6.2.2 向量的减法运算
[学习目标] 1．借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义．
2．掌握向量减法的几何意义．
3．能熟练地进行向量的加、减综合运算．
[讨论交流] 预习教材P11－P12的内容，思考以下问题：
问题1．a的相反向量是什么？
问题2．向量减法的几何意义是什么？
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 相反向量
探究问题1 一架飞机由A地到B地，再由B地到A地．飞机的两次位移分别是什么？它们之间有什么关系？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成] 相反向量
(1)定义：与向量a长度________，方向________的向量，叫做a的相反向量，记作________．
(2)性质：①－(－a)＝________．
②对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
③若a，b互为相反向量，则a＝________，b＝－a，a＋b＝________．
[典例讲评] 1．若非零向量a和b互为相反向量，则下列说法中错误的是( )
A．a∥b B．a≠b
C．|a|≠|b| D．b＝－a
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
抓住相反向量的两个要素：大小相等、方向相反，对每个选项作出判断，注意零向量．
[学以致用] 1．(多选)下列说法中，错误的是( )
A．等长且方向相反的两个向量是相反向量
B．方向相反的向量是相反向量
C．零向量的相反向量是零向量
D．互为相反向量的两个向量一定不相等
探究2 向量减法的几何意义
探究问题2 已知向量是向量与向量x的和，如图所示，你能作出表示向量x的有向线段吗？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[新知生成]
已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝b，则＝a－b．即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．
[典例讲评] 2．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．
[尝试解答] _________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
[学以致用] 2．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
探究3 向量的加减混合运算
[典例讲评] 3．(1)化简：＋；
(2)化简：－．
[尝试解答] ________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
向量减法运算的常用方法
[学以致用] 3．化简下列各式：
(1)；
(2)＋．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究4 向量加减法的综合应用
[典例讲评] 4．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝c，试用a，b，c表示向量及．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与待证向量的转化渠道．
[学以致用] 4．(源自苏教版教材)如图，点O是 ABCD的两条对角线的交点，＝c，求证：b＋c－a＝．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．在△ABC中，若＝b，则等于( )
A．a B．a＋b C．b－a D．a－b
2．化简等于( )
A． B． C． D．
3．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________．
4．如果a，b都是单位向量，则|a－b|的最大值为________．
1．知识链：(1)向量的减法运算．
(2)向量减法的几何意义．
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算．
6.2.2 向量的减法运算
[探究建构]
探究1
探究问题1 提示：飞机的两次位移分别是；它们的模相等，方向相反．
新知生成 (1)相等 相反 －a (2)a －b 0
典例讲评 1．C [由平行向量的定义可知A项正确；
因为a和b的方向相反，所以a≠b，故B项正确；
由相反向量的定义可知b＝－a，故D项正确；
由相反向量的定义知|a|＝|b|，故C项错误．故选C．]
学以致用 1．BD [相反向量是指大小相等，方向相反的向量，故A正确，B错误；
零向量的相反向量是零向量，故C正确，D错误．故选BD．]
探究2
探究问题2 提示：
典例讲评 2．解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c．
法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c．
学以致用 2．解：如图，在平面内任取一点O，作向量＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c．
探究3
典例讲评 3．解：(1)法一：原式＝
＝
法二：原式＝
＝
＝＋0＝
(2)法一：原式＝
＝
＝＝0．
法二：原式＝
＝
＝
＝＝0＋0＋0＝0．
学以致用 3．解：(1)
(2)＋0＝
探究4
典例讲评 4．解：∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝c，
＝b－a，
＝c－a，
＝c－b，
∴＝b－a＋c．
学以致用 4．证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以
因为b＋c＝，
，
所以b＋c＝＋a，即b＋c－a＝
[应用迁移]
1．D [
2．B [原式＝＋0＝
3．0 2 [若a，b为相反向量，则a＋b＝0，
∴|a＋b|＝0．
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，
∵a与b共线，∴|a－b|＝2．]
