第二十一章一元二次方程课后培优（一）（含答案）训练人教版2025—2026学年九年级上册

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第二十一章一元二次方程课后培优（一）训练人教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x﹣6）2＝44 B．（x﹣6）2＝28 C．（x﹣3）2＝17 D．（x﹣3）2＝1
2．若关于x的方程x2﹣mx+3＝0的一个根是x1＝1，则另一个根x2及m的值分别是（　　）
A．x2＝3，m＝﹣4 B．x2＝1，m＝4 C．x2＝2，m＝﹣4 D．x2＝3，m＝4
3．若α、β是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两根（α≠β），则α+β＝（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣10 D．10
4．关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
5．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k D．k且k≠2
6．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有x名学生，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x+1）＝1980
C． D．
7．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（　　）
A．a＝c B．b＝2c C．b＝2a D．a＝b＝c
8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　）
A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520
C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520
9．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．b＝0时，方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根是x＝1
C．如果是方程M的一个根，那么m是方程N的一个根
D．ac≠0
10．若α，β是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则α2﹣α﹣2β+3的值为（　　）
A．2028 B．2026 C．2024 D．2022
二、填空题
11．已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣10，则它的另一根是　 ．
12．已知方程x2+x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则的值为 　 ．
13．关于x的一元二次方程x2+3x﹣c＝0有实数根，则c的取值范围是　 　 ．
14．方程（a﹣2）x|a|+2x﹣7＝0是关于x一元二次方程，则a的值为　 　 ．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0，两实数根为a和b，则代数式a2+3b+2020＝　 　 ．
三、解答题
16．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）2x2﹣4x﹣5＝0；
（3）（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长；
（3）若x1，x2是原方程的两根，且（x1﹣x2）2+2m+3＝0，求m的值．
18．已知实数k，m，n（m≠n），且满足m2﹣2m＝3k+1，n2﹣2n＝3k+1．
（1）求证：m+n的值为定值；
（2）若m，n同号，求k的取值范围．
19．某品牌衬衫标价为200元/件，为提高销售量，经过两次降价后为162元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种衬衫每次降价的百分率；
（2）若该种品牌衬衫的进价为100元/件，两次降价共售出此种品牌衬衫100件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程一个根为﹣1，求m的值．
21．关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若m不存在，请说明理由．
22．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　 　；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．
参考答案
一、选择题
1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x﹣6）2＝44 B．（x﹣6）2＝28 C．（x﹣3）2＝17 D．（x﹣3）2＝1
【解答】解：原方程移项得x2﹣6x＝﹣8，
∴（x﹣3）2＝1，
故选：D．
2．若关于x的方程x2﹣mx+3＝0的一个根是x1＝1，则另一个根x2及m的值分别是（　　）
A．x2＝3，m＝﹣4 B．x2＝1，m＝4 C．x2＝2，m＝﹣4 D．x2＝3，m＝4
【解答】解：∵x1＝1是方程x2﹣mx+3＝0的一个根，
∴1﹣m+3＝0，
∴m＝4，
∴方程为x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴另一个根x2为3，m的值为4，
故选：D．
3．若α、β是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两根（α≠β），则α+β＝（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣10 D．10
【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两根（α≠β），
∴α+β＝3．
故选：B．
4．关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【解答】解：由题意可知：Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4，
∵m2＞0，
∴m2+4＞0，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k D．k且k≠2
【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）k≥0，
解得k≥0且k≠2．
故选：B．
6．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有x名学生，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x+1）＝1980
C． D．
【解答】解：全班同学有x名学生，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）＝1980，
故选：A．
7．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（　　）
A．a＝c B．b＝2c C．b＝2a D．a＝b＝c
【解答】解：由条件可知b＝a+c，a＝b﹣c，c＝b﹣a．
∵一元二次方程有两个相等的实数根，b＝a+c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c，故选项A正确，不符合题意；
∵一元二次方程有两个相等的实数根，a＝b﹣c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4（b﹣c）c＝（b﹣2c）2＝0，
∴b＝2c，故选项B正确，不符合题意；
∵一元二次方程有两个相等的实数根，c＝b﹣a，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4a（b﹣a）＝b2﹣4ab+4a2＝（b﹣2a）2＝0，
∴b＝2a，故选项C正确，不符合题意；
∵一元二次方程有两个相等的实数根，b＝a+c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c．
又∵a≠0，b＝a+c，
∴a＝c≠b，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　）
A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520
C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520
【解答】解：若设停车场内车道的宽度为x m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，
根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520．
故选：B．
9．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．b＝0时，方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根是x＝1
C．如果是方程M的一个根，那么m是方程N的一个根
D．ac≠0
【解答】解：根据根的判别式及相关知识点逐项分析判断如下：
