微专题1 平面向量中的最值与范围问题
平面向量中的最值和范围问题是高中数学的热点问题，由于平面向量具有“数”与“形”的双重特性，故其最值或范围问题可从代数与几何两大视角进行切入，解题方法可分为构造目标函数法、直角坐标系法、基本不等式法、极化恒等式法、几何意义法等．
探究1 目标函数法求最值(或范围)
【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边AD，CD上的点，且满足＝λ，其中λ∈[0，1]，则的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－3，1]
C．[－1，1] D．[1，3]
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2 坐标法、几何意义法求最值(或范围)
【例2】 (2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是( )
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究3 基本不等式法求最值(或范围)
【例3】 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足(m，n均为正实数)，则的最小值为________．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究4 极化恒等式法求最值(或范围)
【例4】 (1)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是________．
(2)四边形ABCD为菱形，∠BAC＝30°，AB＝6，P是菱形ABCD所在平面的任意一点，则的最小值为________．
[尝试解答] _________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
微专题1 平面向量中的最值与范围问题
例1 A [根据题意，建立直角坐标系，如图，则B(2，0)，A(0，0)，D因为满足＝λ，λ∈[0，1]，所以＋(1－λ)＋(1－λ)·＋(1－λ)(2，0)＝＋(1－λ)＝(－2，0)＋(1－λ)·＝(1－λ)＝λ2＋λ－3＝因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为λ＝－，则函数在[0，1]上单调递增，故当λ∈[0，1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]．故选A．]
例2 A [法一(坐标法)：
如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C
设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，且－1所以＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6)．
法二(几何意义法)：
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的几何意义，可知等于的模与方向上的投影的乘积，所以的取值范围是(－2，6)．故选A．]
例3 [由题意得，
所以＋n
＝，由P，B，C三点共线，得
m－n＝1(m，n>0)，
所以
(当且仅当3n2＝4m2，即时取等号)，则的最小值为
例4 (1)2 (2)－27 [(1)如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则因为OM≤ON＋NM＝，当且仅当O，N，M三点共线时取等号．所以的最大值为2．
(2)由题设知AC＝6，取AC的中点O，连接OP，
则，所以－27≥－27．]
2/2(共33张PPT)
微专题1 平面向量中的最值与范围问题
第六章 平面向量及其应用
平面向量中的最值和范围问题是高中数学的热点问题，由于平面向量具有“数”与“形”的双重特性，故其最值或范围问题可从代数与几何两大视角进行切入，解题方法可分为构造目标函数法、直角坐标系法、基本不等式法、极化恒等式法、几何意义法等．
【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边AD，CD上的点，且满足＝λ，其中λ∈[0，1]，则的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－3，1] C．[－1，1] D．[1，3]
探究1 目标函数法求最值(或范围)
√
A [根据题意，建立直角坐标系，如图，则B(2，0)，
A(0，0)，D．因为满足＝λ，λ∈[0，1]，
所以＋(1－λ)＋(1－λ)＋(1－λ)(2，0)＝＋(1－λ)＝(－2，0)＋(1－λ)＝，＝＝(1－λ)＝λ2＋λ－3＝．因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为λ＝－，则函数在[0，1]上单调递增，故当λ∈[0，1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]．故选A．]
探究2 坐标法、几何意义法求最值(或范围)
√
【例2】 (2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是( )
A．(－2，6) B．(－6，2) C．(－2，4) D．(－4，6)
A [法一(坐标法)：
如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C，F．
设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，且－1所以＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6)．
法二(几何意义法)：
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的几何意义，可知等于的模与方向上的投影的乘积，所以的取值范围是(－2，6)．故选A．]
探究3 基本不等式法求最值(或范围)
【例3】 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足(m，n均为正实数)，则的最小值为________．
[由题意得，所以＋n，
由P，B，C三点共线，得m－n＝1(m，n>0)，
所以＝≥＝＝
(当且仅当3n2＝4m2，即时取等号)，则的最小值为．]
【例4】 (1)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是_____．
(2)四边形ABCD为菱形，∠BAC＝30°，AB＝6，P是菱形ABCD所在平面的任意一点，则的最小值为______．
探究4 极化恒等式法求最值(或范围)
2
－27
(1)2 (2)－27 [(1)如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则．因为OM≤ON＋NM＝，当且仅当O，N，M三点共线时取等号．所以的最大值为2．
(2)由题设知AC＝6，取AC的中点O，连接OP，
