第二十四章圆课后培优训练（含答案）人教版2025—2026学年九年级上册

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第二十四章圆课后培优训练人教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．在⊙O中，最长的弦是6cm，则⊙O的半径为（　　）
A．9cm B．6cm C．3cm D．1.5cm
2．下列说法中正确的是（　　）
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦
3．若正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
4．如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD＝60°，CD＝2，则AD的长（　　）
A．2 B． C． D．4
5．如图，点A、B、C是⊙O上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠AOB＝∠A+∠B B．∠AOB＝2（∠A+∠B）
C．∠AOB＝90°﹣（∠A+∠B） D．∠AOB＝180°﹣2（∠A+∠B）
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，I为△ABC的内心，ID⊥AB于点D，则ID的长为（　　）
A．2 B．1 C．3 D．
7．如图，点A，B，C，D在⊙O上，，∠A＝82°，∠B＝58°．若⊙O的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C．π D．
8．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的直径长是（　　）
A．15cm B．16cm C．18cm D．20cm
9．如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若，则⊙O的半径长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧，点O是这段弧所在圆的圆心，点C是上一点，OC⊥AB，垂足为点D，AB＝300m，CD＝50m，则弧所在圆的半径是（　　）
A．150m B．250m C．300m D．350m
填空题
11．圆锥体的底面直径6cm，母线长9cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为　 　 ．
12．若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为 　 ．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝ 　　°．
14．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝135°，AB⊥BD，以AB为y轴，BD为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，3），则圆的直径长度是 　 　．
三、解答题
15．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：；
（2）若∠BAC＝50°，求∠AOE的度数．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1至∠6是六个不同位置的圆周角．
（1）分别写出与∠1、∠2相等的圆周角，并求∠1+∠2+∠3+∠4的值；
（2）若∠1﹣∠2＝∠3﹣∠4，求证：AC⊥BD．
17．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CP交AB的延长线于点P，D为弧AC上一点，连接AD，DC，BC．
（1）如图1，若∠P＝42°，求∠ADC的大小；
（2）如图2，连接BD，若，BD＝8，求⊙O的半径．
18．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，连接OC，CD是⊙O的切线，交AB的延长线于点D，半径OE⊥AB，CE交AB于点F．
（1）求证：DC＝DF；
（2）若∠OEC＝15°，OE＝6，求图中阴影部分的面积．
19．如图，点A，B，C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，点E在AC的延长线上，连接．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AB＝AE＝6，DE＝3，求AD的长．
20．如图，AB为⊙O的直径，⊙O的切线CE交BA的延长线于点E，点D在上，，连接AC，BC．
（1）如图1，求证：∠CEA＝∠CAD；
（2）如图2，若∠CEB＝2∠CBE，，求的长．
参考答案
一、选择题
1．在⊙O中，最长的弦是6cm，则⊙O的半径为（　　）
A．9cm B．6cm C．3cm D．1.5cm
【解答】解：∵在⊙O中，最长的弦是6cm，
∴⊙O的直径为6cm，
∴⊙O的半径为3cm．
故选：C．
2．下列说法中正确的是（　　）
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦
【解答】解：A、错误．弦不一定是直径．
B、错误．弧是圆上两点间的部分．
C、错误．优弧大于半圆．
D、正确．直径是圆中最长的弦．
故选：D．
3．若正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
【解答】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得：
（n﹣2） 180°＝140°×n，
解得n＝9，
故选：D．
4．如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD＝60°，CD＝2，则AD的长为（　　）
A．2 B． C． D．4
【解答】解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∵CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，
