第六章 章末综合测评(一)平面向量及其应用(课件 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第二册

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名称 第六章 章末综合测评(一)平面向量及其应用(课件 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第二册
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-09-01 09:40:15

文档简介

(共47张PPT)
章末综合测评(一) 平面向量及其应用
第六章 平面向量及其应用
题号
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一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.关于非零向量a,b,下列说法正确的是(  )
A.若|a|>|b|,则a>b B.若|a|=|b|,则a=b
C.若a=b,则a∥b D.若a≠b,则a,b不是共线向量
C [向量不能比较大小,所以A不正确;a=b需满足两个条件:a,b同向且|a|=|b|,所以B不正确;C正确;若a,b是共线向量,则只需a,b方向相同或相反,D不正确.]
2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=,b=2,则sin B=(  )
A.   B.   C.   D.
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B [由正弦定理知,得sin B=.故选B.]
3.a=(1,5),b=(-3,2),则a在b上的投影向量为(  )
A.     B.
C.     D.
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A [因为a=(1,5),b=(-3,2),所以a·b=-3+10=7,|b|=,所以a在b上的投影向量为×(-3,2)=.故选A.]
4.(2024·全国甲卷)已知向量a=(x+1,x),b=(x,2),则(  )
A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件
B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件
C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件
D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件
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C [对A,当a⊥b时,则a·b=0,
所以x·(x+1)+2x=0,解得x=0或x=-3,即必要性不成立,故A错误;
对C,当x=0时,a=(1,0),b=(0,2),故a·b=0,
所以a⊥b,即充分性成立,故C正确;
对B,当a∥b时,则2(x+1)=x2,解得x=1±,即必要性不成立,故B错误;
对D,当x=-1+时,不满足2(x+1)=x2,所以a∥b不成立,即充分性不成立,故D错误.故选C.]
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5.某学生体重为m kg,处于如图所示的平衡状态,假设他每只胳膊的最大拉力大小均为mg N
(重力加速度大小为g),如果要使胳膊得到充分的锻炼,那么他两只胳膊的夹角最大为(  )
A.    B.   C.    D.
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B [由题意,不妨设当该学生两只胳膊的拉力最大时,
他两只胳膊的夹角最大为θ,θ∈(0,π),
设此时两只胳膊的拉力为F1,F2,则|F1|=|F2|=mg N,
则|F1+F2|=mg,即有|F1+F2|2=(mg)2,
所以+2F1·F2=(mg)2,
即(mg)2+(mg)2+2××(mg)2×cos θ=(mg)2,
故cos θ=,故θ=.故选B.]
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6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则△ABC的周长为(  )
A.18    B.16    C.20    D.15
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A [在△ABC中,由cos A=-,可得sin A=,
所以,即bc=24.
由余弦定理得a2=b2+c2+2bc×bc,
联立
则△ABC的周长为a+b+c=18,故选A.]
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7.在△ABC中,AB=3,BC=5,D为BC边上一点,且满足,此时∠ADC=,则AC边长等于(  )
A.    B.    C.4    D.
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D [如图,结合题意绘出图象,
因为BC=5,,所以BD=3,DC=2,
因为∠ADC=,所以∠ADB=,在△ABD中,
AD2+BD2-AB2=2AD·BD cos ∠ADB,
即AD2+32-32=2AD×3×,解得AD=3或0(舍去),AD=3,
在△ADC中,AD2+DC2-AC2=2AD·DC cos ∠ADC,
即32+22-AC2=2×3×2×,解得AC=,故选D.]
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8.P是边长为2的正方形ABCD边界或内部一点,且,则的最大值是(  )
A.2    B.4    C.5    D.6
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C [法一:(坐标法)以B为坐标原点,以方向为x轴正方向,以方向为y轴正方向建立坐标系,
则A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2),设P(x,y),0≤x≤2,0≤y≤2,则=(x,y-2),
因为,
则=(2-x,-2-y),
则=x(2-x)+(y-2)(-2-y)=5-[(x-1)2+y2],
故当x=1,y=0时,取得最大值为5.
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法二:(极化恒等式)令,则E为BC中点,E为PM中点,
所以=AE2-PE2≤AE2=5,当P为BC中点时取等号.故选C.]
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二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD边上的两个三等分点,则下列选项正确的有(  )
A.     B.
C.   D.
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AB [选项A,由题意知,E,F分别是CD边上的两个三等分点,且方向相同,则,故A正确;
选项B,由题图可知,,所以,故B正确;
选项C,,所以C错误;
选项D,,故D错误.故选AB.]