则，所以－27≥－27．]
一、选择题
1．在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是( )
A． B． C． D．[0，1]
题号
微专题强化练(一) 平面向量中的最值与范围问题
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
10
C [将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0≤x≤1．
则M，C(1，1)．
所以＝(1－x，1)，
所以＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋．
因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，
即的取值范围是．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
2．已知A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且(m>0，n>0)，则的最小值为( )
A．10 B．9 C．8 D．4
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
√
10
C [因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且(m>0，n>0)，所以m＋2n＝1，
所以(m＋2n)＝4＋≥＝8，
当且仅当，即m＝时等号成立．]
3．在Rt△ABC中，AB＝AC，点M，N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足，当取得最小值时，实数k的值为( )
A． B． C． D．
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
1
√
10
C [建立平面直角坐标系，如图所示，设AB＝AC＝3，点P(x，3－x)，M(1，0)，N(2，0)，
则＝2x2－9x＋11，
其中x∈[0，3]，当x＝时，取到最小值，
此时P，∴k＝．
故选C．]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
1
10
4．如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，…的图形，已知P是平面四边形ABCD内一点，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
1
√
10
D [(数量积的几何意义)如图，延长BC，
过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
因为DE⊥BC，DC＝1，∠DCE＝45°，
所以CE＝．
由图可知当P在A点处时，上的投影有最大值1，当P在D点处时，上的投影有最小值－，
又因为＝1，所以的取值范围是．
故选D．]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
1
10
5．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是( )
A．－2 B．－ C．－ D．－1
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
1
√
10
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
1
10
B [法一：(极化恒等式)结合题意画出图形，
如图①所示，设BC的中点为D，
AD的中点为E，连接AD，PE，PD，
则有，
则＝2＝
2＝2．而，
当点P与点E重合时，有最小值0，故此时取得最小值，最小值为－2．
法二：(坐标法)如图②，以等边△ABC的
底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直
平分线为y轴建立平面直角坐标系，
则A，B(－1，0)，C(1，0)，
设P(x，y)，则
＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以
·(－2x，－2y)＝2x2＋2，当x＝0，y＝
时，取得最小值，最小值为－．故选B．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
1
10
二、填空题
6．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若，则t＝λ－μ的最大值是_____．
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
1
10
3
3 [因为共线，设(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则，
又，
∴
∴t＝λ－μ＝3k≤3，故t的最大值为3．]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
1
10
7．已知△ABC，点D满足，点E为线段CD上异于C，D的动点，若，则λ2＋μ2的取值范围是________．
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
1
10
[由题意设，m∈(0，1)，因为，所以，
所以，
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
1
又，则
所以λ2＋μ2＝(λ＋μ)2－2λμ＝1＋m2＝＋1，
又因为m∈(0，1)，由二次函数的性质得
y＝＋1∈，
所以λ2＋μ2的取值范围为．]
10
8．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则的最大值为____．
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
1
10
9 [根据题意，建立直角坐标系，如图，
设，λ∈[0，1]．
则A(0，3)，B(4，0)，C(0，0)，
所以＝(4，－3)，
＝(0，3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0，1]，所以＝(4λ，3－3λ)·(0，3)＝9－9λ∈[0，9]，
所以的最大值为9．]
9
三、解答题
9．在平面直角坐标系内，已知A(0，5)，B(－1，3)，C(3，t)．
(1)若t＝1，求证：△ABC为直角三角形；
(2)求实数t的值，使最小．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
1
10
[解] (1)证明：当t＝1时，C(3，1)，则＝(－1，－2)，＝(4，－2)，
所以＝(－1)×4＋(－2)×(－2)＝0．
所以，即△ABC为直角三角形．
(2)＝(－1，－2)，＝(3，t－5)，
所以＝(－1，－2)＋(3，t－5)＝(2，t－7)，
所以．
