湖南省名校联考2026届高三上学期第一次联考数学试卷

2026届高三第一次联考
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为，所以.
故选：C
2. 设为虚数单位，则（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 5
【答案】C
【详解】.
故选：C.
3. 如图，在矩形中，为中点，那么向量=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为在矩形中，为中点，
所以，
所以，
故选：A
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】.
故选：A.
5. 已知某一随机变量X的概率分布如下，且E（X）=6.9，则a的值为
X 4 a 9
P m 0.2 0.5
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【详解】因为，在分布列中，各变量的概率之和为1.
所以，m=1-(0.2+0.5)=0.3，由数学期望的计算公式，得，，a的值为6，故选B．
6. 若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由新概念可知，的3型双曲线的方程为，且，
所以，即，则，
所以的3型双曲线的渐近线为.
故选：D.
7. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，且边上的高为1，则（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【详解】由及正弦定理得，
又，所以，则，
由得，由得，则，
根据余弦定理得，则，
整理得，解得（负值舍去）.
故选：D.
8. 已知函数，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以函数的图象关于直线对称，
当时，，
因为函数在定义域上单调递增，单调递减，
由复合函数单调性法则可知函数单调递减，
同理函数在上单调递减，所以在上单调递减.
又，则，，，
为便于比较，，的大小，
考虑比较，，的大小.
构造函数，则，
所以在上单调递减，又，所以，
则，即，
所以，则.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，其中为第一象限内的点，与的准线交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得，A正确；
易知的准线方程为，由解得，则，B错误；
由上可知，，联立方程组，整理得，
设，，则，
因为在直线上，所以，C正确；
又，
其中为第一象限内的点，则为第四象限内的点，
则，所以，D错误.
故选：AC.
10. 在等比数列中，，，则（ ）
A. B.
C. 数列是以4为公比的等比数列 D. 数列的前项和为
【答案】BCD
【详解】由等比数列的性质可知，又，，
所以，所以，A错误；
设等比数列的公比为，由，解得，则，
所以，B正确；
由上可知，，设，则，
所以数列是以4为公比的等比数列，C正确；
设数列的前项和为，则，D正确.
故选：BCD.
11. 设函数的定义域为，且，，，则（ ）
A. B.
C. 函数为偶函数 D. 函数在上单调递增
【答案】ABD
【详解】令，，则，
即，解得，A正确；
取得，，所以，
取，，则，所以，
令，则，所以，即，
故，则， B正确；
为奇函数，C错误；
为上增函数，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点处的切线方程为______.
【答案】
【详解】记，则，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：
13. 已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为______.
【答案】8
【详解】设圆柱的母线长为，则圆柱的侧面积为，
易知球的表面积为，所以，解得.
故答案为：8
14. 已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】设为的最小正周期，由题意可知，，即，解得，
由得，，，由得，，
又，所以，，
由余弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴，即存在一个极值点.
由题意或，
解得或，
故实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由题意可知，
解得，，故；
【小问2详解】
由（1）得，所以，
数列的前项和为.
16. 某药厂质监部门随机从甲、乙生产线生产的同一种药品中分别抽取50个样本进行检测，根据检测指标，将这种药品分为“一级品”和“二级品”两个级别，统计结果如下表：
级别 生产线 合计
甲 乙
一级品 35 30 65
二级品 15 20 35
合计 50 50 100
（1）根据小概率值的独立性检验，分析这种药品的级别是否与生产线有关？
（2）视频率为概率，现将甲、乙生产线生产的这种药品件数按3：4的比例混放一起，从混合药品中随机抽取一件药品，若取到的药品是二级品，求它是取自乙生产线的产品的概率.
附：，其中.
0.050 0.010 0.005
3.841 6.635 7.879
【答案】（1）无关 （2）
【小问1详解】
零假设为：这种药品级别与生产线无关，
根据表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为这种药品的级别与生产线无关
【小问2详解】
设“任取一件药品为二级品”，“药品为甲生产线生产”，“药品为乙生产线生产”，
由题意可知，，，，，
由全概率公式得，；
所以.
17. 如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，侧面底面分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【小问1详解】
取的中点，连接．
．
又平面，平面，，
则平面，平面，
；
【小问2详解】
平面平面，平面平面，
又平面，,
平面，又.
在中，.
在等边中，.
如图所示，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
由分别为的中点，则，
所以．
设平面的法向量为，
则，
今，则，
故为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为；
【小问3详解】
由（2）可知为平面的一个法向量，
而为平面的一个法向量．
设二面角大小为，又二面角是锐角，
，
二面角的余弦值等于
18. 已知椭圆的长轴长为短轴长的倍，焦距为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）若坐标原点为，平行四边形的四个顶点，，，均在椭圆上，且圆内切于四边形.
（i）证明：四边形为菱形；
（ii）求四边形面积的最大值.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【小问1详解】
由题意可知，，则，
又，则，所以，解得，，
故椭圆的方程为；
【小问2详解】
（i）当直线的斜率不存在或为零时，圆内切于正方形，
四个顶点为，显然满足椭圆的方程，符合题意，
此时四边形为菱形；
当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，，，
由得，
则，
，，
所以，
因为圆内切于平行四边形，所以到直线的距离为，
则，整理得，
所以，
则，此时平行四边形为菱形.
综上可知，四边形菱形.
（ii）由（i）知，当四边形为正方形时，；
当四边形不为正方形，而为菱形时，
因为，
所以的面积为，
令，则，，
所以，
当，即时，取得最大值.
因为菱形的面积等于，所以菱形的面积的最大值为，
因为，所以菱形的面积最大为.
19. 已知函数.
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，证明：；
（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【小问1详解】
当时，的定义域为，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，故的最大值为；
【小问2详解】
由（1）可知，，即，所以，，
令，则，
设，则，所以上单调递增，
则，即，所以在上单调递增，
因此，即，所以，，
则，，故时，；
【小问3详解】
，不等式恒成立，
设，
则在上恒成立，由得，，
下面证明当时，在上恒成立.
当时，，
令，则，
当时，，则，
所以在上单调递增，所以，所以在上单调递减；
所以成立，即在上恒成立，
当时，因为，，
所以，所以在上单调递增，
则，即在上恒成立；
综上可知，若，不等式恒成立，
则实数的取值范围为.