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10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=
a cos C,b=2,若边BC的中线AD=3,则下列结论正确的有(  )
A.A=     B.A=
C.=6     D.△ABC的面积为3
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ACD [根据正弦定理,由
(2b-c)cos A=a cos C 2sin B cos A-sin C cos A=sin A cos C 2sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A=sin (A+C)=sin (π-B)=sin B,
因为B∈(0,π),所以sin B0,因此2cos A=1 cos A=,
因为A∈(0,π),所以A=,因此选项A正确,选项B错误;
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因为AD是中线,所以由 4 36=c2+12+2×2c c=2,或c=-4舍去,因此=6,所以选项C正确;
△ABC的面积为bc sin A=,所以选项D正确.故选ACD.]
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11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法中正确的是(  )
A.若,则点M是边BC的中点
B.若,则点M在线段BC的延长线上
C.若,则点M是△ABC的重心
D.若,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
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ACD [A项,,即,则点M是边BC的中点,所以A正确;
B项,,即,则点M在线段CB的延长线上,所以B错误;
C项,如图,设BC的中点为D,
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则,由重心性质可知C正确;
D项,,
且x+y= 2,2x+2y=1,设,所以,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,
所以△MBC的面积是△ABC面积的,所以D正确.]
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三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,若(3a+5b)⊥(ma-b),则m的值为________.
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 [由题意知(3a+5b)·(ma-b)=3ma2+(5m-3)a·b-5b2=0,
即3m+(5m-3)×2×cos 60°-5×4=0,解得m=.]
 
13.(2022·浙江高考) 我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是S=
,其中a,b,c是三角形的三边,S是三角
形的面积.设某三角形的三边a=,c=2,则该三角形的面积S=________.
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 [法一:S=.
法二:cos A=,sin A=
.]
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14.如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值是________.
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- 
- [因为点O是AB的中点,所以,
设=x,则=1-x(0≤x≤1),
所以=-2x(1-x)=2.
所以当x=时,取到最小值-.]
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四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)已知向量a与b的夹角为60°,|a|=1,b=.
(1)求|b|及a·b;
(2)求|a-2b|.
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[解] (1)由题设|b|==2,
则a·b=|a|·|b|cos θ=1×2cos 60°=1.
(2)由|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4a·b+4b2 =12-4×1+4×22=13,
所以|a-2b|=.
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16.(本小题满分15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知(a+c)(a-c)=b(b+c).
(1)求角A的大小;
(2)在下列三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答.
若b=3,c=4,点D是BC边上的一点,且________,求线段AD的长.
①AD是△ABC的中线;②AD是△ABC的角平分线;③BD=2CD.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
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[解] (1)由(a+c)(a-c)=b(b+c),得b2+c2-a2=-bc,
即cos A=,因为0(2)选①,由b=3,c=4,A=,
则2=
=bc·cos A=4+,
所以AD=.
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选②,因为S△ABC=S△ADC+S△ABD,b=3,c=4,A=,
所以bc sin A=b·AD sin c·AD sin ,
即×3×4·sin ×3AD·sin ×4AD·sin ,
解得AD=.
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选③,依题意,得,
由b=3,c=4,A=,
则2=
=bc·cos A=.
故AD=.
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17.(本小题满分15分)(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin (A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
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[解] 法一:(1)在△ABC中,A+B=π-C,
因为A+B=3C,所以3C=π-C,所以C=.
因为2sin (A-C)=sin B,所以2sin =sin ,
展开并整理得(sin A-cos A)=(cos A+sin A),
得sin A=3cos A,
又sin2A+cos2A=1,且sinA>0,所以sin A=.
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(2)由正弦定理,
得BC=·sin A=,
由余弦定理AB2=AC 2+BC 2-2AC·BC cos C,
得52=AC2+2-2AC·3,
整理得AC2-3AC+20=0,
解得AC=或AC=2.
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由(1)得,tan A=3>,所以<A<,
又A+B=,所以B>,
即C<B,所以AB<AC,所以AC=2.
设AB边上的高为h,则×AC×BC sin C,
即5h=2,解得h=6,
所以AB边上的高为6.
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法二:(1)在△ABC中,A+B=π-C,
因为A+B=3C,所以3C=π-C,所以C=.
因为2sin ( A-C )=sin B,
所以2sin ( A-C )=sin [π-( A+C )]=sin ( A+C ),
所以2sin A cos C-2cos A sin C=sin A cos C+cos A sin C,
所以sin A cos C=3cos A sin C,易得cos A cos C0,
所以tan A=3tan C=3tan =3,又sin A>0,
所以sin A=.
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(2)由(1)知sin A=,tan A=3>0,所以A为锐角,所以cos A=,所以sin B=sin (cos A+sin A)=,由正弦定理,
得AC=,
故AB边上的高为AC·sin A=2=6.
18.(本小题满分17分)如图,在△OAB中,P为边AB上的一点,=6,=2,且与的夹角为60°.
(1)求的模;
(2)求的值.
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[解] (1)因为,
所以,
因为=6,=2,的夹角为60°,
所以
,所以.
(2)=-.
