6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
[学习目标] 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线.
[讨论交流] 预习教材P31-P33的内容,思考以下问题:
问题1.两向量共线的充要条件是什么?
问题2.如何利用向量的坐标表示两个向量共线?
[自我感知] 经过认真的预习,结合对本节课的理解和认识,请画出本节课的知识逻辑体系.
探究1 平面向量数乘运算的坐标表示
探究问题1 当a=(x,y)时,2a如何表示?
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[新知生成]
已知a=(x,y),则λa=________,这就是说,实数与向量的积的坐标等于用这个实数________________.
[典例讲评] 1.已知向量a=.
(1)求2a-3b+c;
(2)求满足c=ma+nb的实数m,n.
[尝试解答] _________________________________________________________
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平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行计算.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行.
[学以致用] 1.(源自北师大版教材)已知A(2,-4),B(-1,3),C(3,4),且求点M的坐标.
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探究2 平面向量共线的坐标表示及其应用
探究问题2 已知a,b两向量,则两个向量共线的条件是什么?如何用坐标表示两个向量共线?
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[新知生成]
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.
向量a,b(b≠0)共线的充要条件是________.
[典例讲评] 2.(1)已知向量a=(1,-2),b=(3,4).若(3a-b)∥(a+kb),则k=________.
(2)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,向量=(1,1),=(2,-3),=(-6,29),试判断A,B,C三点是否共线,写出理由.
[尝试解答] _________________________________________________________
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三点共线的实质与证明步骤
(1)实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个非零向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的.
(2)证明步骤:利用向量平行证明三点共线需分两步完成:①证明向量平行.②证明两个向量有公共点.
[学以致用] 2.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?
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探究3 有向线段的定比分点坐标公式及应用
探究问题3 如图所示,设点P(x,y)是线段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)的点,且满足,其中λ>0.
你能推导出点P的坐标吗?
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[新知生成] 有向线段的定比分点坐标公式
若点P是直线P1P2上的一点,且点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则当时,点P的坐标为(λ≠-1).
特别地,线段P1P2的中点P0(x0,y0)的坐标为 此公式为中点坐标公式.
[典例讲评] 3.已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且=2,求点P的坐标.
[尝试解答] _________________________________________________________
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[母题探究]若将本例条件“=2,其他条件不变,求点P的坐标.
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处理此类分点问题的关键是建立等量关系,然后借助向量的坐标运算求解,当遇到选择、填空题也可以直接套用公式求解.
[学以致用] 3.如图所示,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
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1.下列各组向量中,共线的是( )
A.a=(-1,2),b=(4,2)
B.a=(-3,2),b=(6,-4)
C.a=,b=(10,5)
D.a=(0,-1),b=(3,1)
2.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),若c满足3a-2b+c=0,则c=( )
A.(-23,-12) B.(23,12)
C.(7,0) D.(-7,0)
3.若P1(1,2),P(3,2)且,则P2的坐标为( )
A.(7,2) B.(-7,-2)
C.(-4,-2) D.(4,2)
4.(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=________.
1.知识链:
(1)平面向量数乘运算的坐标表示.
(2)两个向量共线的坐标表示.
(3)有向线段的定比分点坐标公式及应用.
2.方法链:转化与化归、分类讨论法.
3.警示牌:两个向量共线的坐标表示的公式易记错.
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
[探究建构]
探究1
探究问题1 提示:法一:2a=a+a=(x,y)+(x,y)=(2x,2y).
法二:a=xi+yj,∴2a=2xi+2yj,即2a=(2x,2y).
新知生成 (λx,λy) 乘原来向量的相应坐标
典例讲评 1.解:(1)2a-3b+c=(4,2)-(-9,12)+(4,7)=(17,-3).
(2)因为c=ma+nb,所以(4,7)=m(2,1)+n(-3,4)=(2m-3n,m+4n),
所以 解得
学以致用 1.解:根据题意,得
=(2-3,-4-4)=(-1,-8),=(-1-3,3-4)=(-4,-1).
于是=2(-1,-8)+3(-4,-1)=(-2,-16)+(-12,-3)=(-14,-19).
设点M的坐标为(x,y),则=(x-3,y-4).
因此解得
所以点M的坐标为(-11,-15).
