6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
[学习目标] 1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
2．掌握两个向量加、减运算的坐标表示．
[讨论交流] 预习教材P27－P30的内容，思考以下问题：
问题1．怎样分解一个向量才是正交分解？
问题2．如何求两个向量和、差的向量的坐标？
问题3．一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 平面向量的正交分解及坐标表示
探究问题1 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？如何表示直角坐标平面内的一个向量？
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[新知生成] 平面向量坐标的相关概念
[典例讲评] 1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐标．
[尝试解答] _________________________________________________________
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求点坐标的常用方法
求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．
[学以致用] 1．(1)如图，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝，θ＝45°，则向量a的坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C． D．
(2)如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________．
探究2 平面向量加、减运算的坐标表示
探究问题2 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？
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探究问题3 向量与向量有什么关系？如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？
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[新知生成] 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表：
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的________ a＋b＝________
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的________ a－b＝________
重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标 已知A(xA，yA)，＝________
[典例讲评] 2．已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝c，且＝b．
(1)求a＋b－c；
(2)求点M，N的坐标及向量的坐标．
[尝试解答] _________________________________________________________
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平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算．
(3)向量的坐标(线性)运算可类比数的运算进行．
[学以致用] 2．(1)已知四边形ABCD为平行四边形，＝(2，3)，＝(－1，2)，则＝( )
A．(－2，4) B．(4，6)
C．(－6，－2) D．(－1，9)
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，则a＋b＝________，a－b＝________．
探究3 平面向量坐标运算的应用
[典例讲评] 3．已知点O(0，0)，A(1，2)．
(1)若点B(3t，3t)，，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由．
[尝试解答] _________________________________________________________
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向量相等的条件及其应用
(1)条件：相等向量的对应坐标相等．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．
[学以致用] 3．已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是________．
1．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A，则可以表示为( )
A．2i－j B．4i＋2j
C．2i＋3j D．－2i＋j
2．已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，则b等于( )
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(5，6) D．(2，0)
3．(多选)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任意一向量a，下列结论中正确的是( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a的起点坐标是(1，1)，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x－1，y－1)
4．已知向量a的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且|a|＝4，则a的坐标为________．
1．知识链：(1)平面向量的正交分解及坐标表示．
(2)平面向量加、减运算的坐标表示．
(3)平面向量坐标运算的应用．
2．方法链：数形结合．
3．警示牌：已知A，B两点求的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标．
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
[探究建构]
探究1
探究问题1 提示：由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj．向量a的坐标表示为a＝(x，y)．
新知生成 互相垂直 x，y
典例讲评 1．解：设点A(x，y)，则x＝cos 60°＝4·cos 60°＝2，y＝sin 60°＝4sin 60°＝6，即A，所以
学以致用 1．(1)A (2)(－4，0) (0，6) (－2，－5)
[(1)由题意，得a＝＝i＋j＝(1，1)．
所以a＝(1，1)．故选A．
(2)将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，∴a＝(－4，0)，b＝0i＋6j，
∴b＝(0，6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．]
探究2
探究问题2 提示：a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2)．
探究问题3 提示：，故＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．