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19.(本小题满分17分)目前,中国已经建成全球最大的5G网络,无论是大山深处还是广袤平原,处处都能见到5G基站的身影.如图①,某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB,已知基站高AB=50 m,该同学眼高1.5 m(眼睛到地面的距离),该同学在初始位置C处(眼睛所在位置)测得基站底部B的仰角为37°,测得基站顶端A的仰角为45°.
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(1)求出山高BE(结果保留一位小数);
(2)如图②,当该同学面向基站AB前行时(保持在同一铅垂面内),记该同学所在位置M处(眼睛所在位置)到基站AB所在直线的距离MD=x m,且记在M处观测基站底部B的仰角为α,观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时,观测基站的视角∠AMB最大
参考数据:sin 8°≈0.14,sin 37°≈0.6,sin 45°≈0.7,sin 127°
≈0.8.
题号
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[解] (1)由题知∠ACB=8°,∠BAC=45°,
在△ABC中,由正弦定理得,即,
所以BC≈=250,
在Rt△BDC中,sin ∠BCD=,
即sin 37°=,所以BD≈250×0.6=150,
所以山高BE=BD+DE≈150+1.5=151.5(m).
题号
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(2)由题知∠AMD=β,∠BMD=α,
则在Rt△BMD中,tan α=,
在Rt△AMD中,tan β=,由题知∠AMB=β-α,
则tan ∠AMB=tan (β-α)=
= = ≤,
当且仅当x=,即x=100 m时,
tan ∠AMB取得最大值,即视角最大.
题号
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THANKS章末综合测评(一) 平面向量及其应用
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.关于非零向量a,b,下列说法正确的是(  )
A.若|a|>|b|,则a>b
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若a=b,则a∥b
D.若a≠b,则a,b不是共线向量
2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=,b=2,则sin B=(  )
A. B.
C. D.
3.a=(1,5),b=(-3,2),则a在b上的投影向量为(  )
A. B.
C. D.
4.(2024·全国甲卷)已知向量a=(x+1,x),b=(x,2),则(  )
A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件
B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件
C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件
D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件
5.某学生体重为m kg,处于如图所示的平衡状态,假设他每只胳膊的最大拉力大小均为mg N(重力加速度大小为g),如果要使胳膊得到充分的锻炼,那么他两只胳膊的夹角最大为(  )
A.    B.    C.    D.
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则△ABC的周长为(  )
A.18    B.16    C.20    D.15
7.在△ABC中,AB=3,BC=5,D为BC边上一点,且满足,此时∠ADC=,则AC边长等于(  )
A.    B.    C.4    D.
8.P是边长为2的正方形ABCD边界或内部一点,且,则的最大值是(  )
A.2    B.4    C.5    D.6
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD边上的两个三等分点,则下列选项正确的有(  )
A.
B.
C.
D.
10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=a cos C,b=2,若边BC的中线AD=3,则下列结论正确的有(  )
A.A=
B.A=
C.=6
D.△ABC的面积为3
11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法中正确的是(  )
A.若,则点M是边BC的中点
B.若,则点M在线段BC的延长线上
C.若,则点M是△ABC的重心
D.若,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,若(3a+5b)⊥(ma-b),则m的值为______.
13.(2022·浙江高考) 我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是S=,其中a,b,c是三角形的三边,S是三角形的面积.设某三角形的三边a=,c=2,则该三角形的面积S=________.
14.如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值是________.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)已知向量a与b的夹角为60°,|a|=1,b=.
(1)求|b|及a·b;
(2)求|a-2b|.
16.(本小题满分15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知(a+c)·(a-c)=b(b+c).
(1)求角A的大小;
(2)在下列三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答.
若b=3,c=4,点D是BC边上的一点,且________,求线段AD的长.
①AD是△ABC的中线;②AD是△ABC的角平分线;③BD=2CD.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
17.(本小题满分15分)(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin (A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
18.(本小题满分17分)如图,在△OAB中,P为边AB上的一点,=6,=2,且与的夹角为60°.
(1)求的模;
(2)求的值.
19.(本小题满分17分)目前,中国已经建成全球最大的5G网络,无论是大山深处还是广袤平原,处处都能见到5G基站的身影.如图①,某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB,已知基站高AB=50 m,该同学眼高1.5 m(眼睛到地面的距离),该同学在初始位置C处(眼睛所在位置)测得基站底部B的仰角为37°,测得基站顶端A的仰角为45°.
(1)求出山高BE(结果保留一位小数);
(2)如图②,当该同学面向基站AB前行时(保持在同一铅垂面内),记该同学所在位置M处(眼睛所在位置)到基站AB所在直线的距离MD=x m,且记在M处观测基站底部B的仰角为α,观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时,观测基站的视角∠AMB最大?
参考数据:sin 8°≈0.14,sin 37°≈0.6,sin 45°≈0.7,sin 127°≈0.8.
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