8.1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
[学习目标] 1．通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．
3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算．
[讨论交流] 预习教材P97－P100的内容，思考以下问题：
问题1．空间几何体的定义是什么？
问题2．空间几何体分为哪几类？
问题3．棱柱、棱锥、棱台分别有哪些结构特征？
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 空间几何体的定义及分类
探究问题1 观察下列图片，这些都是我们日常熟知的一些物体：
(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形？
(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形，又有曲面图形？
(3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形？
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[新知生成]
1．空间几何体：如果只考虑物体的________和________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的________就叫做空间几何体．
2．空间几何体的分类
类别 定义 图示
多面体 一般地，由若干个________围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个________叫做多面体的面；两个面的________叫做多面体的棱；________的公共点叫做多面体的顶点
旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的________旋转所形成的________叫做旋转面，________的旋转面围成的几何体叫做旋转体．________叫做旋转体的轴
探究2 棱柱的结构特征
[新知生成]
1．棱柱的结构特征
棱柱 图形及表示
定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱 ABCDEF A′B′C′D′E′F′
2．棱柱的分类
(1)按底面多边形边数来分：
三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)按侧棱是否与底面垂直：
侧棱垂直于底面的棱柱叫做________(如图①③)；
侧棱不垂直于底面的棱柱叫做________(如图②④)；底面是正多边形的直棱柱叫做________(如图③)；
底面是平行四边形的四棱柱也叫做________(如图④)．
[典例讲评] 1．(1)下列命题中，正确的是( )
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
(2)如图所示，长方体ABCD A1B1C1D1．
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面．
[尝试解答] _________________________________________________________
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棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形．
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
[学以致用] 1．下列命题中为真命题的是( )
A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B．棱柱的每个面都是平行四边形
C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D．正四棱柱是平行六面体
探究3 棱锥、棱台的结构特征
探究问题2 观察下面的空间图形，这样的多面体，它是由什么样的面围成的？这些面之间有什么位置关系？
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探究问题3 如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的两部分几何体会是什么样的几何体？
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[新知生成]
1．棱锥的结构特征
定义 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图示 及相 关概 念 如图可记作： 棱锥________ 底面：________面； 侧面：有公共顶点的各个________； 侧棱：相邻侧面的________； 顶点：各侧面的________
分类 按底面多边形的边数分：三棱锥，四棱锥，五棱锥……其中三棱锥又叫四面体．底面是________，并且顶点与底面中心的连线________于底面的棱锥叫做正棱锥
2．棱台的结构特征
定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
图示 及相 关概 念 如图可记作：棱台 ________ 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面以外的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 由几棱锥截得的棱台叫做几棱台，如三棱台、四棱台……
[典例讲评] 2．(1)(多选)下列关于棱锥、棱台的说法，正确的是( )
A．棱台的侧面一定不会是平行四边形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
(2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？
[尝试解答] _________________________________________________________
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判断棱锥、棱台的2个方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是________，此面即为底面 两个互相________的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 ________相交于一点
[学以致用] 2．(1)棱台不具有的性质是( )
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等
D．侧棱延长后相交于一点
(2)下列说法中，正确的是( )
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长相等．
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
探究4 多面体的平面展开图
多面体的展开与折叠
[典例讲评] 3．(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
A B
C D
(2)如图是三个几何体的平面展开图，它们各是什么几何体？
[尝试解答] _________________________________________________________
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多面体平面展开图的应用
[典例讲评] 4．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长．
[思路导引] 将长方体的侧面展开求AC1的长度即为最短路线长．
[尝试解答] _________________________________________________________
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多面体的展开与折叠
(1)由多面体画平面展开图，一般要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．
[学以致用] 3．一个几何体的平面展开图如图所示．
(1)该几何体是哪种几何体？
(2)该几何体中与“祝”相对的是哪个字？与“你”相对的是哪个字？