4．2 [|a－b|≤|a|＋|b|＝2，故最大值为2．]
6/6(共52张PPT)
6.2.2 向量的减法运算
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
[学习目标] 1．借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义．
2．掌握向量减法的几何意义．
3．能熟练地进行向量的加、减综合运算．
[讨论交流] 预习教材P11－P12的内容，思考以下问题：
问题1．a的相反向量是什么
问题2．向量减法的几何意义是什么
整体感知
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 相反向量
探究问题1 一架飞机由A地到B地，再由B地到A地．飞机的两次位移分别是什么 它们之间有什么关系
探究建构
[提示] 飞机的两次位移分别是；它们的模相等，方向相反．
[新知生成] 相反向量
(1)定义：与向量a长度______，方向______的向量，叫做a的相反向量，记作_____．
(2)性质：①－(－a)＝___．
②对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
③若a，b互为相反向量，则a＝_____，b＝－a，a＋b＝___．
相等
相反
－a
a
－b
0
【教用·微提醒】 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
[典例讲评] 1．若非零向量a和b互为相反向量，则下列说法中错误的是( )
A．a∥b B．a≠b C．|a|≠|b| D．b＝－a
C [由平行向量的定义可知A项正确；
因为a和b的方向相反，所以ab，故B项正确；
由相反向量的定义可知b＝－a，故D项正确；
由相反向量的定义知|a|＝|b|，故C项错误．故选C．]
√
反思领悟 抓住相反向量的两个要素：大小相等、方向相反，对每个选项作出判断，注意零向量．
[学以致用] 1．(多选)下列说法中，错误的是( )
A．等长且方向相反的两个向量是相反向量
B．方向相反的向量是相反向量
C．零向量的相反向量是零向量
D．互为相反向量的两个向量一定不相等
BD [相反向量是指大小相等，方向相反的向量，故A正确，B错误；零向量的相反向量是零向量，故C正确，D错误．故选BD．]
√
√
探究2 向量减法的几何意义
探究问题2 已知向量是向量与向量x的和，如图所示，你能作出表示向量x的有向线段吗
[提示]
[新知生成]
已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝b，则＝a－b．即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．
【教用·微提醒】 两向量要共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点．
【链接·教材例题】
例3 如图6.2-12(1)，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．
[解] 作法：如图6.2-12(2)，在平面内任取一点O，作＝d．则＝c－d．
[典例讲评] 2．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．
[解] 法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c．
法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c．
反思领悟 求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
[学以致用] 2．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c．
[解] 如图，在平面内任取一点O，作向量＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c．
探究3 向量的加减混合运算
[典例讲评] 3．(1)化简：；
(2)化简：．
[解] (1)法一：原式＝
＝．
法二：原式＝
＝
＝＋0＝．
(2)法一：原式＝
＝
＝＝0．
法二：原式＝
＝
＝
＝
＝0＋0＋0＝0．
反思领悟 向量减法运算的常用方法
[学以致用] 3．化简下列各式：
(1)；
(2)．
[解] (1)．
(2)
＋0＝．
探究4 向量加减法的综合应用
【链接·教材例题】
例4 如图6.2-13，在 ABCD中，＝b，你能用a，b表示向量吗
[解] 由向量加法的平行四边形法则，我们知道＝a＋b．
同样，由向量的减法，知＝a－b．
[典例讲评] 4．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝c，试用a，b，c表示向量及．
[解] ∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝c，＝b－a，
＝c－a，＝c－b，
∴＝b－a＋c．
反思领悟 解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与待证向量的转化渠道．
[学以致用] 4．(源自苏教版教材)如图，点O是 ABCD的两条对角线的交点，＝c，求证：b＋c－a＝．
[证明] 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以．
因为b＋c＝，
，
所以b＋c＝＋a，即b＋c－a＝．
【教用·备选题】 (1)已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量满足，则四边形ABCD的形状为___________．
(2)如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，则向量＝________．(用a，b，c表示)．
平行四边形
a－b＋c
(1)平行四边形 (2)a－b＋c [(1)∵，
∴，∴．
∴，且DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)在△AOD中，－a．
在△BOC中，＝c－b．
又在 ABCD中，，
故－a＝c－b，即＝a－b＋c．]
1．在△ABC中，若＝b，则等于( )
