类型1 平面向量的线性运算
1．向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题．
2．通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养．
【例1】 (1)(多选)如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝( )
A．－ B．
C． D．
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
[尝试解答] _________________________________________________________
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类型2 平面向量数量积的运算
1．平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的模等．
2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养．
【例2】 (1)(多选)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，1)(m<0)，且向量b满足b·(a＋b)＝3，则( )
A．|b|＝
B．(2a＋b)∥(a＋2b)
C．向量2a－b与a－2b的夹角为
D．向量a在向量b上的投影向量的模为
(2)已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b＝________，若⊥a，则实数m＝________．
[尝试解答] _________________________________________________________
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类型3 利用余弦、正弦定理解三角形
1．常以余弦定理和正弦定理的应用为背景，融合三角形面积公式、三角恒等变换等，体现了知识的交汇性．
2．借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养．
【例3】 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)．
(1)求角C；
(2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；
条件②：cos B＝．
[尝试解答] _________________________________________________________
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类型4 余弦、正弦定理在实际问题中的应用
1．余弦定理和正弦定理在实际生活中的应用主要涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．要注意隐含条件，并最后将结果还原为实际问题进行检验．
2．将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养．
【例4】 在某海域A处的巡逻船发现南偏东60°方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线y＝x(x≥0)(以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系)方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇．
(1)求a，b的值；
(2)若巡逻船以5海里/时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由．
[尝试解答] _________________________________________________________
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章末重构拓展
例1 (1)ABD (2) [(1)故选ABD．
(2)2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝
例2 (1)AC (2)3 3 [(1)将a＝(1，2)，b＝(m，1)代入b·(a＋b)＝3，得(m，1)·(1＋m，3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1，1)，所以|b|＝，故A正确；
因为2a＋b＝(1，5)，a＋2b＝(－1，4)，1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b与a＋2b不平行，故B错误；
设向量2a－b与a－2b的夹角为θ，因为2a－b＝(3，3)，a－2b＝(3，0)，所以cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故C正确；
向量a在向量b上的投影向量的模为，故D错误．
(2)因为|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，
所以a·b＝|a||b|cos 60°＝3×2×＝3；
因为(a－mb)⊥a，所以(a－mb)·a＝0，
即a2－ma·b＝0，
故9－3m＝0，得m＝3．]
例3 解：(1)由题意及余弦定理，得2b2＝2bc cos A·(1－tan A)．
∴b＝c(cos A－sin A)，
由正弦定理可得sin B＝sin C(cos A－sin A)，
∴sin (A＋C)＝sin Ccos A－sin Csin A，
∴sin Acos C＝－sin Csin A，
又sin A≠0，
∴tan C＝－1，又0解得C＝
(2)若选择条件①，S＝4且B>A，
∵S＝4＝absin C＝，
∴ab＝8
由余弦定理，得c2＝2＝40＝a2＋b2－2abcos ，
∴a2＋b2＋ab＝40．
由解得
∵B>A，∴b>a，∴
∴CD＝
在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CDcos C＝16＋2－2×4×＝26，
∴AD＝
若选择条件②，cos B＝，
∴sin B＝
∴sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，
由正弦定理可得a＝，∴BD＝
在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B，
解得AD＝
例4 解：(1)因为巡逻船以30海里/时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C，如图所示，则AC∥x轴，AC＝30，又可疑船只沿射线y＝x(x≥0)匀速航行，故∠CBx＝30°，因为∠CAB＝30°，所以△ABC关于y轴对称，所以AB＝BC＝a，所以a＝cos 30°＝15．
(2)若巡逻船以5海里/时的速度进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示，
则∠ABD＝120°，BD＝，
因为AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos ∠ABD，
可得2＝2＋2－2×10
整理得3t2－4t－4＝0，解得t＝2或t＝－(舍去)，所以能够拦截成功，拦截时间为2小时．
4/4(共23张PPT)
章末重构拓展