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1．在棱柱中( )
A．只有两个面平行
B．所有的棱都平行
C．所有的面都是平行四边形
D．两底面平行，且各侧棱也互相平行
2．对于棱锥，下列叙述正确的是( )
A．四棱锥共有四条棱
B．五棱锥共有五个面
C．六棱锥共有六个顶点
D．任何棱锥都只有一个底面
3．(多选)一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是( )
A．三棱柱 B．三棱台
C．五棱锥 D．四面体
4．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________．
1．知识链：(1)多面体、旋转体的定义．
(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2．方法链：举反例法，定义法．
3．警示牌：棱台的结构特征认识不清．
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
[探究建构]
探究1
探究问题1 提示：(1)②④；(2)①③⑤；(3)⑥．
新知生成 1．形状 大小 空间图形
2．平面多边形 多边形 公共边 棱与棱 一条定直线 曲面 封闭 这条定直线
探究2
新知生成 2．(2)直棱柱 斜棱柱 正棱柱 平行六面体
典例讲评 1．(1)D [由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：
图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等，故A错误；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，故B错误；图③中直四棱柱底面ABCD是平行四边形，C错误，故选D．]
(2)解：①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N．同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1．
学以致用 1．D [对于A，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故A错误；
对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误；
对于C，可以是两个相对的侧面是矩形的斜四棱柱，故C错误；
对于D，正四棱柱是平行六面体，故D正确．故选D．]
探究3
探究问题2 提示：通过观察图形我们可以发现，这些多面体均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其他各面都是三角形，这些三角形有一个公共顶点．
探究问题3 提示：上部分是棱锥，下部分是棱台．
新知生成 1．S-ABCD 多边形 三角形面 公共边 公共顶点 正多边形 垂直
2．ABCD-A′B′C′D′
典例讲评 2．(1)ABC [A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
D错误，如图所示，
四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]
(2)解：①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面和底面不平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．
发现规律 (2)多边形 平行 延长后
学以致用 2．(1)C (2)B [(1)由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．
(2)由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错误；四面体就是由四个三角形面所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错误．]
探究4
典例讲评 3．(1)A [由选项验证可知选A．]
(2)解：图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
典例讲评 4．解：沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法：
①如图①，以A1B1为轴展开，AC1＝
②如图②，以BC为轴展开，AC1＝
③如图③，以BB1为轴展开，AC1＝
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为
学以致用 3．解：(1)该几何体是四棱台．
(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．
[应用迁移]
1．D [根据棱柱的定义知，棱柱的上、下底面是互相平行的，四棱柱互相平行的平面有三对，所以A，B错误；棱柱的侧面是平行四边形，且侧棱相互平行，底面可以是任意多边形，所以C错误，故选D．]
2．D [对于A，四棱锥共有八条棱，故A错误；
对于B，五棱锥共有六个面，故B错误；
对于C，六棱锥共有七个顶点，故C错误；
对于D，根据棱锥的定义知，D正确．故选D．]
3．ABC [对于A，三棱柱的上、下底面是两个三角形，有6个顶点，满足题意；
对于B，三棱台的上、下底面是两个三角形，有6个顶点，满足题意；
对于C，五棱锥的底面为五边形及一个顶点，有6个顶点，满足题意；
对于D，四面体的顶点个数为4，不满足题意．
故选ABC．]
4．2 [将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，如图，
则线段AC1的长即为所求，AC1＝
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第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
[学习目标] 1．通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．
3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算．
整体感知
[讨论交流] 预习教材P97－P100的内容，思考以下问题：
问题1．空间几何体的定义是什么
问题2．空间几何体分为哪几类
问题3．棱柱、棱锥、棱台分别有哪些结构特征
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 空间几何体的定义及分类
探究问题1 观察下列图片，这些都是我们日常熟知的一些物体：
探究建构
(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形
(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形，又有曲面图形
(3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形
[提示] (1)②④；(2)①③⑤；(3)⑥．
[新知生成]
1．空间几何体：如果只考虑物体的______和______，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的__________就叫做空间几何体．
形状
大小
空间图形
2．空间几何体的分类
类别 定义 图示
多面体 一般地，由若干个____________围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个__________叫做多面体的面；两个面的________叫做多面体的棱；________的公共点叫做多面体的顶点
平面多边形
多边形
公共边
棱与棱
类别 定义 图示
旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的____________旋转所形成的______叫做旋转面，_____的旋转面围成的几何体叫做旋转体．____________叫做旋转体的轴
【教用·微提醒】 多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱．
一条定直线
曲面
封闭
这条定直线
探究2 棱柱的结构特征
[新知生成]
1．棱柱的结构特征
棱柱 图形及表示
定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
如图可记作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′
2．棱柱的分类
(1)按底面多边形边数来分：
三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)按侧棱是否与底面垂直：