新知生成 和 (x1＋x2，y1＋y2) 差 (x1－x2，y1－y2) 终点 起点 (xB－xA，yB－yA)
典例讲评 2．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)a＋b－c＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1，8)＝(－2，－16)．
(2)设O为坐标原点．
∵＝c，
∴＝(1，8)＋(－3，－4)＝(－2，4)，
∴M(－2，4)．
又∵＝b，
∴＝(－6，－3)＋(－3，－4)＝(－9，－7)，
∴N(－9，－7)，
∴＝(－9，－7)－(－2，4)＝(－7，－11)．
学以致用 2．(1)A (2)(2，－3) (－4，7) [(1)因为＝(1，5)，＝(－3，－1)，所以＝(－2，4)．故选A．
(2)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)．]
探究3
典例讲评 3．解：(1)＝(1，2)＋(3t，3t)＝(1＋3t，2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－
若点P在第二象限，则 ∴－(2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则，
∴ 该方程组无解．
故四边形OABP不能成为平行四边形．
学以致用 3．(1，3)∪(3，＋∞) [当四边形ABCD为平行四边形时，则＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．
]
[应用迁移]
1．A [由题意知，＝(4，2)－(2，3)＝(2，－1)，所以＝2i－j．故选A．]
2．A [b＝a＋b－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．故选A．]
3．AD [对于A，由平面向量基本定理可知，平面向量的横纵坐标是确定的，故A正确；
对于B，如果两个向量不相等，则其横纵坐标不完全相等，即(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2或y1≠y2；故B错误；
对于C，平面向量是可以平移的，所以a＝(x，y)与a的起点是不是坐标原点无关，故C错误；
对于D，平面向量是由起点和终点坐标决定的，等于终点坐标减起点坐标，故D正确．故选AD．]
4．或 [设a＝(x，y)，若向量a在第一象限，则x＝|a|cos 30°＝4×，
y＝|a|sin 30°＝4×＝2，所以a＝
若向量a在第四象限，则
x＝|a|cos 30°＝4×，
y＝－|a|sin 30°＝－4×＝－2，
所以a＝
综上，a的坐标为
6/6(共59张PPT)
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
[学习目标] 1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
2．掌握两个向量加、减运算的坐标表示．
整体感知
[讨论交流] 预习教材P27－P30的内容，思考以下问题：
问题1．怎样分解一个向量才是正交分解
问题2．如何求两个向量和、差的向量的坐标
问题3．一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 平面向量的正交分解及坐标表示
探究问题1 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么 如何表示直角坐标平面内的一个向量
探究建构
[提示] 由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj．向量a的坐标表示为a＝(x，y)．
[新知生成]
平面向量坐标的相关概念
互相垂直
x,y
【教用·微提醒】 (1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y)．
(2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同．
【链接·教材例题】
例3 如图6.3-10，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．
[解] 由图6.3-10可知，a＝＋＝2i＋3j，
所以a＝(2，3)．
同理，b＝－2i＋3j＝(－2，3)，
c＝－2i－3j＝(－2，－3)，
d＝2i－3j＝(2，－3)．
[典例讲评] 1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐标．
[解] 设点A(x，y)，则x＝cos 60°＝4·cos 60°＝2，y＝sin 60°＝4sin 60°＝6，即A，所以．
反思领悟 求点坐标的常用方法
求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．
[学以致用] 1．(1)如图，分别取与x轴、y轴正方向
相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝，
θ＝45°，则向量a的坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C． D．
√
(2)如图，向量a，b，c的坐标分别是___________，___________，
______________．
(－4，0)
(0，6)
(－2，－5)
(1)A (2)(－4，0) (0，6) (－2，－5) [(1)由题意，得a＝＝i＋j＝(1，1)．
所以a＝(1，1)．故选A．
(2)将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，
∴a＝(－4，0)，b＝0i＋6j，
∴b＝(0，6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．]
探究2 平面向量加、减运算的坐标表示
探究问题2 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗
[提示] a＋b＝(x1i＋y1 j )＋(x2i＋y2 j )＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2)．
探究问题3 向量与向量有什么关系 如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标
[提示] ，故＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．
[新知生成]
平面向量加、减运算的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表：
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____ a＋b＝______________
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____ a－b＝_______________
和
(x1＋x2，y1＋y2)
差
(x1－x2，y1－y2)
文字描述 符号表示
重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的______的坐标减去______的坐标
终点
起点
(xB－xA，yB－yA)
【链接·教材例题】
例4 已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求a＋b，a－b的坐标．
[解] a＋b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)，
a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)．
