6.3.1 平面向量基本定理
[学习目标] 1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．
2．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．
3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
[讨论交流] 预习教材P25－P27的内容，思考以下问题：
问题1．平面向量基本定理的内容是什么？
问题2．基底中两个向量满足什么条件？
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 平面向量基本定理
探究问题1 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究问题2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
[新知生成]
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，________实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
2．基底：若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
[典例讲评] 1．(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则
D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．两个向量是否能构成基底，关键是看两向量是否共线．若共线，则不能作为基底，若不共线，则可作为基底．
2．一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一地线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
[学以致用] 1．(1)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
(2)已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________．
探究2 用基底表示向量
[典例讲评] 2．(源自北师大版教材)如图，已知点M，N，P分别是△ABC三边BC，CA，AB上的点，且．设＝b，选择基底{a，b}，试写出向量在此基底下的分解式．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
用基底表示向量的一般方法
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
[学以致用]
2．如图，在正方形ABCD中，设＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为________，以{a，c}为基底时，可表示为________．
探究3 平面向量基本定理的应用
[典例讲评] 3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点．
(1)设＝b，用a，b表示；
(2)已知ED⊥EF，求证：AB＝AD．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
利用向量解决几何问题的一般思路
(1)选取不共线的两个平面向量作为基底．
(2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题．
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解．
(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
[学以致用] 3．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
1．若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量的基底的是( )
A．{e1－e2，e2－e1}
B．
C．{2e2－3e1，6e1－4e2}
D．{e1＋e2，e1＋3e2}
2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e2，则＝( )
A．(e1＋e2) B．(e1－e2)
C． D．(e2－e1)
3．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
4．如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设＝e2，以{e1，e2}为基底来表示，则＝________，＝________．
1．知识链：(1)平面向量基本定理．
(2)用基底表示向量．
(3)平面向量基本定理的应用．
2．方法链：数形结合．
3．警示牌：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量．
6.3.1 平面向量基本定理
[探究建构]
探究1
探究问题1 提示：如图，设＝e2，依据是数乘向量和平行四边形法则，作＝λ2e2，则＝λ1e1＋λ2e2．
探究问题2 提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
新知生成 1．不共线 有且只有一对
2．不共线
典例讲评 1．BC [由平面向量基本定理可知，AD的说法是正确的．
对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．]
学以致用 1．(1)ACD (2)3 [(1)选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．
(2)因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，由平面向量基本定理得 所以 所以x－y＝3．]
探究2
典例讲评 2．解：根据题意，得，
所以(b－a)－b．
同理(b－a)＝b，
b．
学以致用 2．a＋b 2a＋c [以{a，b}为基底时，＝a＋b；
以{a，c}为基底时，将平移，使点B与点A重合，再由向量加法的三角形法则或平行四边形法则得＝2a＋c．]
探究3
典例讲评 3．解：(1)因为AE＝2BE，所以，
所以，
(2)证明：因为ED⊥EF，所以＝0，
即2＝0，
即|a|＝，所以AB＝AD．
学以致用 3．证明：设＝b ．
因为四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|，
又＝b－a，
则＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，
故所以AC⊥BD．
[应用迁移]
1．D [选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，可知只有选项D中的两向量可作为基底．]
2．A [ 因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e2，所以，故选A．]
3．B [因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，所以＝3n－2m＝－2m＋3n．故选B．]
4．e2 e2 [(e2－e1)＝e2，(e2－e1)＝e2．]
5/5(共56张PPT)
6.3.1 平面向量基本定理
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
[学习目标] 1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．
2．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．
3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
整体感知
[讨论交流] 预习教材P25－P27的内容，思考以下问题：
问题1．平面向量基本定理的内容是什么
问题2．基底中两个向量满足什么条件
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 平面向量基本定理
探究问题1 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示 依据是什么
探究建构
[提示] 如图，设＝e2，依据是数乘向量和平行四边形法则，作＝λ2e2，则＝λ1e1＋λ2e2．
探究问题2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示 为什么
[提示] 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
[新知生成]
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，______________实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
