2025年广东省清远市连州市第二中学中考数学模拟（一）（含答案）

2025年广东省清远市连州市第二中学中考数学模拟（一）　
一、单选题
1．的倒数是（　　）
A． B． C．-20 D．20
2．2024年4月24日，“中国航天日”主场活动启动仪式上，武汉、襄阳、宜昌、孝感、咸宁、黄冈、十堰、荆门8个城市签约空天信息产业项目，项目投资总额达631.25亿元．631.25亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．要使分式有意义，的取值应满足（　　）
A． B． C． D．且
4．已知正边形的一个外角为，则边形的内角和是（　　）
A． B． C． D．
5．2024年巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日开幕，8月11日闭幕，美国、中国、日本、澳大利亚、法国分别以金牌40枚、40枚、20枚、18枚、16枚位列金牌榜前5位，则这组数据的众数是（　　）
A．40 B．20 C．18 D．16
6．抛物线与轴相交的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，延长至点，使，连接，取的中点，连接．当的面积为12时，的面积为（　　）
A．1．5 B．3 C．3．5 D．6
9．一元二次方程的两根为，则（　　）
A． B． C． D．
10．抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．计算：
12．如图，，是的切线，，为切点，若，则 ．
13．不等式组的正整数解为 ．
14．广东惠东海龟国家级自然保护区是目前中国大陆唯一的海龟产卵繁殖地．世界上现存海龟共7种，我国则有绿海龟、玳瑁、蠵龟、太平洋丽龟和棱皮龟5种．若5种海龟的数量大致相等，则惠东海龟国家级自然保护区研究人员在保护区遇到棱皮龟的概率是 ．
15．在欧几里得的《几何原本》中提到，形如的方程的图解法是：如图，以和为直角边作，再在斜边上截取，则的长为所求方程的正根．若关于的一元二次方程，当图中，那么的值为 ．
三、解答题
16．计算：．
17．一次函数与反比例函数的图象都经过点，求一次函数和反比例函数的解析式．
18．如图，菱形的对角线相交于点．
(1)实践与操作：作边上的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)应用与证明：若，求的长．
19．在2024年贵州文旅“四免一多一减”优惠活动中，广东省居民享受贵州全省国有A级旅游景区门票免费优惠．小明一家打算在贵阳、铜仁、黔东南、黔西南四个城市中挑选一个地方进行旅游，他们给不同的城市进行评分如下表所示：
城市 自然景观 人文历史 酒店住宿 交通
贵阳 6 7 10 8
铜仁 5 10 6 7
黔东南 15.0 8 5.8 6
黔西南 10 7 7 6
(1)如果四项同等重要，小明家将选择哪个城市去游玩？
(2)如果自然景观、人文历史、酒店住宿和交通按照的权重，那么小明家将选择哪个城市进行游玩？
(3)小明的邻居小红家也有同样的出游打算，目的地也在贵阳、铜仁、黔东南、黔西南四个城市中挑选，那么小明家和小红家选择去同一个城市的概率是多少？请用树状图或列表表示出来并求解．
20．足球被称为“世界第一运动”，精彩赛事让许多球迷回味不已．
(1)若球赛以小组为单位进行单循环制，组共比赛了场，则组有多少支球队？
(2)在（1）的条件下，若球赛以积分形式决定球队是否晋级，胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某球队在组目标是积分，则该球队胜、平、负的场数分别可以是多少？请列举说明．
21．如图，内接于是的直径，是的切线交的延长线于点于点是上的动点（不与点，重合），连接并延长到点，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，求四边形面积的最大值．
22．【知识技能】
（1）如图1，把纸对折，使与重合，得到折痕，再沿着折叠得到，找出一个与相等的角为___________；
【数学理解】
（2）如图2，延长交于点，过点作的垂线交于点，求证：；
【拓展探索】
（3）①试判断四边形的形状为___________；
②若纸的长、宽比为，求的值．
23．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知．

(1)求的长．
(2)求的面积．
(3)抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
解：，的倒数是．
故选A．
2．C
解：亿．
故选C．
3．C
解：∵分式有意义，
∴，
得．
故选C．
4．D
解：∵，
∴该正多边形是正十二边形，
∴其内角和为．
故选 D．
5．A
解：由题意可得，出现的次数最多，故众数为，
故选：A．
6．B
解：在中，令，则，
∴抛物线与轴相交的坐标为，
故选B．
7．D
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故选D．
8．D
解：，
∴是的中线，
∴，
又是的中点，
．
故选D．
9．B
解：∵一元二次方程的两根为，
∴
∴
．
故选：B．
10．C
解：∵抛物线的开口向上，
∴，
∵与轴的交点在原点上方可，
∴，
∴，即①正确；
∵抛物线与轴交于，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点为，
∴当时，；当时，，
∴两式相减可得，即②正确；
∵抛物线顶点坐标为，开口向下，
∴为最大值，
∴对于任意实数，都有，即③错误；
④由图象可得，当时，，即④正确．
综上，正确的有3个．
故选C．
11．1
原式=.