[典例讲评] 2．已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝c，且＝b．
(1)求a＋b－c；
(2)求点M，N的坐标及向量的坐标．
[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)a＋b－c＝(5，－5)＋(－6，－3)－(1，8)＝(－2，－16)．
(2)设O为坐标原点．∵＝c，
∴＝(1，8)＋(－3，－4)＝(－2，4)，
∴M(－2，4)．
又∵＝b，
∴＝(－6，－3)＋(－3，－4)＝(－9，－7)，∴N(－9，－7)，∴＝(－9，－7)－(－2，4)＝(－7，－11)．
反思领悟 平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算．
(3)向量的坐标(线性)运算可类比数的运算进行．
[学以致用] 2．(1)已知四边形ABCD为平行四边形，＝(2，3)，＝(－1，2)，则＝( )
A．(－2，4) B．(4，6) C．(－6，－2) D．(－1，9)
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，则a＋b＝________，a－b＝________．
(2，－3)
(－4，7)
√
(1)A (2)(2，－3) (－4，7) [(1)因为＝(1，5)，＝(－3，－1)，所以＝(－2，4)．故选A．
(2)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)．]
【链接·教材例题】
例5 如图6.3-13，已知 ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是
(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，求顶点D的坐标．
[解] 解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为(x，y)．
因为＝(－1－(－2)，3－1)＝(1，2)，
＝(3－x，4－y)，
又，所以(1，2)＝(3－x，4－y)．
即解得
所以顶点D的坐标为(2，2)．
解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知
＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)
＝(3，－1)，
而＝(－1，3)＋(3，－1)＝(2，2)．
所以顶点D的坐标为(2，2)．
[典例讲评] 3．已知点O(0，0)，A(1，2)．
(1)若点B(3t，3t)，，则t为何值时，点P在x轴上 点P在y轴上 点P在第二象限
(2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗 若能，求t值；若不能，说明理由．
[解] (1)＝(1，2)＋(3t，3t)＝(1＋3t，2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－．
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－．
若点P在第二象限，则 ∴－(2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则，
∴ 该方程组无解．
故四边形OABP不能成为平行四边形．
反思领悟 向量相等的条件及其应用
(1)条件：相等向量的对应坐标相等．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．
[学以致用] 3．已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是_____________________．
(1，3)∪(3，＋∞) [当四边形ABCD为平行四边形时，则＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1，3)∪
(3，＋∞)．]
(1，3)∪(3，＋∞)
【教用·备选题】 已知点A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ) (λ∈R)．若，试求λ为何值时，
(1)点P在第一、三象限的角平分线上；
(2)点P在第三象限内．
[解] 设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)
＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵，∴
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝．
(2)若点P在第三象限内，则∴λ<－1．
1．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为( )
A．2i－j B．4i＋2j C．2i＋3j D．－2i＋j
应用迁移
2
3
题号
4
1
A [由题意知，＝(4，2)－(2，3)＝(2，－1)，
所以＝2i－j．故选A．]
√
2
3
题号
4
1
A [b＝a＋b－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．故选A．]
√
2．已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，则b等于( )
A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0)
3．(多选)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任意一向量a，下列结论中正确的是( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a的起点坐标是(1，1)，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x－1，y－1)
2
3
题号
4
1
√
√
AD [对于A，由平面向量基本定理可知，平面向量的横纵坐标是确定的，故A正确；
对于B，如果两个向量不相等，则其横纵坐标不完全相等，即(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2或y1y2；故B错误；
对于C，平面向量是可以平移的，所以a＝(x，y)与a的起点是不是坐标原点无关，故C错误；
对于D，平面向量是由起点和终点坐标决定的，等于终点坐标减起点坐标，故D正确．故选AD．]
2
3
题号
4
1
2
3
题号
4
1
或 [设a＝(x，y)，若向量a在第一象限，则
x＝|a|cos 30°＝4×，y＝|a|sin 30°＝4×＝2，
所以a＝．
若向量a在第四象限，则x＝|a|cos 30°＝4×，
y＝－|a|sin 30°＝－4×＝－2，所以a＝．
综上，a的坐标为．]
或
4．已知向量a的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且|a|＝4，则a的坐标为_______________________．
1．知识链：(1)平面向量的正交分解及坐标表示．
(2)平面向量加、减运算的坐标表示．
(3)平面向量坐标运算的应用．
2．方法链：数形结合．
3．警示牌：已知A，B两点求的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面向量正交分解与平面向量基本定理存在哪些联系
[提示] 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
2．向量终点的坐标就是向量的坐标吗
[提示] 如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，如：若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝(xB－xA，yB－yA)．
3．如何求两个向量的和或差的坐标