2．基底：若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
不共线
有且只有一对
不共线
【教用·微提醒】 (1)同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可．
(2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的．
[典例讲评] 1．(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则
D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
√
√
BC [由平面向量基本定理可知，AD的说法是正确的．
对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．]
反思领悟 1．两个向量是否能构成基底，关键是看两向量是否共线．若共线，则不能作为基底，若不共线，则可作为基底．
2．一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一地线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，
若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
[学以致用] 1．(1)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
(2)已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝____．
3
√
√
√
(1)ACD (2)3 [(1)选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．
(2)因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，由平面向量基本定理得
所以 所以x－y＝3．]
探究2 用基底表示向量
【链接·教材例题】
例1 如图6.3-4，不共线，且(t∈R)，用表示．
[解] 因为，
所以
＝
＝＋t
＝
＝(1－t)．
[典例讲评] 2．(源自北师大版教材)如图，已知点M，N，P分别是△ABC三边BC，CA，AB上的点，且．设＝b，选择基底{a，b}，试写出向量在此基底下的分解式．
[解] 根据题意，得，
所以(b－a)－b．
同理(b－a)＝b，
b．
反思领悟 用基底表示向量的一般方法
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
[学以致用] 2．如图，在正方形ABCD中，设＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为________，以{a，c}为基底时，可表示为________．
a＋b 2a＋c [以{a，b}为基底时，＝a＋b；
以{a，c}为基底时，将平移，使点B与点A重合，再由向量加法的三角形法则或平行四边形法则得＝2a＋c．]
a＋b
2a＋c
探究3 平面向量基本定理的应用
【链接·教材例题】
例2 如图6.3-5，CD是△ABC的中线，CD＝AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形．
分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示．本题可取{}为基底，用它表示．证明＝0，可得，从而证得△ABC是直角三角形．
[证明] 如图6.3-6，设＝b，则＝－b，于是＝a－b．
＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
因为CD＝AB，
所以CD＝DA．
因为a2＝CD2，b2＝DA2，
所以＝0．
因此CA⊥CB．
于是△ABC是直角三角形．
[典例讲评] 3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点．
(1)设＝b，用a，b表示；
(2)已知ED⊥EF，求证：AB＝AD．
[解] (1)因为AE＝2BE，所以，所以，
．
(2)证明：因为ED⊥EF，所以＝0，
即2＝0，
即|a|＝，所以AB＝AD．
反思领悟 利用向量解决几何问题的一般思路
(1)选取不共线的两个平面向量作为基底．
(2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题．
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解．
(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
[学以致用] 3．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．
[证明] 设＝b．
因为四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|，
又＝b－a，
则＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，故．
所以AC⊥BD．
【教用·备选题】如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB．求证：AD⊥CE
[证明]
＝
＝
＝＝－．
因为CA＝CB，所以－＝0，
即＝0，故AD⊥CE．
1．若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量的基底的是( )
A．{e1－e2，e2－e1} B．
C．{2e2－3e1，6e1－4e2} D．{e1＋e2，e1＋3e2}
应用迁移
2
3
题号
4
1
√
D [选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2，为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，可知只有选项D中的两向量可作为基底．]
2
3
题号
4
1
2
3
题号
4
1
A [因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e2，所以，故选A．]
√
2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e2，则＝( )
A．(e1＋e2) B．(e1－e2)
C． D．(e2－e1)
3．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
2
3
题号
4
1
B [因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以，即＝2，所以＝3n－2m＝－2m＋3n．故选B．]
√
2
3
题号
4
1
e2 e2 [(e2－e1)＝e2，(e2－e1)＝e2．]
4．如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设＝e2，以{e1，e2}为基底来表示，则＝___________，＝___________．
e2
e2
1．知识链：(1)平面向量基本定理．
(2)用基底表示向量．
(3)平面向量基本定理的应用．
2．方法链：数形结合．
3．警示牌：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面内满足什么条件的两个向量可以构成基底
[提示] 平面内任意不共线的两个向量都可以构成一个基底．
2．若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系
[提示] 由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2．
一、选择题
1．(多选)如图所示，设O是平行四边形ABCD的两
条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为
该平面内所有向量的基底的是( )
A．与 B．与 C．与 D．与
课时分层作业(七) 平面向量基本定理
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
AC [对于B，共线，对于D，共线，选项A，C中两向量不共线．故选AC．]
√
2．在△ABC中，，则＝( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A [
．
故选A．]
3．如图，在平行四边形ABCD中，
，则＝( )
A．a＋ B．＋b C．－b D．a－
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
B [因为，所以，
则＋b．
故选B．]
4．已知非零向量不共线，且2，若(λ∈R)，则x，y满足的关系式是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
A [由，得＝λ，即＝(1＋λ)．又2，
所以消去λ得x＋y－2＝0．]
5．已知E，F分别为四边形ABCD的边CD，BC上的中点，设＝b，则＝( )
A．(a＋b) B．－(a＋b) C．(a－b) D．(b－a)
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