侧棱垂直于底面的棱柱叫做________(如图①③)；
侧棱不垂直于底面的棱柱叫做________(如图②④)；底面是正多边形的直棱柱叫做________(如图③)；
底面是平行四边形的四棱柱也叫做____________(如图④)．
直棱柱
斜棱柱
正棱柱
平行六面体
【教用·微提醒】 常见的几种四棱柱之间的转化关系：
[典例讲评] 1．(1)下列命题中，正确的是( )
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
√
(2)如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1．
①这个长方体是棱柱吗 如果是，是几棱柱 为什么
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗 若是，请指出它们的底面．
(1)D [由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：
图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等，故A错误；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，故B错误；图③中直四棱柱底面ABCD是平行四边形，C错误，故选D．]
(2)[解] ①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N．同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1．
反思领悟 棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是是否符合棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形．
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
[学以致用] 1．下列命题中为真命题的是( )
A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B．棱柱的每个面都是平行四边形
C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D．正四棱柱是平行六面体
√
D [对于A，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故A错误；
对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误；
对于C，可以是两个相对的侧面是矩形的斜四棱柱，故C错误；
对于D，正四棱柱是平行六面体，故D正确．故选D．]
探究3 棱锥、棱台的结构特征
探究问题2 观察下面的空间图形，这样的多面体，它是由什么样的面围成的 这些面之间有什么位置关系
[提示] 通过观察图形我们可以发现，这些多面体均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其他各面都是三角形，这些三角形有一个公共顶点．
探究问题3 如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的两部分几何体会是什么样的几何体
[提示] 上部分是棱锥，下部分是棱台．
[新知生成]
1．棱锥的结构特征
定义 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图示及相关概念 如图可记作： 棱锥___________ 底面：________面；
侧面：有公共顶点的各个_____
_____；
侧棱：相邻侧面的________；
顶点：各侧面的__________
S-ABCD
多边形
三角
公共边
形面
公共顶点
分类 按底面多边形的边数分：三棱锥，四棱锥，五棱锥……其中三棱锥又叫四面体．底面是__________，并且顶点与底面中心的连线______于底面的棱锥叫做正棱锥
正多边形
垂直
2．棱台的结构特征
定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
图示及相关 概念 如图可记作：棱台 _______________ 上底面：原棱锥的截面；
下底面：原棱锥的底面；
侧面：除上、下底面以外的面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 由几棱锥截得的棱台叫做几棱台，如三棱台、四棱台…… ABCD-A′B′C′D′
[典例讲评] 2．(1)(多选)下列关于棱锥、棱台的说法，正确的是( )
A．棱台的侧面一定不会是平行四边形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
√
√
√
(2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么
(1)ABC [A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
D错误，如图所示，
四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]
(2)[解] ①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面和底面不平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．
发现规律 判断棱锥、棱台的2个方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是________，此面即为底面 两个互相______的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 ________相交于一点
多边形
平行
延长后
[学以致用] 2．(1)棱台不具有的性质是( )
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等
D．侧棱延长后相交于一点
√
(2)下列说法中，正确的是( )
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长相等．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
√
(1)C (2)B [(1)由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．
(2)由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错误；四面体就是由四个三角形面所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错误．]
【链接·教材例题】
例1 将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：
多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体．
[解] 如图8.1-9所示．
探究4 多面体的平面展开图
角度1 多面体的展开与折叠
[典例讲评] 3．(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
A B
C D
√
(2)如图是三个几何体的平面展开图，它们各是什么几何体
(1)A [由选项验证可知选A．]
(2)[解] 图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
角度2 多面体平面展开图的应用
[典例讲评] 4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长．
[思路导引] 将长方体的侧面展开求AC1的长度即为最短路线长．
[解] 沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法：
①如图①，以A1B1为轴展开，AC1＝．
②如图②，以BC为轴展开，AC1＝．
③如图③，以BB1为轴展开，AC1＝．
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为．
反思领悟 多面体的展开与折叠
(1)由多面体画平面展开图，一般要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．
[学以致用] 3．一个几何体的平面展开图如图所示．
(1)该几何体是哪种几何体
(2)该几何体中与“祝”相对的是哪个字 与“你”相对的是哪个字
[解] (1)该几何体是四棱台．
(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．