探究2
探究问题2 提示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,
由a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb,
则有(x1,y1)=λ(x2,y2),
即消去λ,得x1y2-x2y1=0.
新知生成 x1y2-x2y1=0
典例讲评 2.(1)- [由题意3a-b=(0,-10),a+kb=(1+3k,-2+4k),因为(3a-b)∥(a+kb),
所以0-(-10-30k)=0,解得k=-
(2)解:因为=(2,-3)-(1,1)=(1,-4),
=(-6,29)-(1,1)=(-7,28),
所以1×28-(-4)×(-7)=0,所以又直线AB和AC有公共点A,故A,B,C三点共线.
学以致用 2.解:法一:(向量共线定理法)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).
即(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
所以
解得k=λ=-
当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-(a-3b),
因为λ=-<0,
所以平行时ka+b与a-3b反向.
法二:(坐标法)由题知ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4),
因为ka+b与a-3b平行,
所以(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,
解得k=-
这时ka+b=(a-3b),
所以当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.
探究3
探究问题3 提示:因为P1(x1,y1),P2(x2,y2),且满足,则(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),
即
当λ>0时,
则点P的坐标为
典例讲评 3.解:设P点坐标为(x,y),=2
当P在线段AB上时,,
∴(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),
∴解得
∴P点坐标为
当P在线段AB延长线上时,,
∴(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),
∴解得
∴P点坐标为(-5,8).
综上所述,点P的坐标为或(-5,8).
母题探究 解:因为,所以(x-3,y+4)=3(-1-x,2-y),
所以解得
所以点P的坐标为
学以致用 3.解:因为(0,5)=,
所以C
因为(4,3)=,
所以D
设M(x,y),则=(x,y-5),
因为,
所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①
又,
因为,所以=0,
即7x-16y=-20.②
联立①②解得x=,y=2,故点M的坐标为
[应用迁移]
1.B [利用平面向量共线的充要条件可知,只有B满足题意.]
2.A [因为a=(5,2),b=(-4,-3),且c满足3a-2b+c=0,所以c=2b-3a=2(-4,-3)-3(5,2)=(-8-15,-6-6)=(-23,-12).]
3.D [设P2(x,y),则由得(2,0)=2(x-3,y-2),
∴ 得 即P2(4,2).]
4. [法一(向量共线定理法):因为a∥b,所以a=kb,即(2,5)=k(λ,4),得解得
法二(坐标法):因为a∥b,所以2×4-5λ=0,解得λ=
6/6(共63张PPT)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
[学习目标] 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线.
整体感知
[讨论交流] 预习教材P31-P33的内容,思考以下问题:
问题1.两向量共线的充要条件是什么
问题2.如何利用向量的坐标表示两个向量共线
[自我感知] 经过认真的预习,结合对本节课的理解和认识,请画出本节课的知识逻辑体系.
探究1 平面向量数乘运算的坐标表示
探究问题1 当a=(x,y)时,2a如何表示
探究建构
[提示] 法一:2a=a+a=(x,y)+(x,y)=(2x,2y).
法二:a=xi+yj,∴2a=2xi+2yj,即2a=(2x,2y).
[新知生成]
已知a=(x,y),则λa=__________,这就是说,实数与向量的积的坐标等于用这个实数______________________.
(λx,λy)
乘原来向量的相应坐标
[解] 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).
【链接·教材例题】
例6 已知a=(2,1),b=(-3,4),求3a+4b的坐标.
[典例讲评] 1.已知向量a=(2,1),b=(-3,4),c=(4,7).
(1)求2a-3b+c;
(2)求满足c=ma+nb的实数m,n.
[解] (1)2a-3b+c=(4,2)-(-9,12)+(4,7)=(17,-3).
(2)因为c=ma+nb,所以(4,7)=m(2,1)+n(-3,4)=(2m-3n,m+4n),
所以 解得
反思领悟 平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行计算.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行.
[学以致用] 1.(源自北师大版教材)已知A(2,-4),B(-1,3),C(3,4),且,求点M的坐标.
[解] 根据题意,得
=(2-3,-4-4)=(-1,-8),=(-1-3,3-4)=(-4,-1).
于是=2(-1,-8)+3(-4,-1)=(-2,-16)+
(-12,-3)=(-14,-19).
设点M的坐标为(x,y),则=(x-3,y-4).