故答案为1.
12．/60度
解：连接，
∵是的切线，
∴．
又，
平分，
在中，，
∴，
则，
则．
故答案为：．
13．1，2，3
解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为，
∴正整数解为1，2，3．
故答案为：1，2，3．
14．
解：根据题意可得，惠东海龟国家级自然保护区研究人员在保护区遇到棱皮龟的概率是，
故答案为：．
15．12
解：由题意得，，
，
∴可设，，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得或（舍去），
，
∴，
∴，
故答案为：12．
16．1
解：
17．，
解：反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的解析式为．
一次函数的图象经过点，
，
解得．
一次函数的解析式为．
18．(1)见解析
(2)
（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：由（1）得垂直平分，
∴
在中，．
∵，
∴
∴．
四边形是菱形，
．
是等边三角形．
．
19．(1)城市D
(2)贵阳
(3)
（1）解：设贵阳为城市，铜仁为城市，黔东南为城市，黔西南为城市D．
四个城市的平均分为
A：，
B：，
C：，
D：，
∵，
∴小明家将选择贵阳游玩．
（2）解：根据题意得：
A：，
B．，
C：，
D．，
∵，
∴小明家将选择黔西南游玩．
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中选择去同一个城市的结果有4种，所以选择去同一个城市的概率是．
20．(1)支
(2)该球队胜、平、负的场数可以有种情况：胜场、平场、负场；胜场、平场、负场
（1）解：设组有支球队，
依题意得：，
解得：，（舍去）．
答：组有支球队；
（2）由（1）知组共有支球队，则每支队伍比赛场．
设该球队胜了场，平了场，则负了场．
依题意得：，
化简得：，
当时，，此时；
当时，，此时．
答：该球队胜、平、负的场数可以有种情况：胜场、平场、负场；胜场、平场、负场．
21．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：四边形是内接四边形，
∴，
∵，
．
（2）证明：如图，连接．
是的切线，
∴，
．
又在中，，
是等边三角形，
∴．
，
，
，
∴，
是等腰三角形．
，
平分．
（3）解：由（2）得在中，，，
．
是直径，
是直角三角形，且．
∴，
∴，
．
如图，过点作于点．
在中，为动点，为底边，当垂直平分时，的值最大，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
，
∴．
22．（1）；（2）见解析；（3）①矩形，②
（1）解：由折叠得，
故答案为：；
（2）证明：由题意得，四边形是矩形，
∴，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，，
，
∵，，
∴，即，
又由折叠可得，
，
；
（3）解：①矩形，
∵由上可得四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形；
②纸的长、宽比为，
不妨设，
由翻折得，，
同理可得四边形是矩形，
∴．
由（2）得，故，，
设，则，则
由，
得，
解得．
，
．
23．(1)4
(2)7
(3)或或或或
（1）解；，
∴，
点坐标为点坐标为．
将点分别代入中得
解得
抛物线解析式为．
在中，当时，则，
解得，
点坐标为，
∴．
（2）解；设直线的解析式为，
∴，，
．
把点代入，得解得
直线的解析式为．
联立
解得
；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
∵，
∴．
设，
①当时，，
解得，
；
②当时，，
解得
或；
③当时，，
解得
或．
综上，点的坐标为或或或或．