8.4.1 平面
[学习目标] 1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．
2．掌握关于平面基本性质的三个基本事实．
3．会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．
[讨论交流] 预习教材P124－P127的内容，思考以下问题：
问题1．教材中是如何定义平面的？
问题2．平面的表示方法有哪些？
问题3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？
问题4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 平面的概念、画法及表示
探究问题1 当湖面平静之时就像一面镜子，给人很“平”的印象．面对浩瀚的大海时，我们会感慨大海的一望无际．平静的海面、湖面都可以用“平面”来描述．类似地，整洁的教室桌面、黑板面、书本的封面、美丽的大草原等等都给我们以“平面”的感觉，你能说出“平面”的一些几何特征吗？
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[新知生成]
1．几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的．平面是向四周________的．
2．平面的画法及表示
画法 平面水平放置 平面竖直放置
表示 ①平行四边形的四个顶点：平面________； ②对角顶点：平面________或平面________； ③希腊字母：平面________，平面________，平面γ
探究2 平面的基本事实及推论
探究问题2 我们知道，两点确定一条直线，要确定一个平面需要几个点呢？过空间一点有几个平面？两个点呢？三个点呢？
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探究问题3 如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内呢？如果直线与平面有两个公共点，直线在平面内吗？
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探究问题4 两个平面相交时，公共点具有什么特点？
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[新知生成]
1．三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本 事实 1 过不在一条直线上的三个点，________一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本 事实 2 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在________ A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ________
基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的________ P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l
2．三个推论
推论 内容 图形
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
[典例讲评] 1．证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内．
[尝试解答] _________________________________________________________
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解决点线共面问题的基本方法
[学以致用] 1．如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
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探究3 共线、共点问题
[典例讲评] 2．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
[尝试解答] _________________________________________________________
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[母题探究] 若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：D，A，M三点共线．
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(1)证明三点共线的方法
(2)证明三线共点的步骤
[学以致用] 2．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β．求证：AB，CD，l共点．
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1．(多选)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面可记为( )
A．平面MN B．平面NQ
C．平面α D．平面MNPQ
2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为( )
A．A a，a α，B∈α
B．A∈a，a α，B∈α
C．A a，a∈α，B α
D．A∈a，a∈α，B∈α
3．下列空间图形画法错误的是( )
A B C D
4．(多选)下列说法不正确的是( )
A．三点可以确定一个平面
B．空间中两条直线能确定一个平面
C．共点的三条直线确定一个平面
D．三角形和梯形都可以表示一个平面
1．知识链：(1)平面的概念．
(2)基本事实．
(3)共面、共线、共点问题．
2．方法链：同一法、纳入法．
3．警示牌：三种语言的相互转换．
8.4.1 平面
[探究建构]
探究1
探究问题1 提示：无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等．
新知生成 1．无限延展
2．ABCD AC BD α β
探究2
探究问题2 提示：不共线的三个点；无数个平面；无数个平面；如果三点共线，则有无数个平面，如果三点不共线，有唯一的一个平面．
探究问题3 提示：不在；在．
探究问题4 提示：两个平面相交时，公共点在一条直线上．
新知生成 1．有且只有 两个点 这个平面内 l α 公共直线
典例讲评 1．解：已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．
求证：直线AB，BC，AC共面．
证明：法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α．
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC α．
因此直线AB，BC，AC都在平面α内，
所以直线AB，BC，AC共面．
法二：因为A不在直线BC上，
所以点A和直线BC可确定一个平面α．
因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB α．同理AC α，故直线AB，BC，AC共面．
法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，
所以A，B，C三点可以确定一个平面α．
因为A∈α，B∈α，所以AB α，
同理BC α，AC α，故直线AB，BC，AC共面．
学以致用 1．证明：法一(纳入法)：
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α．
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．
又∵l2 α，∴B∈α．同理可证C∈α．
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α．
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二(同一法)：
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α．
∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β．
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α．∵A∈l2，l2 β，∴A∈β．
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β．
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
探究3
典例讲评 2．证明：如图，连接EF，D1C，A1B，
因为E为AB的中点，F为AA1的中点，
所以EF∥A1B且EF＝A1B．
又因为A1B∥D1C且A1B＝D1C，
所以EF∥D1C且EF＝D1C，
所以E，F，D1，C四点共面，且D1F与CE相交，
可设D1F∩CE＝P．
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以由基本事实3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．
母题探究 证明：因为D1F∩CE＝M，
