(共47张PPT)
章末综合测评(一) 平面向量及其应用
第六章 平面向量及其应用
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．关于非零向量a，b，下列说法正确的是( )
A．若|a|>|b|，则a>b B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b D．若a≠b，则a，b不是共线向量
C [向量不能比较大小，所以A不正确；a＝b需满足两个条件：a，b同向且|a|＝|b|，所以B不正确；C正确；若a，b是共线向量，则只需a，b方向相同或相反，D不正确．]
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，b＝2，则sin B＝( )
A． B． C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
B [由正弦定理知，得sin B＝．故选B．]
3．a＝(1，5)，b＝(－3，2)，则a在b上的投影向量为( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
A [因为a＝(1，5)，b＝(－3，2)，所以a·b＝－3＋10＝7，|b|＝，所以a在b上的投影向量为×(－3，2)＝．故选A．]
4．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则( )
A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件
C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件
D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
C [对A，当a⊥b时，则a·b＝0，
所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；
对C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，
所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；
对B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；
对D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
5．某学生体重为m kg，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为mg N
(重力加速度大小为g)，如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为( )
A． B． C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
B [由题意，不妨设当该学生两只胳膊的拉力最大时，
他两只胳膊的夹角最大为θ，θ∈(0，π)，
设此时两只胳膊的拉力为F1，F2，则|F1|＝|F2|＝mg N，
则|F1＋F2|＝mg，即有|F1＋F2|2＝(mg)2，
所以＋2F1·F2＝(mg)2，
即(mg)2＋(mg)2＋2××(mg)2×cos θ＝(mg)2，
故cos θ＝，故θ＝．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则△ABC的周长为( )
A．18 B．16 C．20 D．15
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
A [在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝，
所以，即bc＝24．
由余弦定理得a2＝b2＋c2＋2bc×bc，
联立
则△ABC的周长为a＋b＋c＝18，故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
7．在△ABC中，AB＝3，BC＝5，D为BC边上一点，且满足，此时∠ADC＝，则AC边长等于( )
A． B． C．4 D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
D [如图，结合题意绘出图象，
因为BC＝5，，所以BD＝3，DC＝2，
因为∠ADC＝，所以∠ADB＝，在△ABD中，
AD2＋BD2－AB2＝2AD·BD cos ∠ADB，
即AD2＋32－32＝2AD×3×，解得AD＝3或0(舍去)，AD＝3，
在△ADC中，AD2＋DC2－AC2＝2AD·DC cos ∠ADC，
即32＋22－AC2＝2×3×2×，解得AC＝，故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
8．P是边长为2的正方形ABCD边界或内部一点，且，则的最大值是( )
A．2 B．4 C．5 D．6
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
C [法一：(坐标法)以B为坐标原点，以方向为x轴正方向，以方向为y轴正方向建立坐标系，
则A(0，2)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，2)，设P(x，y)，0≤x≤2，0≤y≤2，则＝(x，y－2)，
因为，
则＝(2－x，－2－y)，
则＝x(2－x)＋(y－2)(－2－y)＝5－[(x－1)2＋y2]，
故当x＝1，y＝0时，取得最大值为5．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
法二：(极化恒等式)令，则E为BC中点，E为PM中点，
所以＝AE2－PE2≤AE2＝5，当P为BC中点时取等号．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
√
AB [选项A，由题意知，E，F分别是CD边上的两个三等分点，且方向相同，则，故A正确；
选项B，由题图可知，，所以，故B正确；
选项C，，所以C错误；
选项D，，故D错误．故选AB．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝
a cos C，b＝2，若边BC的中线AD＝3，则下列结论正确的有( )
A．A＝ B．A＝
C．＝6 D．△ABC的面积为3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
√
√
ACD [根据正弦定理，由
(2b－c)cos A＝a cos C 2sin B cos A－sin C cos A＝sin A cos C 2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B0，因此2cos A＝1 cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝，因此选项A正确，选项B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
因为AD是中线，所以由 4 36＝c2＋12＋2×2c c＝2，或c＝－4舍去，因此＝6，所以选项C正确；
△ABC的面积为bc sin A＝，所以选项D正确．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是( )
A．若，则点M是边BC的中点
B．若，则点M在线段BC的延长线上
C．若，则点M是△ABC的重心
D．若，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
√
√
ACD [A项，，即，则点M是边BC的中点，所以A正确；
B项，，即，则点M在线段CB的延长线上，所以B错误；
C项，如图，设BC的中点为D，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
则，由重心性质可知C正确；
D项，，
且x＋y＝ 2，2x＋2y＝1，设，所以，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，
所以△MBC的面积是△ABC面积的，所以D正确．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
[由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，
即3m＋(5m－3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m＝．]
13．(2022·浙江高考) 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝
，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角
形的面积．设某三角形的三边a＝，c＝2，则该三角形的面积S＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
[法一：S＝．
法二：cos A＝，sin A＝
．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
14．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
－
－ [因为点O是AB的中点，所以，
设＝x，则＝1－x(0≤x≤1)，
所以＝－2x(1－x)＝2．
所以当x＝时，取到最小值－．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝1，b＝．
(1)求|b|及a·b；
(2)求|a－2b|．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
[解] (1)由题设|b|＝＝2，
则a·b＝|a|·|b|cos θ＝1×2cos 60°＝1．
(2)由|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2 ＝12－4×1＋4×22＝13，
所以|a－2b|＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
16．(本小题满分15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)．
(1)求角A的大小；
(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
若b＝3，c＝4，点D是BC边上的一点，且________，求线段AD的长．
①AD是△ABC的中线；②AD是△ABC的角平分线；③BD＝2CD．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
