AOM≌△OBN（AAS），
∴BN＝MO，ON＝AM．
∵点A的坐标为（﹣4，6），
∴BN＝MO＝4，ON＝AM＝6，
∴点B的坐标为（6，4）．
故选：B．
5．一个正比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（n，﹣6）．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（　　）
A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝x D．y＝﹣x
【解答】解：∵点A（2，m）和点B（n，﹣6）关于原点对称，
∴m＝6，
∴点A的坐标为（2，6）．
设正比例函数的表达式为y＝kx（k≠0），
∵点A（2，6）在正比例函数y＝kx的图象上，
∴6＝2k，
解得：k＝3，
∴正比例函数的表达式为y＝3x．
故选：A．
6．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：如图，连接BD，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，
∴∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，
又CD＝3，BC＝1，
∴BD＝，
∴AD＝，
故选：A．
7．有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n的值可能为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【解答】解：A．正六边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
B．正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
C．正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意；
D．正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
故选：C．
8．如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合（　　）
A．90° B．135° C．180° D．270°
【解答】解：图案可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是90°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，
故选：B．
9．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°后得到AE，连接DE，那么线段DE的长为（　　）
A． B．6 C． D．
【解答】解：∵BC＝AC＝AB＝6，D是BC的中点，
∴，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴，
由旋转的性质可得：AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴，
故选：C．
10．如图，在正方形ABCD中，连接对角线BD，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF．若CF＝1，则S△BDE＝（　　）
A． B． C． D．．04
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BD为正方形ABCD的对角线，
∴BC＝CD，∠CBD＝∠CDB＝45°，∠BCE＝90°，
∵BE平分∠DBC，
∴，
由旋转得CF＝CE＝1，∠CDF＝∠CBE＝22.5°，∠DCF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵∠BDF＝∠BDC+∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠BDE＝∠F，
∴BD＝BF，
设BC＝CD＝x，
则，BF＝BC+CF＝x+1，
∴，
解得：，
∴，
∵CF＝CE＝1，
∴DE＝CD﹣CE，
∴1，
故选：B．
二、填空题
11．已知点P（5，a）关于原点对称的点为Q（b，﹣6），则（a+b）2024的值为　1　 ．
【解答】解：由条件可知a＝6，b＝﹣5，
∴（a+b）2024＝（6﹣5）2024＝12024＝1，
故答案为：1．
12．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转得到的，点A′与点A对应，则旋转角度为　90　 °．
【解答】解：如图，分别作线段AA'，BB'的垂直平分线，相交于点O，
则线段A′B′是线段AB绕点O逆时针旋转90°得到的，
∴旋转角度为90°．
故答案为：90．
13．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点D恰好落在边AC上．若AB＝3，AE＝9，则CD的长为 　6　 ．
【解答】解：由题意可得AB＝3，AE＝9，
∴AC＝AE＝9，AD＝AB＝3，
∴CD＝AC﹣AD＝6，
故答案为：6．
14．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是 　2　．
【解答】解：如图，将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AC＝4，
∴AB＝2，BC＝2，
∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BHG，
∴△BPC≌△BHG，
∴BP＝BH，∠PBH＝60°，HG＝PC，BC＝BG＝2，∠PBC＝∠GBN，
∴△PBH是等边三角形，
∴PH＝BP，
∴PA+PB+PC＝PA+PH+HG，
∴当点A，点P，点H，点G共线时，PA+PH+HG有最小值，最小值为AG，
∵∠ABP+∠PBH+∠GBH＝∠ABP+∠PBC+∠PBH＝150°，
∴∠ABG＝150°，
∴∠GBN＝30°，
∵GN⊥AB，
∴GN＝BG＝，BN＝NG＝3，
∴AN＝5，
∴AG＝＝＝2，
∴PA+PB+PC的最小值是2，
故答案为：2．
四、解答题
15．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为（7，8），（2，8），（10，4），（5，4）．
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标．
【解答】解：（1）如图，画出△A1B1C1；
（2）以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积＝10×8﹣2××2×4﹣2××4×8＝40；
（3）如图，点E即为所求（答案不唯一），点E的坐标（6，6）．
16．如图，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC内一点，连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转到CE，使∠DCE＝∠ACB，连结AD，DE，BE．
（1）求证：△CAD≌△CBE．
（2）当∠CAB＝60°时，求∠CBE与∠BAD的度数和．
【解答】（1）证明：由旋转得，CD＝CE．
∵∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCE﹣∠DCB＝∠ACB﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE．
∵∠CBA＝60°，CA＝CB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°．
∴∠CBE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠CAB＝60°．
17．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在边BC上．
（1）若∠A＝60°，求∠BDE的度数；
（2）若AC＝5，CE＝7，求BD的长度．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴∠A＝∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝120°；
（2）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD＝5，CE＝BC＝7，
∴BD＝BC﹣CD＝2．
18．如图，将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE，DE的延长线恰好经过AC的中点F，连接AD，CE．
（1）求证：AE＝CE．
（2）若BC＝2，求AB的长．
【解答】（1）证明：∵将Rt△ABC绕直角顶点B逆时针旋转90°得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE，
∴∠BAC＝∠CDF，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠CDF+∠ACB＝90°，
∴DF⊥AC，
∵点F是AC中点，
∴DF垂直平分AC，
∴AE＝CE；
（2）解：∵△ABC≌△DBE，
∴BE＝CB＝2，
∴CE＝AE＝2，
∴AB＝AE+BE＝2+2．
19．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，连接AE，将AE绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在边CD的延长线上．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）连接BD、EF交于点M，若∠BAE＝20°，则∠BMF的度数为　160　 °．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得AF＝AE，∠EAF＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAE＝∠DAE+∠DAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：如图，设BD，AE交点为N，
由旋转的性质得AF＝AE，∠EAF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠AEF＝∠ABD＝45°，
∵∠ANB＝∠ENM，∠BAE＝20°，
∴∠BAE＝∠BME＝20°，
∴∠BMF＝180°﹣∠BAE＝160°，
故答案为：160．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠BAC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到AB上方，使得DE∥AB，连接CE，交AD于点F．
（1）求证：△ACE是等边三角形．
（2）若BC＝1，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝3∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝30°，
由旋转得AE＝AC，∠AED＝∠ACB＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝180°﹣∠AED＝90°，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝60°，
∴△ACE是等边三角形．
（2）解：∵∠AED＝90°，∠AEC＝60°，
∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEC＝30°，
∵DE＝BC＝1，∠DAE＝∠BAC＝30°，
∴∠EFD＝∠DAE+∠AEC＝90°，
∴DFDE，
∴DF的长为．
21．如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4．
（1）将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；
（2）将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．
【解答】解：（1）以C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于M1，延长NC交圆于M2，
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点，
∴CN平分∠ACB，CN＝AB＝×4＝2，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴M1是DE中点，
∴CM1＝DE＝×2＝1，
∴M、N距离的最小值是NM1＝CN﹣CM1＝2﹣1＝1，M、N距离的最大值是NM2＝CN+CM2＝2+1＝3．
（2）连接CM，CN，作NH⊥MC交MC延长线于H，
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点，
∴CN＝AB＝2，
同理：CM＝DE＝1，
∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°，
∴∠MCN＝120°，
∴∠NCH＝180°﹣∠MCN＝60°，
∴CH＝CN＝1，
∴NH＝CH＝，
∵MH＝MC+CH＝2，
∴MN＝＝．
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