2025年广东省清远市连州市第二中学中考模拟二九年级数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025年广东省清远市连州市第二中学中考模拟二九年级数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-02 15:19:35 | ||
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文档简介
2025年广东省清远市连州市第二中学中考模拟二九年级数学试卷
一、单选题
1．在下列实数中，最小的是（）
A． B． C．0 D．
2．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年在法国巴黎举行，奥运精神是一种鼓励人们不断追求自我超越、团结合作和公平竞争的精神．下列关于体育运动的图标中．属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．据港珠澳大桥边检站统计，2024年3月28日至4月6日，经港珠澳大桥珠海公路口岸出入境的客流车流累计超过1000000人次和170000辆次，日均超过1000000人次和17000辆次，同比增长，，均处于历史最高位．数据“1000000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，则当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺；屈绳量之，不足一尺五寸，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺5寸，木长多少尺？已知1尺寸，如果现在设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，为半圆O的直径，与半圆O相切于点，连接，已知，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，函数的图象过点和．有以下结论：①；②；③关于x的方程必有两个不相等的实数根．其中正确结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．数据的众数为 ．
12．分解因式： ．
13．化简： ．
14．一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数为 ．
15．如图，正方形的边长为4，E是的中点，将正方形沿翻折，点D落在点M处，延长交于点F，则的长为 ．
三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A，B，C均在网格上．
(1)作关于y轴对称的图形；
(2)在x轴上找一点P，使得点P到B，C两点的距离之和最小，并标出P点所在位置；
(3)求的面积．
19．如图，是由在平面内绕点逆时针旋转得到的，且，，连接．
(1)求证：；
(2)四边形是什么特殊的四边形？并说明理由．
20．我国的教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实践相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程《研学旅行》，九年级（5）班数学兴趣小组对本班同学对《研学旅行》课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中，a的值为_______，D组对应的扇形圆心角的度数为______；
(3)该校德育处决定从九年级（5）班调查的D类共4人（有男、女生各2人）中，随机抽取2人到八年级进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的2人恰好是一名男生和一名女生的概率．
21．某县积极响应国家优先发展教育事业的重大部署，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面，铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务．
(1)原计划每天铺设路面多少米？
(2)若承包商原来每天支付工人工资为1200元，提高工作效率后每天支付给工人的工资为1500元，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
22．如图，点均在上，，外一点在直线上，连接交于点，作点关于的对称点，以为顶点作，点在上．
(1)求证：是的切线；
(2)若平分，求的长．
23．综合与探索
【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，
（1）直接写出_________，_________；
（2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________；
（3）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；
【拓展应用】
（4）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
解：∵正数大于，大于负数，，，，
∴和不是最小的，故C、D选项不符合题意，
∴最小的数在负数中，
，．
∵，
∴．
∴最小的数是；
故选：B．
2．D
解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．C
解：．
故选：C．
4．A
解：A. ，该选项正确，故符合题意；
B. ，该选项错误，故不符合题意；
C. ，该选项错误，故不符合题意；
D. ，该选项错误，故不符合题意；
故选：A．
5．C
解：∵，
∴，
∴，即，
解得，
故选：．
6．D
解：
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为．
故选D．
7．B
由用绳子去量长木，绳子还剩余4尺，得．由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺5寸，得．
∴所列方程组为
故选B．
8．A
解：如图，根据题意得，
，
∴，
故选：A．
9．C
如图，连接，则．
，
∴四边形是平行四边形．
．
与相切于点
．
．
．
是的垂直平分线．
，．
．
．
为的直径，
．
．
故选C．
10．D
解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确，
∵的图象过点，
∴，①
∴，
∵的图象过点，
∴，
∴②
得，，
整理得，，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，故②正确；
∵方程，
∴，
∵，
∴，
由图象可知当，直线与抛物线有两个交点，
∴关于x的方程必有两个不等的实数根．故③正确，
∴3个结论正确；
故选：D．
11．
解：∵数据中出现的次数最多，
∴数据的众数为，
故答案为：．
12．
解：
，
故答案为：．
13．4
解：，
故答案为：4．
14．六
解：∵多边形的每一个内角都等于，
∴多边形的每一个外角都等于，
∴边数．
故答案为：六．
15．/