B [如图所示，
∵E，F分别为四边形ABCD的边CD，BC上的中点，
故EF为△CDB的中位线，
则(a＋b)．故选B．]
二、填空题
6．已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
－ [由条件可知解得]
－
7．设a，b是两个不共线的非零向量，＝tb(t∈R)，(a＋b)．若A，B，C三点共线，则t＝______．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
[因为(a＋b)，所以＝－a＋tb，
(a＋b)－a＝－，因为A，B，C三点共线，所以，所以存在唯一λ(λ∈R)，使得，
所以－a＋tb＝－λb，又因为a，b是两个不共线的非零向量，
所以解得λ＝．]
8．如图，在平行四边形ABCD中，E，F依次是
对角线AC上的两个三等分点，设＝b，
试用a与b表示和，则＝________，＝___________．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
－ [(a＋b)＝，(a＋b)＝
－．]
－
三、解答题
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
[解] (1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
所以λ不存在．
故a与b不共线，可以作为一个基底．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2．
所以 解得
所以c＝2a＋b．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
10．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设＝m＋n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足( )
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
B [如图所示，利用平行四边形法则，将分解到和上，有，
则＝m，＝n，
很明显与方向相同，
则m>0；
与方向相反，则n<0．]
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
11．如图，在△ABC中，，若，则等于( )
A． B． C．3 D．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
A [由题意可得，，
，据此可知λ＝，则．]
√
12．(多选)如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
√
√
ABD [，A正确；，B正确；，C错误；，D正确．]
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
13．已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，，其中x，y∈R，且均不为0．若，则＝____．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
[，由，可设(λ∈R)，
即＝λ＝λ，
所以．]
14．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足．
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设，求x，y的值．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
[解] (1)由可知M，B，C三点共线，
如图，令
＋λ
＝(1－λ) λ＝，
所以，即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4．
(2)由，
由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的四等分点．设＝b．
(1)用a，b表示；
(2)如果|b|＝2|a|，EF，EG 有什么位
置关系 用向量的方法证明你的结论．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
[解] (1)由已知，得，，
所以，
．
(2)＝2，
如果|b|＝2＝0，即EF⊥EG．
所以EF与EG互相垂直．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
THANKS课时分层作业(七) 平面向量基本定理
一、选择题
1．(多选)如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
2．在△ABC中，，则＝( )
A． B．
C． D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，，则＝( )
A．a＋ B．＋b
C．－b D．a－
4．已知非零向量不共线，且2，若(λ∈R)，则x，y满足的关系式是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
5．已知E，F分别为四边形ABCD的边CD，BC上的中点，设＝b，则＝( )
A．(a＋b) B．－(a＋b)
C．(a－b) D．(b－a)
二、填空题
6．已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________．
7．设a，b是两个不共线的非零向量，＝tb(t∈R)，(a＋b)．若A，B，C三点共线，则t＝________．
8．如图，在平行四边形ABCD中，E，F依次是对角线AC上的两个三等分点，设＝b，试用a与b表示和，则＝________，＝________．
三、解答题
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2．
10．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设＝m＋n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足( )
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
11．如图，在△ABC中，，若，则等于( )
A． B． C．3 D．
12．(多选)如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．
D．
13．已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，，其中x，y∈R，且均不为0．若，则＝________．
14．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足．
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设，求x，y的值．
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的四等分点．设＝b．
(1)用a，b表示；
(2)如果|b|＝2|a|，EF，EG 有什么位置关系？用向量的方法证明你的结论．
课时分层作业(七)
1．AC [对于B，共线，对于D，共线，选项A，C中两向量不共线．故选AC．]
2．A []＝
故选A．
]
3．B [因为，所以，
则＋b．故选B．]
4．A [由，得＝λ，即＝(1＋λ)又2，
所以消去λ得x＋y－2＝0．]
5．B [如图所示，
∵E，F分别为四边形ABCD的边CD，BC上的中点，故EF为△CDB的中位线，
则
＝(a＋b)．故选B．]
6． － [由条件可知
解得]
7． [因为(a＋b)，
所以＝－a＋tb，
(a＋b)－a＝－，
因为A，B，C三点共线，所以，
所以存在唯一λ(λ∈R)，使得，
所以－a＋tb＝－λb，
又因为a，b是两个不共线的非零向量，
所以
解得λ＝
8． － [(a＋b)＝，
(a＋b)＝－
9．解：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
所以λ不存在．
故a与b不共线，可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2．
所以
解得 所以c＝2a＋b．
10．B [如图所示，利用平行四边形法则，将分解到上，有，
则，很明显方向相同，则m>0；
方向相反，则n<0．]
11．A [由题意可得，，
12．ABD [，A正确；，B正确；，C错误；，D正确．]
13． [，
由，可设(λ∈R)，
即＝λ
＝λ，
所以．]
14．解： (1)由可知M，B，C三点共线，
如图，令＋λ＝(1－λ) λ＝，
所以，即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4．
(2)由，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线
15．解：(1)由已知，得，
，
所以，
．
(2)
＝2，
如果|b|＝2＝0，即EF⊥EG．
所以EF与EG互相垂直．
4/4