且D1F 平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面ABCD，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，
所以M∈AD成立．所以D，A，M三点共线．
学以致用 2．证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，
所以AB，CD必定相交于一点，
如图，设AB∩CD＝M．又因为AB α，CD β，所以M∈α，且M∈β，
又因为α∩β＝l，
所以M∈l．即AB，CD，l共点．
[应用迁移]
1．BCD [平面可用希腊字母、平行四边形的四个顶点或对角线字母表示．]
2．B [因为点A在直线a上，直线a在平面α内，点B在平面α内，所以A∈a，a α，B∈α，故选B．]
3．D [遮挡部分应画成虚线或不画，故D错误．]
4．ABC [不共线的三点可以确定一个平面，故A错误；
只有平行或相交的两条直线才能确定一个平面，故B错误；
当三条直线相交于一点时，可以确定三个平面，例如三棱锥的三条侧棱，故C错误；
三角形和梯形是平面图形，可以用来表示平面，故D正确．]
7/7(共58张PPT)
8.4.1 平面
第八章 立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
[学习目标] 1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．
2．掌握关于平面基本性质的三个基本事实．
3．会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．
整体感知
[讨论交流] 预习教材P124－P127的内容，思考以下问题：
问题1．教材中是如何定义平面的？
问题2．平面的表示方法有哪些？
问题3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？
问题4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？
[自我感知] 经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．
探究1 平面的概念、画法及表示
探究问题1 当湖面平静之时就像一面镜子，给人很“平”的印象．面对浩瀚的大海时，我们会感慨大海的一望无际．平静的海面、湖面都可以用“平面”来描述．类似地，整洁的教室桌面、黑板面、书本的封面、美丽的大草原等等都给我们以“平面”的感觉，你能说出“平面”的一些几何特征吗？
探究建构
[提示] 无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等．
[新知生成]
1．几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的．平面是向四周__________的．
无限延展
2．平面的画法及表示
画法 平面水平放置 平面竖直放置
表示 ①平行四边形的四个顶点：平面________； ②对角顶点：平面______或平面______； ③希腊字母：平面____，平面____，平面γ
ABCD
AC
BD
α
β
【教用·微提醒】 “平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．
探究2 平面的基本事实及推论
探究问题2 我们知道，两点确定一条直线，要确定一个平面需要几个点呢？过空间一点有几个平面？两个点呢？三个点呢？
[提示] 不共线的三个点；无数个平面；无数个平面；如果三点共线，则有无数个平面，如果三点不共线，有唯一的一个平面．
探究问题3 如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内呢？如果直线与平面有两个公共点，直线在平面内吗？
[提示] 不在；在．
探究问题4 两个平面相交时，公共点具有什么特点？
[提示] 两个平面相交时，公共点在一条直线上．
[新知生成]
1．三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，_________一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
有且只有
基本事实 内容 图形 符号
基本事实2 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在____________ A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ______
两个点
这个平面内
l α
基本事实 内容 图形 符号
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__________ P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l
公共直线
2．三个推论
推论 内容 图形
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
[典例讲评] 1．证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内．
[解] 已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．
求证：直线AB，BC，AC共面．
证明：法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α．
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC α．
因此直线AB，BC，AC都在平面α内，
所以直线AB，BC，AC共面．
法二：因为A不在直线BC上，
所以点A和直线BC可确定一个平面α．
因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB α．同理AC α，故直线AB，BC，AC共面．
法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，
所以A，B，C三点可以确定一个平面α．
因为A∈α，B∈α，所以AB α，
同理BC α，AC α，故直线AB，BC，AC共面．
反思领悟 解决点线共面问题的基本方法
[学以致用] 1．如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
[证明] 法一(纳入法)：
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α．
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．
又∵l2 α，∴B∈α．同理可证C∈α．
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α．∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二(同一法)：
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α．
∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β．
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α．∵A∈l2，l2 β，∴A∈β．
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β．
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
探究3 共线、共点问题
[典例讲评] 2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
[证明] 如图，连接EF，D1C，A1B，
因为E为AB的中点，F为AA1的中点，
所以EF∥A1B且EFA1B．
又因为A1B∥D1C且A1B＝D1C，
所以EF∥D1C且EFD1C，
所以E，F，D1，C四点共面，且D1F与CE相交，
可设D1F∩CE＝P．
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以由基本事实3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．
[母题探究] 若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：D，A，M三点共线．
[证明] 因为D1F∩CE＝M，且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA，同理M∈平面ABCD，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，
所以M∈AD成立．所以D，A，M三点共线．
反思领悟 (1)证明三点共线的方法
(2)证明三线共点的步骤
[学以致用] 2．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β．求证：AB，CD，l共点．
[证明] 因为梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，
所以AB，CD必定相交于一点，
如图，设AB∩CD＝M．又因为AB α，CD β，
所以M∈α，且M∈β，
又因为α∩β＝l，所以M∈l．即AB，CD，l共点．
【教用·备选题】 三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点．
[证明] 如图，∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ．