A．a B．a＋b C．b－a D．a－b
应用迁移
2
3
题号
4
1
D []
√
2
3
题号
4
1
B [原式＝＋0＝．]
√
2．化简等于( )
A． B． C． D．
3．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝____，|a－b|＝____．
2
3
题号
4
1
0 2 [若a，b为相反向量，则a＋b＝0，
∴|a＋b|＝0．
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，
∵a与b共线，∴|a－b|＝2．]
0
2
2
3
题号
4
1
2 [|a－b|≤|a|＋|b|＝2，故最大值为2．]
2
4．如果a，b都是单位向量，则|a－b|的最大值为_____．
1．知识链：(1)向量的减法运算．
(2)向量减法的几何意义．
2．方法链：数形结合法．
3．警示牌：忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量减法的实质是什么
[提示] 向量减法的实质是向量加法的逆运算，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．利用向量减法的几何意义作向量减法时，要注意什么
[提示] “差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量．”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以 ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝b，则两条对角线表示的向量如何表示
[提示] ＝a－b，这一结论应用非常广泛，应该加强理解并掌握．
4．对于任意的向量a，b，|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系
[提示] 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|．
一、选择题
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A． B．
C． D．
课时分层作业(三) 向量的减法运算
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．下列各式中，恒成立的是( )
A． B．a－a＝0
C． D．＝0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
D [选项D中，＝0．]
3．在四边形ABCD中，设＝c，则等于( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
A [＝a+c－b＝a－b+c．故选A．]
4．已知在四边形ABCD中，，则四边形ABCD一定是( )
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
A [由，可得，
所以四边形ABCD一定是平行四边形．]
5．(多选)下列各式中能化简为的是( )
A．
B．
C．－
D．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
√
√
ABC [选项A中，；选项B中，－0＝；选项C中，－＝－
；选项D中，．]
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
二、填空题
6．若菱形ABCD的边长为2，则的长度为_____．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
2 [＝2．]
2
7．在正六边形ABCDEF中，记向量＝b，则向量＝________．(用a，b表示)
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
b－a [由正六边形的性质知，，
∴＝b－a．]
b－a
8．已知＝a，＝b(a>b)，的取值范围是[5，15]，则a，b的值分别为________．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
10，5 [因为a－b＝||≤＝＋
＝a＋b，
所以 解得]
10，5
三、解答题
9．如图，已知＝f，试用a，b，c，d，f 表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
[解] (1)＝c－a．
(2)＝d－a．
(3)＝d－b．
(4)＝b－a＋f－c．
(5)＝f－d．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
10．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，＝( )
A．8 B．4 C．2 D．1
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
C [根据可知，
△ABC是以A为直角的直角三角形，
∵2＝16，∴＝4，又∵M是BC的中点，
∴×4＝2．故选C．]
√
11．(多选)一艘船在静水中的航行速度为5 km/h，河水的流速为
3 km/h，则船的实际航行的速度可能为( )
A．1 km/h B．5 km/h C．8 km/h D．10 km/h
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
BC [设该船实际航行的速度为v，因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，所以||v静|－|v水||≤|v|≤|v静|＋|v水|，
因为船在静水中的航行速度为5 km/h，河水的流速为3 km/h，所以5－3≤|v|≤5＋3，则2≤|v|≤8，
所以船实际航行的速度的取值范围是[2，8]．故选BC．]
√
√
12．(多选)下列结论正确的是( )
A．若线段AC＝AB＋BC，则向量
B．若向量，则线段AC＝AB＋BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC
D．若向量与反向共线，则＝AB＋BC
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