[提示] 向量和、差的坐标就是这两个向量相应坐标的和、差．
一、选择题
1．已知＝(－2，4)，则下列说法正确的是( )
A．A点的坐标是(－2，4)
B．B点的坐标是(－2，4)
C．当B点是原点时，A点的坐标是(－2，4)
D．当A点是原点时，B点的坐标是(－2，4)
课时分层作业(八) 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
D [由平面向量的坐标表示可知，当A点是原点时，B点的坐标是(－2，4)．故选D．]
2．已知向量＝(2，4)，＝(0，2)，则＝( )
A．(－2，－2) B．(2，2)
C．(1，1) D．(－1，－1)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A []
3．如图所示，{e1，e2}为单位正交基底，则向量a，b的坐标分别是( )
A．(3，4)，(2，－2)
B．(2，3)，(－2，－3)
C．(2，3)，(2，－2)
D．(3，4)，(－2，－3)
题号
3
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1
√
C [根据平面直角坐标系，可知a＝2e1＋3e2，b＝2e1－2e2，
∴a＝(2，3)，b＝(2，－2)．故选C．]
4．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为( )
A．(－7，0) B．(7，6) C．(6，7) D．(7，－6)
题号
3
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1
√
D [因为四边形ABCD为平行四边形，所以．
设D(x，y)，则有(－1－5，7＋1)＝(1－x，2－y)，
即 解得 因此D点坐标为(7，－6)．]
5．(多选)在平面直角坐标系中，点A(2，3)，
B(－3，4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的
两个单位向量分别为i和j，则下列选项正确的
是( )
A．＝2i＋3j B．＝3i＋4j
C．＝－5i＋j D．＝5i－j
题号
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1
√
ACD [i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝5i－j．]
√
√
二、填空题
6．已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
题号
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1
－3 [因为a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
所以 所以
所以m－n＝2－5＝－3．]
－3
7．已知2 024个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8，15)，则其余2 023个向量的和为_____________．
题号
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1
(－8，－15) [设其余2 023个向量的和为(x，y)，
则(8，15)＋(x，y)＝(0，0)，
∴(x，y)＝(－8，－15)．]
(－8，－15)
8．如图，在 ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝_____________．
题号
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1
(－3，－5) [＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1)，
＝(－1，－1)－(2，4)＝(－3，－5)．]
(－3，－5)
三、解答题
9．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
(1)若，求点P的坐标；
(2)若＝0，求的坐标．
题号
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1
[解] (1)因为＝(1，2)，＝(2，1)，
所以＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，即点P的坐标为(3，3)．
(2)设点P的坐标为(x，y)，
因为＝0，又＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
所以 解得
所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2)．
题号
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1
10．已知点A(2 022，12)，B(－1，8)，将向量按向量a＝(2 022，27)平移，所得到的向量坐标是( )
A．(2 023，4) B．(－2 023，－4)
C．(15，23) D．(4 003，23)
题号
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1
B [∵A(2 022，12)，B(－1，8)，∴＝(－2 023，－4)．
又∵按向量a平移后不发生变化，∴平移后＝(－2 023，－4)．]
√
11．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
题号
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1
D [因为x2＋x＋1＝＞0，－(x2－x＋1)＝－＜0，所以向量a对应的坐标位于第四象限．]
√
12．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a b，那么向量b等于( )
A． B． C． D．
题号
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1
A [设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝．]
√
13．小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则S△OAB＝．试用上述成果解决问题：已知A(1，1)，B(2，3)，C(4，5)，则S△ABC＝_____．
题号
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1
1 [因为A(1，1)，B(2，3)，C(4，5)，所以＝(1，2)，＝(3，4)，
又当＝(x1，y1)，＝(x2，y2)时，
S△OAB＝，所以S△ABC＝＝1．]
1
14．已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点．
题号
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1
[解] 设点D的坐标为(x，y)，
当平行四边形为ABCD时，由＝(1，2)，＝(3－x，4－y)，且，得D(2，2)；
当平行四边形为ACDB时，由＝(1，2)，＝(x－3，y－4)，且，得D(4，6)；
当平行四边形为ACBD时，由＝(5，3)，＝(－1－x，3－y)，且，得D(－6，0)．
故点D的坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0)．
15．借助三角定义及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题．试解答下列问题．
(1)在直角坐标系中，将点A(2，1)绕坐标原点
O逆时针旋转到点B，求点B的坐标；
