第三章圆锥曲线的方程 单元检测卷（含答案） 人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
文档属性
| 名称 | 第三章圆锥曲线的方程 单元检测卷（含答案） 人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 725.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-02 10:22:52 | ||
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文档简介
第三章圆锥曲线的方程单元检测卷
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2 B．6 C． D．
2．椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线轴交椭圆于点，则（ ）
A．2 B． C． D．3
3．已知椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A． B． C．4或 D．或
4．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为，延长交椭圆于点．若点到直线的距离为，的周长为16，则椭圆的焦距为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．4
5．曲线与的交点是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
7．已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（ ）
A．1 B． C．－4 D．1或－4
8．已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点，则该双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，设的中点为，则下列说法中正确的有（ ）
A．若直线过焦点，则的最小值为2
B．若，则的最大值为5
C．若直线AB的斜率存在，则其斜率与无关，与有关
D．若为坐标原点，直线的方程为，则
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，虚轴长为，过且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于M，N两点（其中点M在第一象限内），则（ ）
A．双曲线C的方程为
B．当时，
C．若，则的面积为
D．当时，的内切圆半径为
11．已知椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为16
B．的周长为14
C．若，则
D．若，则的面积为7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．过抛物线的焦点作一条直线，交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则 ．
13．如图，已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则的平分线所在的直线方程为 ．
14．过点，且与双曲线有共同离心率的双曲线的标准方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为.
(1)求的方程；
(2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值.
16．（15分）已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为
(1)求双曲线C的方程；
(2)证明：直线AB的斜率k为定值；
(3)O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程．
17．（15分）如图，椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率为，且短轴长是4，点P是第一象限内C上一点，，的延长线分别交C于A，B两点，设，分别是，的内切圆半径．
(1)求C的方程；
(2)若点P的横坐标为2，求内切圆的方程；
(3)求的最大值．
18．（17分）已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为.
(1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值；
(2)证明：；
(3)求的值.
19．（17分）过抛物线上不同的两点分别作抛物线的切线，相交于点，．
(1)求点的轨迹方程．
(2)已知点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单项选择题
1．B
2．C
3．D
4．D
5．D
6．B
7．C
8．B
二、多项选择题
9．CD
10．BCD
11．BCD
三、填空题
12．1
13．
14．
四、解答题
15．【解】（1）由题意可得，解得，
故的方程为.
（2）联立，得.
，解得.
设，则，
，
解得，即的值为.
16．【解】（1）双曲线（）右焦点的坐标为，
不妨取C的一条渐近线的方程为
即，所以
又，解得，
所以双曲线C的方程为.
（2）设，，则,
两式相减并整理得，,
因为线段AB的中点为，则，
所以，因为，所以，
所以直线的斜率k为定值2．
（3）设直线，联立，消去得，
因为，所以，
则，
故，
点O到直线AB的距离为
所以，
整理得，解得（舍去），则，
又因为，所以直线AB的方程为
17．【解】（1）由题意，，，又，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）点的横坐标为2，则，又，
轴，
由对称性，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点，
，又的周长为，
又，
，内切圆的圆心为，
内切圆的方程为.
（3）设，，，，
因为点在椭圆上，所以，即，
由，即，解得，
同理可得，则，
，直线的方程为，
由，化简得，
，得，同理可得，
，
由，
，当且仅当，时，等号成立，
所以的最大值为.
18．【解】（1）设，则有，即，
双曲线的两条渐近线的方程为，则，
故；
（2）设，先证明：双曲线在处的切线方程为.
证明：由两边对求导：，即，
于是过点的切线斜率为：，则切线方程为：（*），
因在双曲线上，则有，
故（*）可化成：，即得证.
记,
将代入，解得，，
将代入，解得，
则有，
，
即点为中点，故；
（3）设，则，
又，
故.
19．【解】（1）如图，所示建立平面直角坐标系．
设，切线（切线斜率一定存在），
联立，则，即，
所以，可得，且，
所以，故，即，
所以则切线①，
同理可得切线②，
因为，所以，即，由①②，得，
，故点的轨迹方程为；
（2）设，因为点在切线上，由（1）得，
所以直线，即，
代入，得，
由，所以，
则，
而，，
所以，则，所以.