因此解得
所以点M的坐标为(-11,-15).
探究2 平面向量共线的坐标表示及其应用
探究问题2 已知a,b两向量,则两个向量共线的条件是什么 如何用坐标表示两个向量共线
[提示] 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,
由a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb,
则有(x1,y1)=λ(x2,y2),
即消去λ,得x1y2-x2y1=0.
[新知生成]
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.
向量a,b(b≠0)共线的充要条件是_______________.
x1y2-x2y1=0
【链接·教材例题】
例7 已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y.
[解] 因为a∥b,
所以4y-2×6=0.
解得y=3.
例8 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),判断A,B,C三点之间的位置关系.
[解] 在平面直角坐标系中作出A,B,C三点(图6.3-15).
观察图形,我们猜想A,B,C三点共线.下面来证明.
因为=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),
=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),
又2×6-4×3=0,所以.
又直线AB,直线AC有公共点A,
所以A,B,C三点共线.
[典例讲评] 2.(1)已知向量a=(1,-2),b=(3,4).若(3a-b)∥(a+kb),则k=________.
(2)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,向量=(1,1),=(2,-3),=(-6,29),试判断A,B,C三点是否共线,写出理由.
-
(1)- [由题意3a-b=(0,-10),a+kb=(1+3k,-2+4k),因为(3a-b)∥(a+kb),
所以0-(-10-30k)=0,解得k=-.]
(2)[解] 因为=(2,-3)-(1,1)=(1,-4),
=(-6,29)-(1,1)=(-7,28),
所以1×28-(-4)×(-7)=0,所以.又直线AB和AC有公共点A,故A,B,C三点共线.
反思领悟 三点共线的实质与证明步骤
(1)实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个非零向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的.
(2)证明步骤:利用向量平行证明三点共线需分两步完成:①证明向量平行.②证明两个向量有公共点.
[学以致用] 2.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行 平行时它们是同向还是反向
[解] 法一:(向量共线定理法)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).
即(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
所以
解得k=λ=-.
当k=-时,ka+b与a-3b平行,
这时ka+b=-(a-3b),因为λ=-<0,
所以平行时ka+b与a-3b反向.
法二:(坐标法)由题知ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4),
因为ka+b与a-3b平行,
所以(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,
解得k=-.
这时ka+b=(a-3b),
所以当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.
【教用·备选题】 设向量a=(λ+2,λ2-cos2α),b=,其中λ,m,α为实数,若a=2b,求的取值范围.
[解] 由a=2b,知
所以
又cos2α+2sin α=-sin2α+2sin α+1=-(sin α-1)2+2,
所以-2≤cos2α+2sin α≤2,
所以-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2,
所以≤m≤2,
因为,所以-6≤2-≤1,
所以的取值范围为[-6,1].
探究3 有向线段的定比分点坐标公式及应用
探究问题3 如图所示,设点P(x,y)是线段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)的点,且满足=λ,其中λ>0.
你能推导出点P的坐标吗
[提示] 因为P1(x1,y1),P2(x2,y2),且满足=λ,则(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),
即
当λ>0时,
则点P的坐标为.
[新知生成]
有向线段的定比分点坐标公式
若点P是直线P1P2上的一点,且点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则当=λ时,点P的坐标为(λ≠-1).
特别地,线段P1P2的中点P0(x0,y0)的坐标为 此公式为中点坐标公式.
【教用·微提醒】 若=λ,其中λ≠-1.
(1)当λ>0时,点P在线段P1P2上;
(2)当λ<-1时,点P在线段P1P2的延长线上;
(3)当-1<λ<0时,点P在线段P1P2的反向延长线上.
【链接·教材例题】
例9 设P是线段P1P2上的一点,点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2).
(1)当P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;
(2)当P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.
[解] (1)如图6.3-16,由向量的线性运算可知
(+)=.
所以,点P的坐标是.
(2)如图6.3-17,当点P是线段P1P2的一个三等分点时,有两种情况,即=或=2.
如果=(图6.3-17(1)),那么=+=+
=+(-)=+=,
即点P的坐标是.
同理,如果=2(图6.3-17(2)),那么点P的坐标是
[典例讲评] 3.已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且=2,求点P的坐标.
[解] 设P点坐标为(x,y),=2.