A、方程M有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，所以方程N也有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、因为方程M和方程N有一个相同的根，则（a﹣c）x2＝a﹣c，解得x＝±1，故本选项符合题意；
C、因为是方程M的一个根，则，即m2c+mb+a＝0，所以m是方程N的一个根，故不符合题意；
D、根据一元二次方程的定义得到a≠0，c≠0，则ac≠0，故本选项不符合题意；
故选：B．
10．若α，β是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则α2﹣α﹣2β+3的值为（　　）
A．2028 B．2026 C．2024 D．2022
【解答】解：由条件可知α2+α﹣2023＝0，α+β＝﹣1，
即α2+α＝2023，
∴α2﹣α﹣2β+3
＝α2+α﹣2α﹣2β+3
＝α2+α﹣2（α+β）+3
＝2023﹣2×（﹣1）+3
＝2023+2+3
＝2028．
故选：A．
二、填空题
11．已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣10，则它的另一根是　2　 ．
【解答】解：设另一个根为α，
∴﹣10α＝﹣20，
解得α＝2，
∴它的另一根是2；
故答案为：2．
12．已知方程x2+x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则的值为 　　 ．
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，
∴．
故答案为：．
13．关于x的一元二次方程x2+3x﹣c＝0有实数根，则c的取值范围是　c　 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝32+4c≥0，
解得c，
故答案为：c．
14．方程（a﹣2）x|a|+2x﹣7＝0是关于x一元二次方程，则a的值为　﹣2　 ．
【解答】解：∵方程（a﹣2）x|a|+2x﹣7＝0是关于x一元二次方程，
∴|a|＝2且a﹣2≠0，
∴a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0，两实数根为a和b，则代数式a2+3b+2020＝　2030　 ．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0两实数根为a和b，
所以a+b＝3，a2﹣3a﹣1＝0，
则a2+3b+2020＝a2﹣3a+3（a+b）+2020＝1+3×3+2020＝2030．
故答案为：2030．
三、解答题
16．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）2x2﹣4x﹣5＝0；
（3）（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣4＝0，
（x﹣3）2＝4，
则x﹣3＝±2，
所以x1＝1，x2＝5．
（2）2x2﹣4x﹣5＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）＝56＞0，
则x，
所以．
（3）（x﹣1）（x+2）＝2（x+2），
（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）＝0，
（x+2）（x﹣3）＝0，
则x+2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝3．
17．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长；
（3）若x1，x2是原方程的两根，且（x1﹣x2）2+2m+3＝0，求m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m﹣3）2﹣4（﹣m+2）
＝（m﹣1）2，
∵无论m取何值，（m﹣1）2≥0，
∴原方程总有两个实数根；
（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，
∴等腰三角形另一腰长也为5，
∵两边长度为该方程的两根，
∴x＝5是原方程的解，
由x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0得：52+（m﹣3）×5﹣m+2＝0，
解得：m＝﹣3，
原方程为x2﹣6x+5＝0，
设x1，x2是原方程的两根，因此x1+x2＝6，
则等腰三角形的周长为6+5＝11；
（3）解：∵（x1﹣x2）2+2m+3＝0，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+2m+3＝0，
∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝﹣（m﹣3），x1x2＝﹣m+2，
∴[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m+2）+2m+3＝0，
m2＝﹣4，
故方程无解．
18．已知实数k，m，n（m≠n），且满足m2﹣2m＝3k+1，n2﹣2n＝3k+1．
（1）求证：m+n的值为定值；
（2）若m，n同号，求k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵m2﹣2m＝3k+1，n2﹣2n＝3k+1（m≠n），
∴m，n为关于x的方程的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系得，m+n＝2，
∴m+n的值为定值．
（2）解：由（1）得mn＝﹣（3k+1），
∴mn＝﹣（3k+1）＞0，
解得：，
又∵（﹣2）2+4（3k+1）＞0，
∴，
∴．
19．某品牌衬衫标价为200元/件，为提高销售量，经过两次降价后为162元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种衬衫每次降价的百分率；
（2）若该种品牌衬衫的进价为100元/件，两次降价共售出此种品牌衬衫100件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？
【解答】解：（1）设这种衬衫每次降价的百分率为x，
由题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），
答：该种衬衫每次降价的百分率为10%；
（2）设第一次降价要销售出y件该种衬衫，
由题意得：[200×（1﹣10%）﹣100]y+[200×（1﹣10%）2﹣100]（100﹣y）≥6560，
解得：y≥20，
答：第一次降价至少要销售出20件该种衬衫．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程一个根为﹣1，求m的值．
【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根．
理由如下：Δ＝（﹣2）2﹣4m＝4﹣4m，
∵m＜0，
∴﹣4m＞0，
∴4﹣4m＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）把x＝﹣1代入方程x2﹣2x+m＝0得1+2+m＝0，
解得m＝﹣3．
21．关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若m不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵关于x的方程mx2+（m+2）x1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m且m≠0，
∴m的取值范围为m且m≠0；
（2）不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0，理由如下：
设关于x的方程mx2+（m+2）x1＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2，x1x2，
∴0，
解得：m＝﹣2，
又∵m且m≠0，
∴m＝﹣2不符合题意，舍去，
∴不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0．
22．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣　；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．
【解答】解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y1＝2，y2＝3，
∴x2＝2或3，
∴x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；
故答案为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；
（2）∵a2≠b2，
令a2＝m，b2＝n．
∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴，
此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝．
（3）令＝a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵n＞0，
∴≠﹣n，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴，
故+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．
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