第六章 平面向量及其应用
巩固层·知识重构
类型1 平面向量的线性运算
1．向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题．
2．通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养．
提升层·题型探究
【例1】 (1)(多选)如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝( )
A．－ B．
C． D．
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
√
√
√
(1)ABD (2) [(1)
＝．
故选ABD．
(2)2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝．]
类型2 平面向量数量积的运算
1．平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的模等．
2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养．
【例2】 (1)(多选)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，1)(m<0)，且向量b满足b·(a＋b)＝3，则( )
A．|b|＝
B．(2a＋b)∥(a＋2b)
C．向量2a－b与a－2b的夹角为
D．向量a在向量b上的投影向量的模为
(2)已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b＝_____，若(a－mb)⊥a，则实数m＝____．
3
3
√
√
(1)AC (2)3 3 [(1)将a＝(1，2)，b＝(m，1)代入b·(a＋b)＝3，得(m，1)·(1＋m，3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1，1)，所以|b|＝，故A正确；
因为2a＋b＝(1，5)，a＋2b＝(－1，4)，1×4－(－1)×5＝90，所以2a＋b与a＋2b不平行，故B错误；
设向量2a－b与a－2b的夹角为θ，因为2a－b＝(3，3)，a－2b＝(3，0)，所以cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故C正确；向量a在向量b上的投影向量的模为，故D错误．
(2)因为|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，
所以a·b＝|a||b|cos 60°＝3×2×＝3；
因为(a－mb)⊥a，所以(a－mb)·a＝0，
即a2－ma·b＝0，
故9－3m＝0，得m＝3．]
类型3 利用余弦、正弦定理解三角形
1．常以余弦定理和正弦定理的应用为背景，融合三角形面积公式、三角恒等变换等，体现了知识的交汇性．
2．借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养．
【例3】 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)．
(1)求角C；
(2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；
条件②：cos B＝．
[解] (1)由题意及余弦定理，得2b2＝2bc cos A·(1－tan A)．
∴b＝c(cos A－sin A)，
由正弦定理可得sin B＝sin C(cos A－sin A)，
∴sin (A＋C)＝sin Ccos A－sin Csin A，
∴sin Acos C＝－sin Csin A，
又sin A0，
∴tan C＝－1，又0解得C＝．
(2)若选择条件①，S＝4且B>A，
∵S＝4＝absin C＝，
∴ab＝8．
由余弦定理，得c2＝2＝40＝a2＋b2－2abcos ，
∴a2＋b2＋ab＝40．
由解得
∵B>A，∴b>a，∴
∴CD＝．
在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CDcos C
＝16＋2－2×4×＝26，
∴AD＝．
若选择条件②，cos B＝，
∴sin B＝．
∴sin A＝sin ( B＋C )＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，
由正弦定理可得a＝，∴BD＝．
在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B，
解得AD＝．
【教用·备选题】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足4sin B cos C＝2a－c．
(1)求角B；
(2)若AC边上的中线长为，求△ABC的面积．
[解] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，
则a＝2sin A，c＝2sin C，
又4sin B cos C＝2a－c，
则2sin B cos C＝2sin A－sin C，
则2sin B cos C＝2sin B cos C＋2cos B sin C－sin C，
又sin C＞0，即cos B＝，又0＜B＜π，则B＝．
(2)由题意可得b＝2sin B＝2＝3，
又AC边上的中线长为，则＝5，
即c2＋a2＋2×ac×＝25，即a2＋c2＋ac＝25，①
又由余弦定理可得a2＋c2－2ac×＝9，
即a2＋c2－ac＝9，②
由①②可得ac＝8，
即△ABC的面积为ac sin B＝．
类型4 余弦、正弦定理在实际问题中的应用
1．余弦定理和正弦定理在实际生活中的应用主要涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．要注意隐含条件，并最后将结果还原为实际问题进行检验．
2．将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养．
【例4】 在某海域A处的巡逻船发现南偏东60°方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线y＝x(x≥0)(以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系)方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇．
(1)求a，b的值；
(2)若巡逻船以5海里/时的速度进行追击拦截，能否拦截成功 若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由．
[解] (1)因为巡逻船以30海里/时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C，如图所示，则AC∥x轴，AC＝30，又可疑船只沿射线y＝x(x≥0)匀速航行，故∠CBx＝30°，因为∠CAB＝30°，所以△ABC关于y轴对称，所以AB＝BC＝a，所以a＝cos 30°＝15．
(2)若巡逻船以5海里/时的速度进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示，
则∠ABD＝120°，BD＝
，
因为AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos ∠ABD，
可得2＝2＋2－2×10，
整理得3t2－4t－4＝0，解得t＝2或t＝－(舍去)，所以能够拦截成功，拦截时间为2小时．
THANKS