∴AD2．
故选：C．
5．如图，点A、B、C是⊙O上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠AOB＝∠A+∠B B．∠AOB＝2（∠A+∠B）
C．∠AOB＝90°﹣（∠A+∠B） D．∠AOB＝180°﹣2（∠A+∠B）
【解答】解：连接CO并延长交⊙O于D，如图所示：
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠OCA，∠B＝∠OAB，
∴∠AOD＝∠A+∠OCA＝2∠A，∠BOD＝∠B+∠OAB＝2∠B，
∴∠AOD+∠BOD＝2（∠A+∠B），
即∠AOB＝2（∠A+∠B）．
故选：B．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，I为△ABC的内心，ID⊥AB于点D，则ID的长为（　　）
A．2 B．1 C．3 D．
【解答】解：过点I作IE⊥BC于E，IF⊥AC于E，连接IA、IB、IC，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴，
∴，
∵I为△ABC的内心，
∴ID＝IE＝IF，
∵S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI，
∴，
即，
解得：ID＝2，
故选：A．
7．如图，点A，B，C，D在⊙O上，，∠A＝82°，∠B＝58°．若⊙O的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C．π D．
【解答】解：连接AC、OA、OC、OD，
∵，
∴AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝58°，
∴∠BAC＝180°﹣58°×2＝64°，
∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝82°﹣64°＝18°，
∴∠COD＝2∠CAD＝36°，
∵∠B＝58°，
∴∠AOC＝2∠B＝116°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝116°﹣36°＝80°，
∴的长为，
故选：A．
8．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的直径长是（　　）
A．15cm B．16cm C．18cm D．20cm
【解答】解：如图所示，连接OE，OF，过点O作OM⊥EF于点M，延长MO交BC于点N，
∴EF＝CD＝MN＝12cm，，
设圆的半径为rcm，则OE＝OF＝ON＝rcm，OM＝MN﹣ON＝（12﹣r）cm，
在Rt△EMO中，OE2＝EM2+OM2，
∴r2＝62+（12﹣r）2，
解得，即圆的半径为，
∴球的直径长为，
故选：A．
9．如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若，则⊙O的半径长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，连接OD、BD，
∵PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，
∴PC＝PB＝2，AB⊥PB，
∵AB⊥CD，
∴CD∥PB，
∵CD＝PB，
∴四边形CPBD为平行四边形，
∴BD＝PC＝2，
∵AB⊥CD，
∴DECD，
由勾股定理得：BE3，
在Rt△DOE中，OD2＝OE2+DE2，即OD2＝（3﹣OD）2+（）2，
解得：OD＝2，
故选：B．
10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧，点O是这段弧所在圆的圆心，点C是上一点，OC⊥AB，垂足为点D，AB＝300m，CD＝50m，则弧所在圆的半径是（　　）
A．150m B．250m C．300m D．350m
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝150m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r m得：r2＝（r﹣50）2+1502，
解得：r＝250，
∴这段弯路的半径为250m；
故选：B．
填空题
11．圆锥体的底面直径6cm，母线长9cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为　120°　 ．
【解答】解：∵圆锥的底面直径为6cm，
∴底面周长为：6π cm，
∴，
解得：n＝120，
∴圆锥侧面展开图的圆心角为120°，
故答案为：120°．
12．若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为 　　 ．
【解答】解：如图，正方形ABCD的周长为12，
∵AB＝BC＝CD＝AD，且AB+BC+CD+AD＝12，
∴4BC＝12，
∴BC＝3，
作正方形ABCD的外接圆，圆心为点O，连接OB、OC，作OE⊥BC于点E，
∵OB＝OC，∠BOC360°＝90°，
∴OE＝BE＝CEBC，
∴正方形ABCD的边心距为，
故答案为：．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝ 　15　°．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝180°﹣105°＝75°，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣75°＝15°，
故答案为：15．
14．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝135°，AB⊥BD，以AB为y轴，BD为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，3），则圆的直径长度是 　3　．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∵∠C＝135°，
∴∠A＝45°，
又AB⊥BD，
∴∠ADB＝∠A＝45°，
