第二十一章一元二次方程课后培优训练（含答案）人教版2025—2026学年九年级上册

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第二十一章一元二次方程课后培优训练人教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．已知a是方程x2+2x+1＝0的一个根，则代数式2a2+4a+3的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0时，化为（x+a）2＝b的形式可得到（　　）
A．（x﹣1）2＝2024 B．（x+1）2＝2026
C．（x﹣1）2＝2026 D．（x﹣1）2＝2025
3．若关于x的方程x2﹣mx+3＝0的一个根是x1＝1，则另一个根x2及m的值分别是（　　）
A．x2＝3，m＝﹣4 B．x2＝1，m＝4 C．x2＝2，m＝﹣4 D．x2＝3，m＝4
4．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k D．k且k≠2
5．2025年1月29日《哪吒2》正式上映，一上映就获得全国人民的追捧，第四天票房约17.3亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约18.1亿元．把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．17.3（1+x）＝18.1
B．17.3（1+x）2＝18.1
C．17.3（1+x）3＝18.1
D．17.3+17.3（1+x）+17.3（1+x）2＝18.1
6．已知方程x2+bx﹣c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+b（x+3）﹣c＝0的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
7．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　）
A．4049 B．4048 C．2024 D．1
8．对于一元二次方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）下列说法：
①若方程的两个根是x1＝﹣1和x2＝2，则2a﹣c＝0；
②若x＝c是方程的一个根，则一定有ac﹣b﹣1＝0成立；
③若a+b﹣c＝0，则它有一个根是x＝﹣1；
④若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．一元二次方程x2﹣5x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝ 　　 ．
10．若a，b是关于x的方程x2﹣x﹣3＝0的两实数根，则的值为 　　 ．
11．已知关于x的方程9x2+bx+c＝0的解为x1＝2，x2＝3，则关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为 　 　 ．
13．关于x的一元二次方程x2+3x﹣c＝0有实数根，则c的取值范围是　 ．
14．已知m为方程x2+3x﹣2025＝0的根，那么m3+2m2﹣2028m+2025的值为 　 　 ．
三、解答题
15．解方程
（1）x2﹣3x﹣5＝0；
（2）x2﹣4x﹣12＝0．
16．某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？
17．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值．
18．某品牌衬衫标价为200元/件，为提高销售量，经过两次降价后为162元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种衬衫每次降价的百分率；
（2）若该种品牌衬衫的进价为100元/件，两次降价共售出此种品牌衬衫100件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？
19．关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若m不存在，请说明理由．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足，求m的值．
21．阅读下面材料：已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：
，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是b2﹣4ac＝a2．
（1）请通过计算判断方程x2+7x+12＝0是否是“差根方程”．
（2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根．
（3）若关于x的“差根方程”a（x+m）2+b＝0的一个根是x＝3（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．已知a是方程x2+2x+1＝0的一个根，则代数式2a2+4a+3的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【解答】解：由条件可知a2+2a+1＝0，
∴a2+2a＝﹣1，
∴2a2+4a+3＝2（a2+2a）+3＝2×（﹣1）+3＝1，
故选：B．
2．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0时，化为（x+a）2＝b的形式可得到（　　）
A．（x﹣1）2＝2024 B．（x+1）2＝2026
C．（x﹣1）2＝2026 D．（x﹣1）2＝2025
【解答】解：由条件可得x2﹣2x＝2025，
则x2﹣2x+1＝2025+1，
即（x﹣1）2＝2026，
故选：C．
3．若关于x的方程x2﹣mx+3＝0的一个根是x1＝1，则另一个根x2及m的值分别是（　　）
A．x2＝3，m＝﹣4 B．x2＝1，m＝4 C．x2＝2，m＝﹣4 D．x2＝3，m＝4
【解答】解：∵x1＝1是方程x2﹣mx+3＝0的一个根，
∴1﹣m+3＝0，
∴m＝4，
∴方程为x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴另一个根x2为3，m的值为4，
故选：D．
4．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k D．k且k≠2
【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）k≥0，
解得k≥0且k≠2．
故选：B．
5．2025年1月29日《哪吒2》正式上映，一上映就获得全国人民的追捧，第四天票房约17.3亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约18.1亿元．把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．17.3（1+x）＝18.1
B．17.3（1+x）2＝18.1
C．17.3（1+x）3＝18.1
D．17.3+17.3（1+x）+17.3（1+x）2＝18.1
【解答】解：根据题意，得17.3（1+x）2＝18.1，
故选：B．
6．已知方程x2+bx﹣c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+b（x+3）﹣c＝0的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
【解答】解：令t＝x+3，则方程（x+3）2+b（x+3）﹣c＝0即为方程t2+bt﹣c＝0，
∵方程x2+bx﹣c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴方程t2+bt﹣c＝0的解是t1＝1，t2＝﹣3，
∴x+3＝1或x+3＝﹣3，
解得x1＝﹣2，x2＝﹣6，
∴程（x+3）2+b（x+3）﹣c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝﹣6，
故选：B．
7．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　）
A．4049 B．4048 C．2024 D．1
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，
∴，x1x2＝﹣2024，x1+x2＝1，
4049，
故选：A．
8．对于一元二次方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）下列说法：
①若方程的两个根是x1＝﹣1和x2＝2，则2a﹣c＝0；
②若x＝c是方程的一个根，则一定有ac﹣b﹣1＝0成立；
③若a+b﹣c＝0，则它有一个根是x＝﹣1；
④若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：若方程的两个根是﹣1和2，则（﹣1）×2＝﹣2