当t＝7时，有最小值，最小值为2．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
1
10
10．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝(k>0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
1
10
[解] (1)由|ka＋b|＝，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0．
又a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
故|a|＝|b|＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
∴a·b＝．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
1
10
(2)由(1)得a·b＝≥，当且仅当k＝，即k＝1时等号成立．
∴a·b的最小值为．
设此时a与b的夹角为θ，则cos θ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝．
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
1
10
THANKS微专题强化练(一) 平面向量中的最值与范围问题
一、选择题
1．在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．[0，1]
2．已知A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且(m>0，n>0)，则的最小值为( )
A．10 B．9 C．8 D．4
3．在Rt△ABC中，AB＝AC，点M，N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足，当取得最小值时，实数k的值为( )
A． B． C． D．
4．如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，…的图形，已知P是平面四边形ABCD内一点，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
5．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是( )
A．－2 B．－ C．－ D．－1
二、填空题
6．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若，则t＝λ－μ的最大值是________．
7．已知△ABC，点D满足，点E为线段CD上异于C，D的动点，若，则λ2＋μ2的取值范围是________．
8．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则的最大值为________．
三、解答题
9．在平面直角坐标系内，已知A(0，5)，B(－1，3)，C(3，t)．
(1)若t＝1，求证：△ABC为直角三角形；
(2)求实数t的值，使最小．
10．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝(k>0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角．
微专题强化练(一)
1．C [将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0≤x≤1．
则M，C(1，1)．
所以＝(1－x，1)，
所以＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋
因为0≤x≤1，
所以≤(1－x)2＋，
即的取值范围是
2．C [因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且(m>0，n>0)，所以m＋2n＝1，
所以(m＋2n)＝4＋＝8，
当且仅当，即m＝时等号成立．]
3．C [建立平面直角坐标系，如图所示，设AB＝AC＝3，点P(x，3－x)，M(1，0)，N(2，0)，
则＝2x2－9x＋11，
其中x∈[0，3]，当x＝时，取到最小值，此时∴k＝故选C．]
4．D [(数量积的几何意义)如图，延长BC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
因为DE⊥BC，DC＝1，∠DCE＝45°，所以CE＝
由图可知当P在A点处时，上的投影有最大值1，当P在D点处时，上的投影有最小值－，
又因为＝1，
所以的取值范围是
故选D．]
5．B [法一：(极化恒等式)结合题意画出图形，如图①所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有，
则＝2＝2而，
当点P与点E重合时，有最小值0，故此时取得最小值，最小值为－2
法二：(坐标法)如图②，
以等边△ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(－2x，－2y)＝2x2＋2，当x＝0，y＝时，取得最小值，最小值为－故选B．]
6．3 [因为共线，设(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则，
又，
∴
∴t＝λ－μ＝3k≤3，故t的最大值为3．]
7． [由题意设，m∈(0，1)，
因为，所以，
所以，
又，则
所以λ2＋μ2＝(λ＋μ)2－2λμ＝1＋m2＝＋1，
又因为m∈(0，1)，由二次函数的性质得y＝＋1∈，
所以λ2＋μ2的取值范围为
8．9 [根据题意，建立直角坐标系，如图，设，λ∈[0，1]．
则A(0，3)，B(4，0)，C(0，0)，所以＝(4，－3)，＝(0，3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0，1]，所以＝(4λ，3－3λ)·(0，3)＝9－9λ∈[0，9]，
所以的最大值为9．]
9．解：(1)证明：当t＝1时，C(3，1)，则＝(－1，－2)，＝(4，－2)，
所以＝(－1)×4＋(－2)×(－2)＝0．
所以，即△ABC为直角三角形．
(2)＝(－1，－2)，＝(3，t－5)，
所以＝(－1，－2)＋(3，t－5)＝(2，t－7)，
所以
当t＝7时，有最小值，最小值为2．
10．解：(1)由|ka＋b|＝
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0．
又a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
故|a|＝|b|＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
∴a·b＝
(2)由(1)得a·b＝，当且仅当k＝，即k＝1时等号成立．
∴a·b的最小值为
设此时a与b的夹角为θ，则cos θ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝
2/2