(2)如图，设向量＝(a，b)，把向量按逆时针方向旋转θ角得到向量，求向量的坐标．
题号
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1
[解] (1)设＝r B(x，y)，
则x＝r cos ＝r cos αcos －r sin αsin ，
y＝r sin ＝r sin αcos ＋r cos αsin ，
所以B．
题号
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1
(2)把向量的起点平移到原点O，如图，＝(a，b)，，
设以为终边的角为α，则以为终边的角为α＋θ，
记r＝||＝||，C′(x，y)，
则
则x＝r cos (α＋θ)＝r cos αcos θ－r sin αsin θ＝a cos θ－b sin θ，
y＝r sin (α＋θ)＝r sin αcos θ＋r cos αsin θ＝b cos θ＋a sin θ，
所以＝(a cos θ－b sin θ，b cos θ＋a sin θ)．
题号
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1
THANKS课时分层作业(八) 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示
一、选择题
1．已知＝(－2，4)，则下列说法正确的是( )
A．A点的坐标是(－2，4)
B．B点的坐标是(－2，4)
C．当B点是原点时，A点的坐标是(－2，4)
D．当A点是原点时，B点的坐标是(－2，4)
2．已知向量＝(2，4)，＝(0，2)，则＝( )
A．(－2，－2) B．(2，2)
C．(1，1) D．(－1，－1)
3．如图所示，{e1，e2}为单位正交基底，则向量a，b的坐标分别是( )
A．(3，4)，(2，－2)
B．(2，3)，(－2，－3)
C．(2，3)，(2，－2)
D．(3，4)，(－2，－3)
4．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为( )
A．(－7，0) B．(7，6)
C．(6，7) D．(7，－6)
5．(多选)在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列选项正确的是( )
A．＝2i＋3j B．＝3i＋4j
C．＝－5i＋j D．＝5i－j
二、填空题
6．已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
7．已知2 024个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8，15)，则其余2 023个向量的和为________．
8．如图，在 ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝________．
三、解答题
9．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
(1)若，求点P的坐标；
(2)若＝0，求的坐标．
10．已知点A(2 022，12)，B(－1，8)，将向量按向量a＝(2 022，27)平移，所得到的向量坐标是( )
A．(2 023，4) B．(－2 023，－4)
C．(15，23) D．(4 003，23)
11．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
12．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a b，那么向量b等于( )
A． B．
C． D．
13．小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则S△OAB＝．试用上述成果解决问题：已知A(1，1)，B(2，3)，C(4，5)，则S△ABC＝________．
14．已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点．
15．借助三角定义及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题．试解答下列问题．
(1)在直角坐标系中，将点A(2，1)绕坐标原点O逆时针旋转到点B，求点B的坐标；
(2)如图，设向量＝(a，b)，把向量按逆时针方向旋转θ角得到向量，求向量的坐标．
课时分层作业(八)
1．D [由平面向量的坐标表示可知，当A点是原点时，B点的坐标是(－2，4)．故选D．]
2．A [
3．C [根据平面直角坐标系，可知a＝2e1＋3e2，b＝2e1－2e2，∴a＝(2，3)，b＝(2，－2)．故选C．]
4．D [因为四边形ABCD为平行四边形，
所以
设D(x，y)，则有(－1－5，7＋1)＝(1－x，2－y)，
即 解得
因此D点坐标为(7，－6)．]
5．ACD [i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝5i－j．]
6．－3 [因为a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
所以 所以
所以m－n＝2－5＝－3．]
7．(－8，－15) [设其余2 023个向量的和为(x，y)，
则(8，15)＋(x，y)＝(0，0)，
∴(x，y)＝(－8，－15)．]
8．(－3，－5) [＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1)，
＝(－1，－1)－(2，4)＝(－3，－5)．]
9．解：(1)因为＝(1，2)，＝(2，1)，
所以＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，
即点P的坐标为(3，3)．
(2)设点P的坐标为(x，y)，
因为＝0，又＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
所以 解得
所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2)．
10．B [∵A(2 022，12)，B(－1，8)，
∴＝(－2 023，－4)．
又∵按向量a平移后不发生变化，
∴平移后＝(－2 023，－4)．]
11．D [因为x2＋x＋1＝＞0，
－(x2－x＋1)＝－＜0，
所以向量a对应的坐标位于第四象限．]
12．A [设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝
13．1 [因为A(1，1)，B(2，3)，C(4，5)，
所以＝(1，2)，＝(3，4)，
又当＝(x1，y1)，＝(x2，y2)时，
S△OAB＝，
所以S△ABC＝＝1．]
14．解：设点D的坐标为(x，y)，
当平行四边形为ABCD时，由＝(1，2)，＝(3－x，4－y)，且，得D(2，2)；
当平行四边形为ACDB时，由＝(1，2)，＝(x－3，y－4)，且，得D(4，6)；
当平行四边形为ACBD时，由＝(5，3)，＝(－1－x，3－y)，且，得D(－6，0)．
故点D的坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0)．
15．解：(1)设＝r B(x，y)，
则x＝r cos ＝r cos αcos －r sin αsin ，
y＝r sin ＝r sin αcos ＋r cos αsin ，
所以B
(2)把向量的起点平移到原点O，如图，＝(a，b)，，
设以为终边的角为α，则以为终边的角为α＋θ，
记r＝|OC′|＝|OB′|，C′(x，y)，
则
则x＝r cos (α＋θ)＝r cos αcos θ－r sin αsin θ＝a cos θ－b sin θ，
y＝r sin (α＋θ)＝r sin αcos θ＋r cos αsin θ＝b cos θ＋a sin θ，
所以＝(a cos θ－b sin θ，b cos θ＋a sin θ)．
4/4