∴c＝2a，
∴2a﹣c＝0；
故①正确；
若c是方程的一个根，则ac2﹣bc﹣c＝c（ac﹣b﹣1）＝0，
∴c＝0或ac﹣b﹣1＝0，
故②错误；
若a+b﹣c＝0，则a×（﹣1）2﹣b×（﹣1）﹣c＝a+b﹣c＝0，
即ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）有一个根是x＝﹣1；
故③正确；
若方程有一个根是x＝m（m≠0），则am2﹣bm﹣c＝0（a≠0），
当x时，cx2+bx﹣a＝cba0，
即若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根x，
故④正确；
综上可知，正确的是①③④，
故选：C．
二、填空题
9．一元二次方程x2﹣5x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝ 　4　 ．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣5x+a＝0得1﹣5+a＝0，
解得a＝4．
故答案为：4．
10．若a，b是关于x的方程x2﹣x﹣3＝0的两实数根，则的值为 　　 ．
【解答】解：∵a，b是关于x的方程x2﹣x﹣3＝0的两实数根，
∴a+b＝1，ab＝﹣3，
∴，
故答案为：．
11．已知关于x的方程9x2+bx+c＝0的解为x1＝2，x2＝3，则关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为 　y1＝3，y2＝4　 ．
【解答】解：把关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0看作关于（y﹣1）的一元二次方程，
∵关于x的方程9x2+bx+c＝0的解为x1＝2，x2＝3，
∴关于（y﹣1）的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为y﹣1＝2或y﹣1＝3，
解得y1＝3，y2＝4，
∴关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为y1＝3，y2＝4．
故答案为：y1＝3，y2＝4．
13．关于x的一元二次方程x2+3x﹣c＝0有实数根，则c的取值范围是　c　 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝32+4c≥0，
解得c，
故答案为：c．
14．已知m为方程x2+3x﹣2025＝0的根，那么m3+2m2﹣2028m+2025的值为 　0　 ．
m2﹣2028m+2025中，即可求出结论．
【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2+3m﹣2025＝0，
∴m2+3m＝2025，
∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣2028m+2025
＝m（m2+3m）﹣m2﹣2028m+2025
＝2025m﹣m2﹣2028m+2025
＝﹣m2﹣3m+2025
＝﹣（m2+3m）+2025
＝﹣2025+2025
＝0．
故答案为：0．
三、解答题
15．解方程
（1）x2﹣3x﹣5＝0；
（2）x2﹣4x﹣12＝0．
【解答】解：（1）x2﹣3x﹣5＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）＝29，
∴x，
∴；
（2）∵x2﹣4x﹣12＝0，
∴（x+2）（x﹣6）＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝6，
∴x1＝﹣2，x2＝6．
16．某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？
【解答】解：（1）设通道的宽是x米，
由题意得，（50﹣2x）（30﹣2x）＝1196，
整理得，4x2﹣160x+304＝0，
解得x1＝2，x2＝38（不符合题意，舍去），
答：通道的宽是2米．
（2）设每个车位的月租金上涨y元，
由题意得，，
解得y1＝40，y2＝400，
又∵能优惠大众，
∴y＝40，
答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元．
17．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值．
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4）
＝k2+8k+16﹣8k﹣16
＝k2，
∵k2≥0，
∴Δ≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k+4，x1 x2＝2k+4，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）
＝x1 x2﹣2x1﹣2x2+4
＝x1 x2﹣2（x1+x2）+4
＝2k+4﹣2（k+4）+4
＝2k+4﹣2k﹣8+4
＝0．
18．某品牌衬衫标价为200元/件，为提高销售量，经过两次降价后为162元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种衬衫每次降价的百分率；
（2）若该种品牌衬衫的进价为100元/件，两次降价共售出此种品牌衬衫100件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？
【解答】解：（1）设这种衬衫每次降价的百分率为x，
由题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），
答：该种衬衫每次降价的百分率为10%；
（2）设第一次降价要销售出y件该种衬衫，
由题意得：[200×（1﹣10%）﹣100]y+[200×（1﹣10%）2﹣100]（100﹣y）≥6560，
解得：y≥20，
答：第一次降价至少要销售出20件该种衬衫．
19．关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若m不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵关于x的方程mx2+（m+2）x1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m且m≠0，
∴m的取值范围为m且m≠0；
（2）不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0，理由如下：
设关于x的方程mx2+（m+2）x1＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2，x1x2，
∴0，
解得：m＝﹣2，
又∵m且m≠0，
∴m＝﹣2不符合题意，舍去，
∴不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足，求m的值．
【解答】解：（1）由条件可知Δ＝16﹣4（5﹣2m）≥0，
解得：；
（2）∵x1，x2是该方程的两个根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝5﹣2m，
∴，
解得：m＝5或m＝﹣1；
由（1）可知：，
∴m＝5．
21．阅读下面材料：已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：
，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是b2﹣4ac＝a2．
（1）请通过计算判断方程x2+7x+12＝0是否是“差根方程”．
（2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根．
（3）若关于x的“差根方程”a（x+m）2+b＝0的一个根是x＝3（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）原方程整理得（x+3）（x+4）＝0，
∴x+3＝0或x+4＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣4，
∴|x1﹣x2|＝|﹣3﹣（﹣4）|＝1，
∴方程x2+7x+12＝0是“差根方程”；
（2）由条件可知|x1﹣x2|＝1，
∴，
∵x1+x2＝﹣2，x1 x2＝1﹣k，
∴，
解得：，
∴方程为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（3）由条件可知ax2+2amx+am2+b＝0，
∴（2am）2﹣4×a×（am2+b）＝0，
∴（2am）2﹣4×a×（am2+b）＝a2，
∴a＝﹣4b，
将a＝﹣4b代入方程a（x+m+4）2＝﹣b可得：，
解得：，，
∴，
∴方程a（x+m+4）2＝﹣b是“差根方程”，它的根为，．
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