解：如图，连接，
正方形的边长为4，
，，
由折叠可知，，，，
，，
在和中，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，即．
故答案为：．
16．．
解：原式
．
17．
【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值，二次根式的运算．先把分子、分母因式分解，再根据分式混合运算法则计算得出最简结果，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)5
（1）解：如图1，即为所求作的三角形．
（2）解：如图2，作点B关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，点P即为所求．
（3）解：．
19．(1)见解析
(2)菱形，见解析
（1）证明：由旋转知，，，，
∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是菱形．
20．(1)见解析
(2)32，
(3)
（1）解：抽取的学生有（人），
C组的学生有（人）．
补全统计图如图所示．
（2）解：，
∴，
D组对应的扇形圆心角的度数为：
；
（3）解：画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中所选的2人恰好是一名男生和一名女生的有8种结果，
∴所选的2人恰好是一名男生和一名女生的概率为是．
21．(1)80米
(2)18000元
（1）解：设原计划每天铺设路面x米，则提高工作效率后每天铺设路面米．
依题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设路面80米．
（2）解：（元）．
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资18000元．
22．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：如图，连接，设与的交点为，
∵点在上，是经过圆心的直线，
∴点关于的对称点必在上，
是的半径，
∵点在上，
，
∵点和点关于对称，
，
，，，
，
于点，
∴，
，
又，
，即，
是半径，
是的切线；
（2）解：设与的交点为，
平分，
，
，
，
，，
，
∴，
又，
，
∴在中，，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
．
23．（1）4，2；（2）；（3）；（4）存在，点D的坐标为或或
解：（1）在中，分别令，得，即点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
故答案为：4，2；
（2）过点E作轴于M，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴点E的坐标为；
故答案为：；
（3）过点B作交于点C，过点C作轴于点N，如图，
则，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
设直线的解析式为：，
∵直线过点A、C，
∴，解得：，
即直线的解析式为：；
（4）存在
对于，令，得；令，得；
∴；
①当为正方形的一边时，如图，分别过D、C作轴于F，轴于N；
则，
∵，
∴；
∵；，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理得；
②当为正方形的一边时，此时点D的坐标就是①中点C的坐标，点D为①中的点C，
即点D的坐标为；
③当为正方形的对角线时，如图，
过点D作x轴垂线，垂足为点G，过B作于点H，
同理可证明，
∴，
显然点D落在第一象限，设，
则，，
由题意得，四边形是矩形，
∴，
∴，
解得：，
即；
综上，点D的坐标为或或．
一、单选题
1．在下列实数中，最小的是（）
A． B． C．0 D．
2．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年在法国巴黎举行，奥运精神是一种鼓励人们不断追求自我超越、团结合作和公平竞争的精神．下列关于体育运动的图标中．属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．据港珠澳大桥边检站统计，2024年3月28日至4月6日，经港珠澳大桥珠海公路口岸出入境的客流车流累计超过1000000人次和170000辆次，日均超过1000000人次和17000辆次，同比增长，，均处于历史最高位．数据“1000000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，则当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺；屈绳量之，不足一尺五寸，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺5寸，木长多少尺？已知1尺寸，如果现在设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，为半圆O的直径，与半圆O相切于点，连接，已知，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，函数的图象过点和．有以下结论：①；②；③关于x的方程必有两个不相等的实数根．其中正确结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．数据的众数为 ．
12．分解因式： ．
13．化简： ．
14．一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数为 ．
15．如图，正方形的边长为4，E是的中点，将正方形沿翻折，点D落在点M处，延长交于点F，则的长为 ．
三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A，B，C均在网格上．
(1)作关于y轴对称的图形；
(2)在x轴上找一点P，使得点P到B，C两点的距离之和最小，并标出P点所在位置；
(3)求的面积．
19．如图，是由在平面内绕点逆时针旋转得到的，且，，连接．
(1)求证：；
(2)四边形是什么特殊的四边形？并说明理由．
20．我国的教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实践相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程《研学旅行》，九年级（5）班数学兴趣小组对本班同学对《研学旅行》课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中，a的值为_______，D组对应的扇形圆心角的度数为______；
(3)该校德育处决定从九年级（5）班调查的D类共4人（有男、女生各2人）中，随机抽取2人到八年级进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的2人恰好是一名男生和一名女生的概率．