√
AD [由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则，A正确；三角形内，但ACAB＋BC，B错误；反向共线时，，也即 AC≠AB+BC，C错误；反向共线时，＝AB＋BC，D正确．]
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
13．已知非零向量a，b满足|a|＝＝4，则|a＋b|＝____．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
4 [如图所示，设＝b，则＝|a－b|．
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则＝|a＋b|．由于2＋2＝42，
故＝，所以△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形．根据矩形的对角线相等得＝4，即|a＋b|＝4．]
4
14．已知△OAB中，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|及△AOB的面积．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
[解] 由已知得，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
∴|a＋b|＝＝2×，S△OAB＝．
15．如图所示，在 ABCD中，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
[解] 由向量的平行四边形法则，得＝a－b．
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
THANKS课时分层作业(三) 向量的减法运算
一、选择题
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A． B．
C． D．
2．下列各式中，恒成立的是( )
A． B．a－a＝0
C． D．＝0
3．在四边形ABCD中，设＝c，则等于( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
4．已知在四边形ABCD中，，则四边形ABCD一定是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
5．(多选)下列各式中能化简为的是( )
A．－
B．－
C．－－
D．
二、填空题
6．若菱形ABCD的边长为2，则的长度为________．
7．在正六边形ABCDEF中，记向量＝b，则向量＝________．(用a，b表示)
8．已知＝a，＝b(a>b)，的取值范围是[5，15]，则a，b的值分别为________．
三、解答题
9．如图，已知＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
10．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，＝＝( )
A．8 B．4 C．2 D．1
11．(多选)一艘船在静水中的航行速度为5 km/h，河水的流速为3 km/h，则船的实际航行的速度可能为( )
A．1 km/h B．5 km/h
C．8 km/h D．10 km/h
12．(多选)下列结论正确的是( )
A．若线段AC＝AB＋BC，则向量
B．若向量，则线段AC＝AB＋BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC
D．若向量与反向共线，则＝AB＋BC
13．已知非零向量a，b满足|a|＝＝＝4，则|a＋b|＝________．
14．已知△OAB中，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|及△AOB的面积．
15．如图所示，在 ABCD中，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
课时分层作业(三)
1．B
2．D [选项D中，＝0．]
3．A [
4．A [由，可得，
所以四边形ABCD一定是平行四边形．]
5．ABC [选项A中，；选项B中，－0＝；选项C中，－；选项D中，
6．2 [＝2．]
7．b－a [由正六边形的性质知，，
∴＝b－a．]
8．10，5 [因为a－b＝＝a＋b，
所以 解得]
9．解：(1)＝c－a．
(2)＝d－a．
(3)＝d－b．
(4)＝b－a＋f －c．
(5)＝f －d．
10．C [根据可知，
△ABC是以A为直角的直角三角形，
∵2＝16，∴＝4，
又∵M是BC的中点，
∴×4＝2．
故选C．]
11．BC [设该船实际航行的速度为v，因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，
所以||v静|－|v水||≤|v|≤|v静|＋|v水|，
因为船在静水中的航行速度为5 km/h，河水的流速为3 km/h，所以5－3≤|v|≤5＋3，则2≤|v|≤8，
所以船实际航行的速度的取值范围是[2，8]．故选BC．]
12．AD [由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则，A正确；三角形内，但AC≠AB＋BC，B错误；反向共线时，也即AC≠AB＋BC，C错误； 反向共线时，＝AB＋BC，D正确．]
13．4 [如图所示，
设＝b，则＝|a－b|．以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝|a＋b|．由于2＋2＝42，故2＝所以△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形．根据矩形的对角线相等得＝4，即|a＋b|＝4．]
14．解：由已知得，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
∴|a＋b|＝＝2×，
S△OAB＝
15．解：由向量的平行四边形法则，得＝a－b．
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
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