[解] (1)由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，得b2＋c2－a2＝－bc，
即cos A＝，因为0
(2)选①，由b＝3，c＝4，A＝，
则2＝
＝bc·cos A＝4＋，
所以AD＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
选②，因为S△ABC＝S△ADC＋S△ABD，b＝3，c＝4，A＝，
所以bc sin A＝b·AD sin c·AD sin ，
即×3×4·sin ×3AD·sin ×4AD·sin ，
解得AD＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
选③，依题意，得，
由b＝3，c＝4，A＝，
则2＝
＝bc·cos A＝．
故AD＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
17．(本小题满分15分)(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B．
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
[解] 法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝．
因为2sin (A－C)＝sin B，所以2sin ＝sin ，
展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0，所以sin A＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
(2)由正弦定理，
得BC＝·sin A＝，
由余弦定理AB2＝AC 2＋BC 2－2AC·BC cos C，
得52＝AC2＋2－2AC·3，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
由(1)得，tan A＝3＞，所以＜A＜，
又A＋B＝，所以B＞，
即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝2．
设AB边上的高为h，则×AC×BC sin C，
即5h＝2，解得h＝6，
所以AB边上的高为6．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝．
因为2sin ( A－C )＝sin B，
所以2sin ( A－C )＝sin [π－( A＋C )]＝sin ( A＋C )，
所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C，
所以sin A cos C＝3cos A sin C，易得cos A cos C0，
所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3，又sin A＞0，
所以sin A＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角，所以cos A＝，所以sin B＝sin (cos A＋sin A)＝，由正弦定理，
得AC＝，
故AB边上的高为AC·sin A＝2＝6．
18．(本小题满分17分)如图，在△OAB中，P为边AB上的一点，＝6，＝2，且与的夹角为60°．
(1)求的模；
(2)求的值．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
[解] (1)因为，
所以，
因为＝6，＝2，的夹角为60°，
所以
，所以．
(2)＝－．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
19．(本小题满分17分)目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图①，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高AB＝50 m，该同学眼高1.5 m(眼睛到地面的距离)，该同学在初始位置C处(眼睛所在位置)测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
(1)求出山高BE(结果保留一位小数)；
(2)如图②，当该同学面向基站AB前行时(保持在同一铅垂面内)，记该同学所在位置M处(眼睛所在位置)到基站AB所在直线的距离MD＝x m，且记在M处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β．试问当x多大时，观测基站的视角∠AMB最大
参考数据：sin 8°≈0.14，sin 37°≈0.6，sin 45°≈0.7，sin 127°
≈0.8．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
[解] (1)由题知∠ACB＝8°，∠BAC＝45°，
在△ABC中，由正弦定理得，即，
所以BC≈＝250，
在Rt△BDC中，sin ∠BCD＝，
即sin 37°＝，所以BD≈250×0.6＝150，
所以山高BE＝BD＋DE≈150＋1.5＝151.5(m)．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
(2)由题知∠AMD＝β，∠BMD＝α，
则在Rt△BMD中，tan α＝，
在Rt△AMD中，tan β＝，由题知∠AMB＝β－α，
则tan ∠AMB＝tan (β－α)＝
＝ ＝ ≤，
当且仅当x＝，即x＝100 m时，
tan ∠AMB取得最大值，即视角最大．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
THANKS章末综合测评(一) 平面向量及其应用
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．关于非零向量a，b，下列说法正确的是( )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a，b不是共线向量
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，b＝2，则sin B＝( )
A． B．
C． D．
3．a＝(1，5)，b＝(－3，2)，则a在b上的投影向量为( )
A． B．
C． D．
4．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则( )
A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件
C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件
D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件
5．某学生体重为m kg，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为mg N(重力加速度大小为g)，如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为( )
A． B． C． D．
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则△ABC的周长为( )
A．18 B．16 C．20 D．15
7．在△ABC中，AB＝3，BC＝5，D为BC边上一点，且满足，此时∠ADC＝，则AC边长等于( )
A． B． C．4 D．
8．P是边长为2的正方形ABCD边界或内部一点，且，则的最大值是( )
A．2 B．4 C．5 D．6
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有( )
A．
B．
C．
D．
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝a cos C，b＝2，若边BC的中线AD＝3，则下列结论正确的有( )
A．A＝
B．A＝
C．＝6
D．△ABC的面积为3
11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是( )
A．若，则点M是边BC的中点
B．若，则点M在线段BC的延长线上
C．若，则点M是△ABC的重心
D．若，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为______．
13．(2022·浙江高考) 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，c＝2，则该三角形的面积S＝________．
14．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝1，b＝．
(1)求|b|及a·b；
(2)求|a－2b|．
16．(本小题满分15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(a＋c)·(a－c)＝b(b＋c)．
(1)求角A的大小；
(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
若b＝3，c＝4，点D是BC边上的一点，且________，求线段AD的长．
①AD是△ABC的中线；②AD是△ABC的角平分线；③BD＝2CD．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．(本小题满分15分)(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B．
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
18．(本小题满分17分)如图，在△OAB中，P为边AB上的一点，＝6，＝2，且与的夹角为60°．
(1)求的模；
(2)求的值．
19．(本小题满分17分)目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图①，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高AB＝50 m，该同学眼高1.5 m(眼睛到地面的距离)，该同学在初始位置C处(眼睛所在位置)测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．
(1)求出山高BE(结果保留一位小数)；
(2)如图②，当该同学面向基站AB前行时(保持在同一铅垂面内)，记该同学所在位置M处(眼睛所在位置)到基站AB所在直线的距离MD＝x m，且记在M处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β．试问当x多大时，观测基站的视角∠AMB最大？
参考数据：sin 8°≈0.14，sin 37°≈0.6，sin 45°≈0.7，sin 127°≈0.8．
1/6