用向量法研究三角形的性质
三角形“四心”的向量表示
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1)三角形的重心：＝0 O是△ABC的重心．
(2)三角形的垂心： O是△ABC的垂心．
(3)三角形的内心：a＝0 O是△ABC的内心．
(4)三角形的外心：＝＝ O是△ABC的外心．
【典例】 (1)若三个不共线的向量满足＝＝＝0，则点O为△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
(2)已知△ABC所在平面内的一点P满足＋＝0，则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝( )
A．1∶2∶3 B．1∶2∶1
C．2∶1∶1 D．1∶1∶2
(3)在△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝3．若O是△ABC外心，且，则p＝________，q＝________．
[尝试解答] _________________________________________________________
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1．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则等于( )
A． B．6 C．12 D．18
2．点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高所在直线的交点
3．在△ABC中，设，那么动点M形成的图形必经过△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
4．已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为△ABC的重心且AD＝3，BC＝2．则＝________．
探究课1 用向量法研究三角形的性质
典例探究
典例 (1)A (2)B (3) [(1)由题意知(E在∠BAC的邻补角的平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上．同理，点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心．
(2)延长PB至D(图略)，使得＝2 (图略)，于是有＝0，即点P是△ADC的重心，依据重心的性质，有S△PAD＝S△PAC＝S△PDC．由B是PD的中点，得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝1∶2∶1．
(3)如图所示，取AB的中点D，AC的中点E，连接OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥AC．
由余弦定理，得cos ∠BAC＝
cos ∠BAC＝
∵，
∴
∵·cos ∠BAO＝＝2，
·cos ∠CAO＝
∴
解得p＝
]
对点训练
1．D [如图，过点O作OD⊥AB于点D，
可知AD＝AB＝3，
则＝3×6＋0＝18．]
2．D [∵，∴＝0，
∴＝0，∴OB⊥AC．
同理OA⊥BC，OC⊥AB，
∴点O为三条高所在直线的交点．]
3．C [假设BC的中点是O，则＝2，即＝0，所以，所以动点M在线段BC的垂直平分线上，所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心．]
4．－4 [∵ O为△ABC的重心且AD＝3，∴OD＝1，
∵，将两式平方再相减，
得＝1－2＝－4．]
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探究课1 用向量法研究三角形的性质
第六章 平面向量及其应用
三角形“四心”的向量表示
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1)三角形的重心：＝0 O是△ABC的重心．
(2)三角形的垂心： O是△ABC的垂心．
(3)三角形的内心：＝0 O是△ABC的内心．
(4)三角形的外心： O是△ABC的外心．
知识提炼
【典例】 (1)若三个不共线的向量满足＝0，则点O为△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
典例探究
√
(2)已知△ABC所在平面内的一点P满足＋2＝0，则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝( )
A．1∶2∶3 B．1∶2∶1
C．2∶1∶1 D．1∶1∶2
(3)在△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝3．若O是△ABC外心，且，则p＝________，q＝________．
√
知识提炼
(1)A (2)B (3) [(1)由题意知(E在∠BAC的邻补角的平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上．同理，点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心．
(2)延长PB至D(图略)，使得＝2(图略)，于是有＝0，即点P是△ADC的重心，依据重心的性质，有S△PAD＝S△PAC＝S△PDC．由B是PD的中点，得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝1∶2∶1．
知识提炼
(3)如图所示，取AB的中点D，AC的中点E，连接OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥AC．
由余弦定理，得cos ∠BAC＝．
cos ∠BAC＝．
∵，
∴
知识提炼
∵·cos ∠BAO＝＝2，
·cos ∠CAO＝，
∴解得p＝．]
1．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则等于( )
A． B．6 C．12 D．18
对点训练
D [如图，过点O作OD⊥AB于点D，可知AD＝AB＝3，则
＝3×6＋0＝18．]
√
2．点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点
√
D [∵，∴＝0，
∴＝0，∴OB⊥AC．同理OA⊥BC，OC⊥AB，
∴点O为三条高所在直线的交点．]
3．在△ABC中，设，那么动点M形成的图形必经过△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
√
C [假设BC的中点是O，则＝2，即＝0，所以，所以动点M在线段BC的垂直平分线上，所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心．]
4．已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为△ABC的重心且AD＝3，BC＝2．则＝________．
－4 [∵ O为△ABC的重心且AD＝3，∴OD＝1，
∵，将两式平方再相减，
得＝1－2＝－4．]
－4
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