【教用·备选题】 某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①②③处应依次写上( )
A．快、新、乐 B．乐、新、快
C．新、乐、快 D．乐、快、新
A [根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样时，选项A正确．]
√
1．在棱柱中( )
A．只有两个面平行
B．所有的棱都平行
C．所有的面都是平行四边形
D．两底面平行，且各侧棱也互相平行
应用迁移
2
3
题号
4
1
D [根据棱柱的定义知，棱柱的上、下底面是互相平行的，四棱柱互相平行的平面有三对，所以A，B错误；棱柱的侧面是平行四边形，且侧棱相互平行，底面可以是任意多边形，所以C错误，故选D．]
√
2
3
题号
4
1
D [对于A，四棱锥共有八条棱，故A错误；
对于B，五棱锥共有六个面，故B错误；
对于C，六棱锥共有七个顶点，故C错误；
对于D，根据棱锥的定义知，D正确．
故选D．]
√
2．对于棱锥，下列叙述正确的是( )
A．四棱锥共有四条棱 B．五棱锥共有五个面
C．六棱锥共有六个顶点 D．任何棱锥都只有一个底面
3．(多选)一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是( )
A．三棱柱 B．三棱台
C．五棱锥 D．四面体
2
3
题号
4
1
ABC [对于A，三棱柱的上、下底面是两个三角形，有6个顶点，满足题意；
对于B，三棱台的上、下底面是两个三角形，有6个顶点，满足题意；
对于C，五棱锥的底面为五边形及一个顶点，有6个顶点，满足题意；
对于D，四面体的顶点个数为4，不满足题意．
故选ABC．]
√
√
√
2
3
题号
4
1
2 [将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，如图，则线段AC1的长即为所求，AC1＝．]
2
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为________．
1．知识链：(1)多面体、旋转体的定义．
(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2．方法链：举反例法，定义法．
3．警示牌：棱台的结构特征认识不清．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．棱柱、棱锥、棱台各有什么结构特征
[提示] (1)棱柱：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边互相平行．
(2)棱锥：①有一个面是多边形；②其余的各面是有一个公共顶点的三角形．
(3)棱台：①所截几何体为棱锥；②截面与底面平行．
2．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗
[提示] 不一定．因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”．
3．结合本节所学的棱柱分类，你能分析一下常见的几种四棱柱之间的转化关系吗
[提示] 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体．
一、选择题
1．(多选)观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是( )
课时分层作业(二十一) 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A．①是棱柱 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台
ACD [结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥．]
√
√
2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱锥 D．不能确定
题号
1
3
5
2
4
6
8
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12
13
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15
√
A [如图，因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]
3．下列命题中正确的个数是( )
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．
A．0 B．1 C．2 D．3
题号
3
5
2
4
6
8
7
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12
13
14
15
1
√
B [①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，故①不正确；
②中，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，故②正确；
③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱，故③不正确；
④中，有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥，
如图中的几何体，满足条件，但并不是棱锥，
故④不正确．
故选B．]
题号
3
5
2
4
6
8
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11
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15
1
4．如图所示是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的( )
题号
3
5
2
4
6
8
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10
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13
14
15
1
A B
C D
√
A [根据图形对照4个展开图，可动手折叠求解．
由原正方体的特征可知，含有4，6，8的数字的三个面一定相交于一点，而选项B，C，D中，经过折叠后与含有4，6，8的数字的三个面一定相交于一点不符．
故选A．]
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
5．(多选)关于简单几何体的结构特征，下列说法正确的是( )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱锥的侧棱长都相等
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
题号
3
5
2
4
6
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15
1
√
ACD [根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等，如图．
故选ACD．]
√
√
二、填空题
6．如图，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，则这个空间几何体是__________
(只填几何体的名称)．
题号
3
5
2
4
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8
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15
1
三棱锥 [折起后是一个三棱锥(如图所示)．]
三棱锥
7．对如图所示的几何体描述正确的是___________(填序号)．
(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到．
题号
3
5
2
4
6
8
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1
(1)(3)(4)(5)
题号
3
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2
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1
(1)(3)(4)(5) [(1)正确，因为有六个面，属于六面体．(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确．(3)正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱．(4)(5)都正确，如图①②所示．]