∴DB＝AB，
∵点A的坐标为（0，3），
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝＝＝3．
∵AB⊥BD，
∴线段为圆的直径，
∴圆的直径为3．
故答案为：3．
三、解答题
15．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：；
（2）若∠BAC＝50°，求∠AOE的度数．
【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝；
（2）解：连接OE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝OE，
∴∠BAC＝∠OEA＝50°，
∴∠AOE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1至∠6是六个不同位置的圆周角．
（1）分别写出与∠1、∠2相等的圆周角，并求∠1+∠2+∠3+∠4的值；
（2）若∠1﹣∠2＝∠3﹣∠4，求证：AC⊥BD．
【解答】（1）解：与∠1相等的圆周角是∠6，与∠2相等的圆周角是∠5，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°；
（2）证明：∵∠1﹣∠2＝∠3﹣∠4，∠1+∠2+∠3+∠4＝180°
∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠6，
∴∠6+∠4＝90°，
∴AC⊥BD．
17．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CP交AB的延长线于点P，D为弧AC上一点，连接AD，DC，BC．
（1）如图1，若∠P＝42°，求∠ADC的大小；
（2）如图2，连接BD，若，BD＝8，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）连接OC，如图：
∵CP是⊙O的切线，
∴OC⊥CP，∠OCP＝90°，
∵∠P＝42°，
∴∠POC＝48°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠BCO＝66°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠OBC＝180°，
∴∠ADC＝114°；
（2）连接OC、OD，OC与BD交于点E，如图：
∵BC＝DC，
∴∠BOC＝∠COD，
∵OB＝OD，
∴OC⊥BD，，
在Rt△BCE中，CE2+BE2＝BC2，
∴，
∴CE＝2（负值已舍去），
设⊙O的半径为r，
在Rt△BOE 中，OE2+BE2＝OB2，
∴（r﹣2）2+42＝r2，
解得：r＝5．
18．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，连接OC，CD是⊙O的切线，交AB的延长线于点D，半径OE⊥AB，CE交AB于点F．
（1）求证：DC＝DF；
（2）若∠OEC＝15°，OE＝6，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠DCF+∠OCF＝90°，
∵OE⊥AB，
∴∠OEF+∠OFE＝90°，
∵OC＝OE，
∴∠OEF＝∠OCF，
∴∠DCF＝∠OFE，
∵∠DFC＝∠OFE，
∴∠DCF＝∠DFC，
∴DC＝DF；
（2）解：∵∠OEC＝15°，
∴∠OFE＝90°﹣15°＝75°，
∴∠DCF＝∠DFC＝75°，
∴∠D＝180°﹣75°×2＝30°，
∴∠COD＝60°，CD6，
∴S阴影部分＝S△OCD﹣S扇形COD6×6186π．
19．如图，点A，B，C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，点E在AC的延长线上，连接．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AB＝AE＝6，DE＝3，求AD的长．
【解答】（1）证明：连接OD、OC，则OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴2∠ODC+∠COD＝180°，
∴∠ODC∠COD＝90°，
∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠CAD∠BAC，
∵∠CDE∠BAC，
∴∠CDE＝∠CAD∠COD，
∴∠ODE＝∠ODC+∠CDE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD于点D，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵AB＝AE＝6，∠BAD＝∠EAD，AD＝AD，
∴△BAD≌△EAD（SAS），
∴DB＝DE＝3，
∵，
∴CD＝DB＝3，
∴CD＝DE，
∴∠DCE＝∠E，
∵∠CDE＝∠CAD，
∴∠ADE＝180°﹣∠CAD﹣∠E＝180°﹣∠CDE﹣∠DCE＝∠E，
∴AD＝AE＝6，
∴AD的是6．
20．如图，AB为⊙O的直径，⊙O的切线CE交BA的延长线于点E，点D在上，，连接AC，BC．
（1）如图1，求证：∠CEA＝∠CAD；
（2）如图2，若∠CEB＝2∠CBE，，求的长．
【解答】（1）证明：如图，连接CO，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∴∠CEA+∠3＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠1+∠2＝2∠2，
∵，
∴∠4＝∠2，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠4+∠2＝90°，即∠CAD+∠3＝90°，
∴∠CEA＝∠CAD．
（2）解：如图，连接CO，DO，由（1）得∠3＝2∠2＝2∠4，
由条件可知∠CEA＝∠3，
∵∠ECO＝90°，
∴∠3＝∠CEA＝45°，
∴∠4＝22.5°，
∴∠DOB＝2∠4＝45°，
由条件可知CO＝5，
∴的长为．
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