当P在线段AB上时,,
∴(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),
∴解得
∴P点坐标为.
当P在线段AB延长线上时,,
∴(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),
∴解得
∴P点坐标为(-5,8).
综上所述,点P的坐标为或(-5,8).
[母题探究]若将本例条件“=2”改为“”,其他条件不变,求点P的坐标.
[解] 因为,所以(x-3,y+4)=3(-1-x,2-y),
所以解得
所以点P的坐标为.
反思领悟 处理此类分点问题的关键是建立等量关系,然后借助向量的坐标运算求解,当遇到选择、填空题也可以直接套用公式求解.
[学以致用] 3.如图所示,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
[解] 因为(0,5)=,所以C.
因为(4,3)=,所以D.
设M(x,y),则=(x,y-5),
.
因为,
所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①
又,
因为,所以=0,
即7x-16y=-20.②
联立①②解得x=,y=2,故点M的坐标为.
1.下列各组向量中,共线的是( )
A.a=(-1,2),b=(4,2)
B.a=(-3,2),b=(6,-4)
C.a=,b=(10,5)
D.a=(0,-1),b=(3,1)
应用迁移
2
3
题号
4
1
B [利用平面向量共线的充要条件可知,只有B满足题意.]
√
2
3
题号
4
1
A [因为a=(5,2),b=(-4,-3),且c满足3a-2b+c=0,所以c=2b-3a=2(-4,-3)-3(5,2)=(-8-15,-6-6)=
(-23,-12).]
√
2.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),若c满足3a-2b+c=0,则c=( )
A.(-23,-12) B.(23,12)
C.(7,0) D.(-7,0)
3.若P1(1,2),P(3,2)且=2,则P2的坐标为( )
A.(7,2) B.(-7,-2)
C.(-4,-2) D.(4,2)
2
3
题号
4
1
D [设P2(x,y),则由=2得(2,0)=2(x-3,y-2),
∴ 得 即P2(4,2).]
√
2
3
题号
4
1
[法一(向量共线定理法):因为a∥b,所以a=kb,
即(2,5)=k(λ,4),得解得
法二(坐标法):因为a∥b,所以2×4-5λ=0,解得λ=.]
4.(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=_____.
1.知识链:(1)平面向量数乘运算的坐标表示.
(2)两个向量共线的坐标表示.
(3)有向线段的定比分点坐标公式及应用.
2.方法链:转化与化归、分类讨论法.
3.警示牌:两个向量共线的坐标表示的公式易记错.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.若a=(x,y),则λa等于什么
[提示] λa=(λx,λy).
2.向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)共线的充要条件是什么
[提示] x1y2=x2y1.
3.设P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),则线段P1P2的中点P的坐标如何表示
[提示] 线段P1P2的中点坐标是.
一、选择题
1.已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,那么2a-b=( )
A.(4,0) B.(0,4)
C.(4,-8) D.(-4,8)
课时分层作业(九) 平面向量数乘运算的坐标表示
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C [因为向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,所以1×4=(-2)
×m,所以m=-2,所以2a-b=(2-m,-4-4)=(4,-8).]
2.若三点A(4,3),B(5,m),C(6,n)在一条直线上,则下列式子一定正确的是( )
A.2m-n=3 B.n-m=1
C.m=3,n=5 D.m-2n=3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A [因为三点A(4,3),B(5,m),C(6,n)在一条直线上,所以,所以(1,m-3)=λ(2,n-3),所以λ=,所以m-3=(n-3),即2m-n=3.]
3.已知两点A(2,-1),B(3,1),与平行且方向相反的向量a可能是( )
A.(1,-2) B.(9,3)
C.(-1,2) D.(-4,-8)
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
D [由题意得=(1,2),结合选项可知a=(-4,-8)=-4(1,2)=-4,所以D正确.]
4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于( )
A.-b B.b
C.b D.-b
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
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1
√
B [因为向量a=(1,1),b=(1,-1),
设c=xa+yb=(x+y,x-y),
又因为c=(-1,2),所以
解得
所以c=b.]
题号
3
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1
5.(多选)已知在平面直角坐标系中,点P1(0,1),P2(4,4).当P是线段P1P2的一个三等分点时,点P的坐标为( )
A. B. C.(2,3) D.
题号
3
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2
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1
√
√
AD [设P(x,y),则=(x,y-1),=(4-x,4-y),
当点P靠近点P1时,=,
则解得所以P.