21．某县积极响应国家优先发展教育事业的重大部署，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面，铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务．
(1)原计划每天铺设路面多少米？
(2)若承包商原来每天支付工人工资为1200元，提高工作效率后每天支付给工人的工资为1500元，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
22．如图，点均在上，，外一点在直线上，连接交于点，作点关于的对称点，以为顶点作，点在上．
(1)求证：是的切线；
(2)若平分，求的长．
23．综合与探索
【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，
（1）直接写出_________，_________；
（2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________；
（3）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；
【拓展应用】
（4）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
解：∵正数大于，大于负数，，，，
∴和不是最小的，故C、D选项不符合题意，
∴最小的数在负数中，
，．
∵，
∴．
∴最小的数是；
故选：B．
2．D
解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．C
解：．
故选：C．
4．A
解：A. ，该选项正确，故符合题意；
B. ，该选项错误，故不符合题意；
C. ，该选项错误，故不符合题意；
D. ，该选项错误，故不符合题意；
故选：A．
5．C
解：∵，
∴，
∴，即，
解得，
故选：．
6．D
解：
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为．
故选D．
7．B
由用绳子去量长木，绳子还剩余4尺，得．由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺5寸，得．
∴所列方程组为
故选B．
8．A
解：如图，根据题意得，
，
∴，
故选：A．
9．C
如图，连接，则．
，
∴四边形是平行四边形．
．
与相切于点
．
．
．
是的垂直平分线．
，．
．
．
为的直径，
．
．
故选C．
10．D
解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确，
∵的图象过点，
∴，①
∴，
∵的图象过点，
∴，
∴②
得，，
整理得，，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，故②正确；
∵方程，
∴，
∵，
∴，
由图象可知当，直线与抛物线有两个交点，
∴关于x的方程必有两个不等的实数根．故③正确，
∴3个结论正确；
故选：D．
11．
解：∵数据中出现的次数最多，
∴数据的众数为，
故答案为：．
12．
解：
，
故答案为：．
13．4
解：，
故答案为：4．
14．六
解：∵多边形的每一个内角都等于，
∴多边形的每一个外角都等于，
∴边数．
故答案为：六．
15．/
解：如图，连接，
正方形的边长为4，
，，
由折叠可知，，，，
，，
在和中，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，即．
故答案为：．
16．．
解：原式
．
17．
【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值，二次根式的运算．先把分子、分母因式分解，再根据分式混合运算法则计算得出最简结果，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)5
（1）解：如图1，即为所求作的三角形．
（2）解：如图2，作点B关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，点P即为所求．
（3）解：．
19．(1)见解析
(2)菱形，见解析
（1）证明：由旋转知，，，，
∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是菱形．
20．(1)见解析
(2)32，
(3)
（1）解：抽取的学生有（人），
C组的学生有（人）．
补全统计图如图所示．
（2）解：，
∴，
D组对应的扇形圆心角的度数为：
；
（3）解：画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中所选的2人恰好是一名男生和一名女生的有8种结果，
∴所选的2人恰好是一名男生和一名女生的概率为是．
21．(1)80米
(2)18000元
（1）解：设原计划每天铺设路面x米，则提高工作效率后每天铺设路面米．
依题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设路面80米．
（2）解：（元）．
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资18000元．
22．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：如图，连接，设与的交点为，
∵点在上，是经过圆心的直线，
∴点关于的对称点必在上，
是的半径，
∵点在上，
，
∵点和点关于对称，
，
，，，
，
于点，
∴，
，
又，
，即，
是半径，
是的切线；
（2）解：设与的交点为，
平分，
，
，
，
，，
，
∴，
又，
，
∴在中，，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
．
23．（1）4，2；（2）；（3）；（4）存在，点D的坐标为或或
解：（1）在中，分别令，得，即点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
故答案为：4，2；
（2）过点E作轴于M，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴点E的坐标为；
故答案为：；
（3）过点B作交于点C，过点C作轴于点N，如图，
则，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
设直线的解析式为：，
∵直线过点A、C，
∴，解得：，
即直线的解析式为：；
（4）存在
对于，令，得；令，得；
∴；
①当为正方形的一边时，如图，分别过D、C作轴于F，轴于N；
则，
∵，
∴；
∵；，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理得；
②当为正方形的一边时，此时点D的坐标就是①中点C的坐标，点D为①中的点C，
即点D的坐标为；
③当为正方形的对角线时，如图，
过点D作x轴垂线，垂足为点G，过B作于点H，
同理可证明，
∴，
显然点D落在第一象限，设，
则，，
由题意得，四边形是矩形，
∴，
∴，
解得：，
即；
综上，点D的坐标为或或．
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