第15章 轴对称图形与等腰三角形 小结与复习课件(共26张PPT)2025-2026学年年沪科版八年级数学上册

(共26张PPT)
小结与复习
第 15 章 轴对称图形与
等腰三角形
1.轴对称图形：
如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作它的对称轴.
2.轴对称：
平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿这条直线折叠，这两个图形重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴.
一、轴对称图形与轴对称
3. 轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
轴对称
区别
联系
图形
轴对称图形是指( )个具有特殊形状的图形，只对( ) 个图形而言
轴对称是指( )个全等
图形的位置关系，必须涉及( )个图形
如果把轴对称图形沿对称轴
分成两部分，那么这两个图形
就关于这条直线成轴对称
如果把两个成轴对称的图形
看成一个整体，那么整个图形就是一个轴对称图形
一
一
两
两
4. 轴对称的性质：
① 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
② 反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
1. 线段中垂线的性质定理：
线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等.
2. 逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
二、线段的中垂线
1. 定理①：
等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）
2.性质②：
等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边.
（三线合一）.
推论：
等边三角形的三个角相等，每个内角都等于 60°.
三、等腰（边）三角形
3.等腰(边)三角形的判定及含 30° 角的直角三角形的性质：
判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边).
推论①：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论②：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
1. 性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
2. 判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
四、角平分线的性质与判定
例1 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对称.
(1) 画直线 EF;
(2) 直线 MN 与 EF 相交于点 O，试探究∠BOB″ 与直线
MN，EF 所夹锐角 α 的数量关系.
A
B
C
A′
B′
C′
A″
B″
C″
M
N
【分析】连接△A′B′C′ 和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直平分线即为直线 EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系.
考点一 轴对称图形与轴对称
A
B
C
A′
B′
C′
A″
B″
C″
解：（1）如图，连接 B′B″，作线段 B′B″ 的垂直平分线EF，则直线 EF 是△A′B′C′ 和△A″B″C″ 的对称轴；
（2）连接 B″O，B′O，BO.
因为 △ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，
所以∠BOM =∠B′OM.
因为△A″B″C″ 和△A′B′C′
关于直线 EF 对称，
所以∠B′OE =∠B″OE.
所以∠BOB″ = 2(∠B′OM + ∠B′OE)
= 2α.
F
E
O
M
N
轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点，通过观察日常生活中的轴对称现象，理解轴对称图形和轴对称的概念的区别与联系；学习轴对称变换，不但要会画一个图形关于某直线的对称图形，还要会进行简单的图案设计，利用轴对称作图确定最短路线等.
方法归纳
1.下面的图形是轴对称图形吗 如果是，你能指出它的对称轴吗
针对训练
2. 如图所示，作出△ABC 关于直线 l 的对称图形．
A
B
C
A′
B′
C′
解：△A′B′C′ 就是所求作的图形.
l
例2 如图，AD 是 BC 的垂直平分线，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？
AB + BD 与 DE 有什么关系？
【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可.
A
B
C
D
E
解：∵ AD 是 BC 的垂直平分线，
∴ AB = AC，BD = CD.
∵ 点 C 在 AE 的垂直平分线上，
∴ AC = CE，∴AB = AC = CE.
∴ AB + BD = DE.
考点二 线段的垂直平分线
3.如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AC = 5 cm，△ABD 的周长等于 13 cm，则△ABC 的周长是 cm.
18
C
A
B
D
E
对于求线段之间的数量关系、图形周长的和差关系等问题可以用线段的垂直平分线的性质来简化，部分题目可以结合等腰三角形的“三线合一”来思考.
针对训练
方法归纳
例3 如图所示，在△ABC中，AB = AC，BD⊥AC 于 D.求证： ∠BAC = 2∠DBC.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC 的平分线，来获取角的数量关系.
考点三 等腰（等边）三角形的性质与判定
证明：作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于点 E，如图，
则
∵ AB = AC，∴ AE⊥BC.
∴∠2 +∠C = 90°.
∵ BD⊥AC，∴∠DBC +∠C = 90°.
∴∠2 =∠DBC.
∴∠BAC = 2∠DBC.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常见的辅助线的作法是作顶角的平分线(或底边上的高、中线)，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质，实现线段或角之间的相互转化.
方法归纳
4. 如图，△ABC 中，∠A = 36°，AB = AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，则图中的等腰三角形共有 个.
3
B
C
D
A
5. 如图，已知等边△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，把△BDE 沿直线 DE 翻折，使点 B 落在 B1 处，DB1，EB1 分别交边 AC 于 M、H 点. 若∠ADM = 50°，则∠HEC 的度数为 .
70°
A
B
C
D
E
B1
M
H
针对训练
分析：由角平分线的性质易想到过点 P 向∠ABC 的两边作垂线段 PE、PF，构造角平分线模型.
例4 如图，∠1 =∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°.
求证：PA = PC.
B
A
C
N
)
)
1
2
P
E
F
考点四 角平分线的性质与判定
证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.
又∵∠1 =∠2，∴ PE = PF，∠PEA =∠PFC = 90°.
∵∠PCB + ∠BAP = 180°，∠BAP +∠EAP = 180°，
∴∠EAP = ∠PCB.
在△APE 和△CPF 中，
∠PEA =∠PFC = 90°，
∠EAP =∠FCP，
PE = PF，
∴△APE≌△CPF (AAS).
∴ AP = CP.
B
A
C
N
)
)
1
2
P
E
F
证法2 思路分析：由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形. 方法是在 BC 上截取 BD = BA，连接 PD (如图).
则有△PAB≌△PDB，再证△PDC 是
等腰三角形即可获证.
A
C
N
)
)
1
2
P
B
证明过程请同学们自行完成！
D
【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时可依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线模型；另一种是构造轴对称图形.
6. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F， DE = DF， ∠EDB = 60°，则 ∠EBF = °，BE = .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
7.△ABC中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 .
3
A
B
C
D
E
第6题图
第7题图
针对训练
8. 如图所示，已知△ABC 中，PE∥AB 交 BC 于点 E，PF∥AC 交 BC 于点 F，点 P 是 AD 上一点，且点 D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD 平分∠BAC．理由如下：
∵D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，
∴点 D 在∠EPF 的平分线上．∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4. ∴ AD 平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
线段的垂
直平分线
轴
对
称
角平分线
等腰三角形
轴
对
称
图
形
线段
角
性
质
及
判
定
等腰三角形
等腰三角形的判定：等角对等边.
等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半.