人教A版2019选择性必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2 B．6 C． D．
2．椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线轴交椭圆于点，则（ ）
A．2 B． C． D．3
3．已知椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A． B． C．4或 D．或
4．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为，延长交椭圆于点．若点到直线的距离为，的周长为16，则椭圆的焦距为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．4
5．曲线与的交点是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
7．已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（ ）
A．1 B． C．－4 D．1或－4
8．已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点，则该双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，设的中点为，则下列说法中正确的有（ ）
A．若直线过焦点，则的最小值为2
B．若，则的最大值为5
C．若直线AB的斜率存在，则其斜率与无关，与有关
D．若为坐标原点，直线的方程为，则
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，虚轴长为，过且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于M，N两点（其中点M在第一象限内），则（ ）
A．双曲线C的方程为
B．当时，
C．若，则的面积为
D．当时，的内切圆半径为
11．已知椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为16
B．的周长为14
C．若，则
D．若，则的面积为7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．过抛物线的焦点作一条直线，交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则 ．
13．如图，已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则的平分线所在的直线方程为 ．
14．过点，且与双曲线有共同离心率的双曲线的标准方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为.
(1)求的方程；
(2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值.
16．（15分）已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为
(1)求双曲线C的方程；
(2)证明：直线AB的斜率k为定值；
(3)O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程．
17．（15分）如图，椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率为，且短轴长是4，点P是第一象限内C上一点，，的延长线分别交C于A，B两点，设，分别是，的内切圆半径．
(1)求C的方程；
(2)若点P的横坐标为2，求内切圆的方程；
(3)求的最大值．
18．（17分）已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为.
(1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值；
(2)证明：；
(3)求的值.
19．（17分）过抛物线上不同的两点分别作抛物线的切线，相交于点，．
(1)求点的轨迹方程．
(2)已知点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单项选择题
1．B
2．C
3．D
4．D
5．D
6．B
7．C
8．B
二、多项选择题
9．CD
10．BCD
11．BCD
三、填空题
12．1
13．
14．
四、解答题
15．【解】（1）由题意可得，解得，
故的方程为.
（2）联立，得.
，解得.
设，则，
，
解得，即的值为.
16．【解】（1）双曲线（）右焦点的坐标为，
不妨取C的一条渐近线的方程为
即，所以
又，解得，
所以双曲线C的方程为.
（2）设，，则,
两式相减并整理得，,
因为线段AB的中点为，则，
所以，因为，所以，
所以直线的斜率k为定值2．
（3）设直线，联立，消去得，
因为，所以，
则，
故，
点O到直线AB的距离为
所以，
整理得，解得（舍去），则，
又因为，所以直线AB的方程为
17．【解】（1）由题意，，，又，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）点的横坐标为2，则，又，
轴，
由对称性，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点，
，又的周长为，
又，
，内切圆的圆心为，
内切圆的方程为.
（3）设，，，，
因为点在椭圆上，所以，即，
由，即，解得，
同理可得，则，
，直线的方程为，
由，化简得，
，得，同理可得，
，
由，
，当且仅当，时，等号成立，
所以的最大值为.
18．【解】（1）设，则有，即，
双曲线的两条渐近线的方程为，则，
故；
（2）设，先证明：双曲线在处的切线方程为.
证明：由两边对求导：，即，
于是过点的切线斜率为：，则切线方程为：（*），
因在双曲线上，则有，
故（*）可化成：，即得证.
记,
将代入，解得，，
将代入，解得，
则有，
，
即点为中点，故；
（3）设，则，
又，
故.
19．【解】（1）如图，所示建立平面直角坐标系．
设，切线（切线斜率一定存在），
联立，则，即，
所以，可得，且，
所以，故，即，
所以则切线①，
同理可得切线②，
因为，所以，即，由①②，得，
，故点的轨迹方程为；
（2）设，因为点在切线上，由（1）得，
所以直线，即，
代入，得，
由，所以，
则，
而，，
所以，则，所以.