当点P靠近点P2时,=2,
则解得所以P.综上,故选AD.]
题号
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1
二、填空题
6.已知向量a=(1,λ),b=(2,1),c=(1,-2),若向量2a+b与c共线,则λ=________.
题号
3
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1
- [因为向量a=(1,λ),b=(2,1),c=(1,-2),
所以2a+b=(4,2λ+1),
所以由2a+b与c共线,得-8-(2λ+1)=0,解得λ=-.]
-
7.已知A(2,-1),B(-1,1),O为坐标原点,A,B,M三点共线,且,则点M的坐标为________.
题号
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1
[因为A,B,M三点共线,且,所以λ=,又A(2,-1),B(-1,1),即=(2,-1),=(-1,1),
所以(2,-1)+(-1,1)=,则M的坐标为.]
8.已知点A(2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延长线上,且=2,则点P的坐标为________.
题号
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1
(6,-9) [设点P的坐标为(x,y),由条件可知,由定比分点坐标公式可知
即点P的坐标为(6,-9).]
(6,-9)
三、解答题
9.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),且.
(1)求点E,F的坐标;
(2)判断与是否共线.
题号
3
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1
[解] (1)设E(x1,y1),F(x2,y2).依题意,得=(2,2),=(-2,3).由可知,(x1+1,y1)=(2,2),
所以 解得
所以点E的坐标为.
由可知,(x2-3,y2+1)=(-2,3),
所以 解得 所以点F的坐标为.
题号
3
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1
(2)由(1)可知,
,
又=(4,-1),
所以(4,-1)=,
所以共线.
题号
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1
10.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为( )
A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6)
题号
3
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1
D [由题知4a=(4,-12),3b-2a=(-6,12)-(2,-6)=(-8,18),由4a+(3b-2a)+c=0,知c=(4,-6).故选D.]
√
11.(多选)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中不正确的是( )
A.存在实数x,使a∥b
B.存在实数x,使(a+b)∥a
C.存在实数x,m,使(ma+b)∥a
D.存在实数x,m,使(ma+b)∥b
题号
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1
ABC [由向量共线的坐标表示可知A,B,C无实数解;对于D,有x(mx-3)-(-3)×(3m+x)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,故D正确.]
√
√
√
12.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是( )
A.k=-2 B.k= C.k=1 D.k=-1
题号
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1
C [因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,则,又=(1,2),=(k,k+1),所以2k-(k+1)=0,即k=1.]
√
13.已知A(7,1),B(1,4),直线y=ax与线段AB交于点C,且,则实数a的值为____.
题号
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1
2 [设C(x0,y0),则y0=ax0.∴,
.∵,
∴ ∴]
2
14.设=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),a>0,b>0,若A,B,C三点共线,求的最小值.
题号
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1
[解] 由题意,得=(-a+2,-2),=(b+2,-4).又A,B,C三点共线,则,所以-4(-a+2)=-2(b+2),整理得2a+b=2,
所以(2a+b),当且仅当a=2--2时等号成立.
所以的最小值为.
15.已知三角形的三条中线交于一点G(也称为三角形的重心),且点G将每条中线分为2∶1的两段(如图,AG∶GM=2∶1).设△ABC三个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).
(1)求点G的坐标;
(2)利用向量的坐标运算证明:=0.
题号
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1
[解] (1)设G(x,y),∵,A(x1,y1),M,
∴∴
∴G.
题号
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1
(2)证明:∵
=,
=,
=,
∴=0.
题号
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1
THANKS课时分层作业(九) 平面向量数乘运算的坐标表示
一、选择题
1.已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,那么2a-b=( )
A.(4,0) B.(0,4)
C.(4,-8) D.(-4,8)
2.若三点A(4,3),B(5,m),C(6,n)在一条直线上,则下列式子一定正确的是( )
A.2m-n=3 B.n-m=1
C.m=3,n=5 D.m-2n=3
3.已知两点A(2,-1),B(3,1),与平行且方向相反的向量a可能是( )
A.(1,-2) B.(9,3)
C.(-1,2) D.(-4,-8)
4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于( )
A.-b B.b
C.b D.-b
5.(多选)已知在平面直角坐标系中,点P1(0,1),P2(4,4).当P是线段P1P2的一个三等分点时,点P的坐标为( )
A. B.
C.(2,3) D.