8．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为_____ cm．
题号
3
5
2
4
6
8
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15
1
12 [n棱柱有2n个顶点，因为此棱柱有10个顶点，所以此棱柱为五棱柱．又棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm，可知每条侧棱长为12 cm．]
12
三、解答题
9．如图，四边形AA1B1B为矩形，AA1＝3，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，这个几何体是棱柱吗 若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点C1的截面，截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称．
题号
3
5
2
4
6
8
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15
1
[解] 因为这个几何体中没有两个互相平行的面，所以这个几何体不是棱柱．
如图，在AA1上取点E，使AE＝2，在BB1上取点F，
使BF＝2，连接C1E，EF，C1F，
则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其侧棱长为2；另一部分是四棱锥C1-EA1B1F，即截去的几何体是四棱锥．
题号
3
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2
4
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10
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15
1
10．一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是( )
A．三棱锥 B．五面体
C．六棱锥 D．六面体
题号
3
5
2
4
6
8
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15
1
√
C [一个多面体的所有棱长都相等，三棱锥是正四面体时，满足题意，选项A可能；
正四棱锥的每条棱可以都相等，即每个侧面都是等边三角形，底面是正方形，
即五面体的所有棱长可以都相等，选项B可能；
如果六棱锥的棱长都相等，则该棱锥为正六棱锥．
如图，六棱锥P-ABCDEF，O为底面中心，
则OA＝AB＝PA，由于在直角三角形PAO中，
PO⊥OA，则PA>OA，与OA＝AB＝PA矛盾，
则正六棱锥的底面边长与棱长不可能相等，
所以C不可能；六面体是正方体时，满足题意，所以D有可能．故选C．]
题号
3
5
2
4
6
8
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1
11．正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则正二十面体的顶点的个数为( )
A．30 B．20 C．12 D．10
题号
3
5
2
4
6
8
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14
15
1
√
C [因为每个面都是三角形，每个面对应3条棱，且每条棱被2个三角形共用，即1个面对应条棱，所以共有×20＝30(条)棱，
所以由顶点数－棱数＋面数＝2，得顶点数＝棱数＋2－面数＝30＋2－20＝12．故选C．]
题号
3
5
2
4
6
8
7
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15
1
12．(多选)用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是( )
A．四棱台 B．四棱柱
C．三棱柱 D．三棱锥
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
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14
15
1
√
√
√
BCD [如图三棱柱ABC-A1B1C1，连接BC1，AC1，则可得平面ABC1截三棱柱，得到一个三棱锥C1-ABC，所以D正确；
若用一个平行于平面BCC1B1的平面去截三棱柱，如图平面DEFG，则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以B，C正确；
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
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15
1
因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交，而四棱台的侧棱延长后交于一点，棱柱的侧棱是相互平行的，所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A错误．故选BCD．]
13．如图，设正三棱锥P-ABC的侧棱长为2，∠APB＝40°，E，F分别是BP，CP上的点，过A，E，F作三棱锥的截面，则截面△AEF周长的最小值为________．
题号
3
5
2
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15
1
2
2 [将正三棱锥的三个侧面展开如图，由图可知，为使△AEF的周长最小，只需让A，E，F，A1四点共线即可，则当E，F为AA1与BP，CP的交点时，△AEF的周长最小，由题意，∠BPC＝∠CPA1＝∠APB＝40°，所以∠APA1＝120°，
得AA1＝
所以△AEF的周长的最小值为2．]
题号
3
5
2
4
6
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15
1
14．如图所示，正四棱台ABCD-A′B′C′D′的高是17 cm，上、下两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．
题号
3
5
2
4
6
8
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14
15
1
[解] 设棱台两底面的中心分别是点O和O′，B′C′，BC的中点分别是E′，E．连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形，如图．
在正方形ABCD中，∵BC ＝ 16 cm，
∴OB＝8 cm，OE＝8 cm．
在正方形A′B′C′D′中，∵B′C′＝4 cm，
∴O′B′＝2 cm，O′E′＝2 cm．
题号
3
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2
4
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1
在直角梯形O′OBB′中，
BB′＝ ＝ ＝19(cm )．
在直角梯形O′OEE′中，
EE′＝＝(cm )．
故这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm．
题号
3
5
2
4
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15
1
15．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．
题号
3
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15
1
[解] 如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．
如图②所示，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的有一组对角为直角，余下部分按虚线三角形的边折起，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．
题号
3
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1
THANKS课时分层作业(二十一) 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一、选择题