二、填空题
6.已知向量a=(1,λ),b=(2,1),c=(1,-2),若向量2a+b与c共线,则λ=________.
7.已知A(2,-1),B(-1,1),O为坐标原点,A,B,M三点共线,且,则点M的坐标为________.
8.已知点A(2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延长线上,且=2,则点P的坐标为________.
三、解答题
9.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),且.
(1)求点E,F的坐标;
(2)判断与是否共线.
10.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为( )
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(-4,6) D.(4,-6)
11.(多选)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中不正确的是( )
A.存在实数x,使a∥b
B.存在实数x,使(a+b)∥a
C.存在实数x,m,使(ma+b)∥a
D.存在实数x,m,使(ma+b)∥b
12.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是( )
A.k=-2 B.k=
C.k=1 D.k=-1
13.已知A(7,1),B(1,4),直线y=ax与线段AB交于点C,且,则实数a的值为________.
14.设=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),a>0,b>0,若A,B,C三点共线,求的最小值.
15.已知三角形的三条中线交于一点G(也称为三角形的重心),且点G将每条中线分为2∶1的两段(如图,AG∶GM=2∶1).设△ABC三个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).
(1)求点G的坐标;
(2)利用向量的坐标运算证明:=0.
课时分层作业(九)
1.C [因为向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,所以1×4=(-2)×m,所以m=-2,所以2a-b=(2-m,-4-4)=(4,-8).]
2.A [因为三点A(4,3),B(5,m),C(6,n)在一条直线上,所以,所以(1,m-3)=λ(2,n-3),所以λ=,所以m-3=(n-3),即2m-n=3.]
3.D [由题意得=(1,2),结合选项可知a=(-4,-8)=-4(1,2)=-4,所以D正确.]
4.B [因为向量a=(1,1),b=(1,-1),
设c=xa+yb=(x+y,x-y),
又因为c=(-1,2),所以
解得
所以c=b.]
5.AD [设P(x,y),则=(x,y-1),
=(4-x,4-y),
当点P靠近点P1时,,
则解得
所以P
当点P靠近点P2时,,
则解得所以P
综上,故选AD.]
6.- [因为向量a=(1,λ),b=(2,1),c=(1,-2),所以2a+b=(4,2λ+1),
所以由2a+b与c共线,得-8-(2λ+1)=0,解得λ=-
7. [因为A,B,M三点共线,且,所以λ=,又A(2,-1),B(-1,1),即=(2,-1),=(-1,1),所以(2,-1)+(-1,1)=,则M的坐标为
8.(6,-9) [设点P的坐标为(x,y),由条件可知,由定比分点坐标公式可知
即点P的坐标为(6,-9).]
9.解:(1)设E(x1,y1),F(x2,y2).依题意,
得=(2,2),=(-2,3).
由可知,(x1+1,y1)=(2,2),
所以 解得
所以点E的坐标为
由可知,(x2-3,y2+1)=(-2,3),
所以 解得
所以点F的坐标为
(2)由(1)可知,
,
又=(4,-1),
所以(4,-1)=,
所以共线.
10.D [由题知4a=(4,-12),
3b-2a=(-6,12)-(2,-6)=(-8,18),由4a+(3b-2a)+c=0,知c=(4,-6).故选D.]
11.ABC [由向量共线的坐标表示可知A,B,C无实数解;对于D,有x(mx-3)-(-3)×(3m+x)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,故D正确.]
12.C [因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,则,又=(1,2),=(k,k+1),所以2k-(k+1)=0,即k=1.]
13.2 [设C(x0,y0),则y0=ax0.
∴,
∵,
∴
∴]
14.解:由题意,得=(-a+2,-2),=(b+2,-4).又A,B,C三点共线,则,所以-4(-a+2)=-2(b+2),整理得2a+b=2,
所以(2a+b),当且仅当a=2--2时等号成立.
所以的最小值为
15.解:(1)设G(x,y),∵,A(x1,y1),
M,
∴
∴
∴G
(2)证明:∵
=,
=,
=,
∴=0.
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