1．(多选)观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱柱 B．②不是棱锥
C．③不是棱锥 D．④是棱台
2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱
B．棱台
C．棱锥
D．不能确定
3．下列命题中正确的个数是( )
①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；
②由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体；
③仅有一组对面平行的五面体是棱台；
④有一面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图所示是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的( )
A B C D
5．(多选)关于简单几何体的结构特征，下列说法正确的是( )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱锥的侧棱长都相等
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
二、填空题
6．如图，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，则这个空间几何体是________(只填几何体的名称)．
7．对如图所示的几何体描述正确的是________(填序号)．
(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到．
8．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm．
三、解答题
9．如图，四边形AA1B1B为矩形，AA1＝3，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点C1的截面，截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称．
10．一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是( )
A．三棱锥 B．五面体
C．六棱锥 D．六面体
11．正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则正二十面体的顶点的个数为( )
A．30 B．20 C．12 D．10
12．(多选)用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是( )
A．四棱台 B．四棱柱
C．三棱柱 D．三棱锥
13．如图，设正三棱锥P ABC的侧棱长为2，∠APB＝40°，E，F分别是BP，CP上的点，过A，E，F作三棱锥的截面，则截面△AEF周长的最小值为________．
14．如图所示，正四棱台ABCD A′B′C′D′的高是17 cm，上、下两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．
15．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．
4/4课时分层作业(二十一)
1．ACD [结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥．]
2．A [如图，因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]
3．B [①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，故①不正确；
②中，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，故②正确；
③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱，故③不正确；
④中，有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥，
如图中的几何体，满足条件，但并不是棱锥，故④不正确．
故选B．]
4．A [根据图形对照4个展开图，可动手折叠求解．
由原正方体的特征可知，含有4，6，8的数字的三个面一定相交于一点，而选项B，C，D中，经过折叠后与含有4，6，8的数字的三个面一定相交于一点不符．
故选A．]
5．ACD [根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等，如图．
故选ACD．]
6．三棱锥 [折起后是一个三棱锥(如图所示)．
]
7．(1)(3)(4)(5) [(1)正确，因为有六个面，属于六面体．(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确．(3)正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱．(4)(5)都正确，如图①②所示．
]
8．12 [n棱柱有2n个顶点，因为此棱柱有10个顶点，所以此棱柱为五棱柱．又棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm，可知每条侧棱长为12 cm．]
9．解：因为这个几何体中没有两个互相平行的面，所以这个几何体不是棱柱．
如图，在AA1上取点E，使AE＝2，在BB1上取点F，使BF＝2，连接C1E，EF，C1F，
则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其侧棱长为2；另一部分是四棱锥C1-EA1B1F，即截去的几何体是四棱锥．
10．C [一个多面体的所有棱长都相等，三棱锥是正四面体时，满足题意，选项A可能；
正四棱锥的每条棱可以都相等，即每个侧面都是等边三角形，底面是正方形，
即五面体的所有棱长可以都相等，选项B可能；
如果六棱锥的棱长都相等，则该棱锥为正六棱锥．如图，六棱锥P-ABCDEF，O为底面中心，则OA＝AB＝PA，由于在直角三角形PAO中，PO⊥OA，则PA>OA，与OA＝AB＝PA矛盾，则正六棱锥的底面边长与棱长不可能相等，所以C不可能；六面体是正方体时，满足题意，所以D有可能．故选C．]
11．C [因为每个面都是三角形，每个面对应3条棱，且每条棱被2个三角形共用，
即1个面对应条棱，所以共有×20＝30(条)棱，
所以由顶点数－棱数＋面数＝2，得顶点数＝棱数＋2－面数＝30＋2－20＝12．故选C．]
12．BCD [如图三棱柱ABC-A1B1C1，连接BC1，AC1，则可得平面ABC1截三棱柱，得到一个三棱锥C1-ABC，所以D正确；
若用一个平行于平面BCC1B1的平面去截三棱柱，如图平面DEFG，则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以B，C正确；
因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交，而四棱台的侧棱延长后交于一点，棱柱的侧棱是相互平行的，所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A错误．故选BCD．]
13．2 [将正三棱锥的三个侧面展开如图，由图可知，为使△AEF的周长最小，只需让A，E，F，A1四点
共线即可，则当E，F为AA1与BP，CP的交点时，△AEF的周长最小，由题意，∠BPC＝∠CPA1＝∠APB＝40°，所以∠APA1＝120°，
得AA1＝＝，
所以△AEF的周长的最小值为2
14．解：设棱台两底面的中心分别是点O和O′，B′C′，BC的中点分别是E′，E．连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形，如图．
在正方形ABCD中，∵BC ＝ 16 cm ，
∴OB＝8 cm ，OE＝8 cm ．
在正方形A′B′C′D′中，∵B′C′＝4 cm ，
∴O′B′＝2 cm ，O′E′＝2 cm ．
在直角梯形O′OBB′中，
BB′＝ ＝ ＝19(cm )．
在直角梯形O′OEE′中，
EE′＝＝(cm )．
故这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm．
15．解：如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．
如图②所示，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线三角形的边折起，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．
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