∵直线a和b不平行，∴a，b必相交．
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b．
∵a β，b α，∴P∈β，P∈α．
又α∩β＝c，∴P∈c．故a，b，c三条直线必相交于同一点．
1．(多选)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面可记为( )
A．平面MN B．平面NQ C．平面α D．平面MNPQ
应用迁移
2
3
题号
4
1
BCD [平面可用希腊字母、平行四边形的四个顶点或对角线字母表示．]
√
√
√
2
3
题号
4
1
B [因为点A在直线a上，直线a在平面α内，点B在平面α内，所以A∈a，a α，B∈α，故选B．]
√
2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为( )
A．A a，a α，B∈α B．A∈a，a α，B∈α
C．A a，a∈α，B α D．A∈a，a∈α，B∈α
3．下列空间图形画法错误的是( )
2
3
题号
4
1
D [遮挡部分应画成虚线或不画，故D错误．]
√
A B C D
2
3
题号
4
1
ABC [不共线的三点可以确定一个平面，故A错误；
只有平行或相交的两条直线才能确定一个平面，故B错误；
当三条直线相交于一点时，可以确定三个平面，例如三棱锥的三条侧棱，故C错误；
三角形和梯形是平面图形，可以用来表示平面，故D正确．]
4．(多选)下列说法不正确的是( )
A．三点可以确定一个平面
B．空间中两条直线能确定一个平面
C．共点的三条直线确定一个平面
D．三角形和梯形都可以表示一个平面
√
√
√
1．知识链：(1)平面的概念．
(2)基本事实．
(3)共面、共线、共点问题．
2．方法链：同一法、纳入法．
3．警示牌：三种语言的相互转换．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用符号表示空间点、线、面的位置关系？
[提示] 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言 符号语言 图形语言
A在l上 A∈l
A在l外 A l
A在α内 A∈α
文字语言 符号语言 图形语言
A在α外 A α
l在α内 l α
l在α外 l α 或
文字语言 符号语言 图形语言
l，m相交于A l∩m＝A
l，α相交于A l∩α＝A
α，β相交于l α∩β＝l
2．3个基本事实的内容是什么？各有什么作用？
基本事实 内容 作用
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 ①确定平面的依据；②判定点、线共面
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 判定直线是否在平面内
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上
[提示]
一、选择题
1．如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是( )
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
课时分层作业(二十六) 平面
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A [对于A，由题图知α与β交于m，n在α内，m与n交于点A，所以α∩β＝m，n α，m∩n＝A，故A正确；对于B，D，n∈α这一表示方法错误，故B，D错误；对于C，A m，A n这一表示方法错误，故C错误．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A B
C D
D [对于A，图中没有画出平面α与平面β的交线，故A不正确；对于B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故 B，C不正确；对于D，符合画法原则，故D正确．故选D．]
3．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交 B．重合
C．相交或重合 D．以上都不对
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
C [若这三个公共点在一条直线上，则这两个平面相交；若这三个公共点不共线，则这两个平面重合．故选C．]
4．(多选)下列命题中正确的是( )
A．三角形是平面图形 B．四边形是平面图形
C．四边相等的四边形是平面图形 D．圆是平面图形
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
AD [根据基本事实1可知A，D正确，对于B，C，可以是空间四边形，四点不在同一平面，故B，C错误．故选AD．]
√
5．(多选)三个平面可能将空间分成的部分为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
√
BCD [设三个平面可将空间分成n个部分．若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其他两个平面相交，则可将空间分为6个部分；
若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7个部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8个部分，故n的取值为4，6，7，8，所以n不可能是5．故选BCD．]
√
√
二、填空题
6．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是______．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
共线 [如图，因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD．
因为l∩α＝O，所以O∈α．
又O∈AB β，所以O∈直线CD，
所以O，C，D三点共线．]
共线
7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有______条．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
5 [由题图可知，既与AB共面，又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1共5条．]
5
8．看图填空．
(1)AC∩BD＝______；
(2)平面AB1∩平面A1C1＝______；
(3)平面A1C1CA∩平面AC＝______；
(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝______；
(5)平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C＝______；
(6)A1B1∩B1B∩B1C1＝______．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
O
A1B1
AC
OO1
B1
B1
三、解答题
9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M．求证：C1，O，M三点共线．
题号
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1
[证明] 因为A1C∩平面BDC1＝O，所以O∈A1C，O∈平面BDC1．又因为A1C 平面ACC1A1，
所以O∈平面ACC1A1．
因为AC，BD交于点M，所以M∈AC，M∈BD．
又AC 平面ACC1A1，BD 平面BDC1，
所以M∈平面ACC1A1，M∈平面BDC1．
又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面BDC1，
所以C1，O，M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上，所以C1，O，M三点共线．
题号
3
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1
10．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )
A．0 B．1 C．0或1 D．1或3
题号
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1
D [当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面；当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，故选D．]
√
11．已知A，B，C，D是空间内四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题号
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1
A [若A，B，C，D四点不共面，则AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙的充分不必要条件．]
√
12．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
题号
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1
B [如图①②所示，A，C，D均不正确，只有B正确．]
√
13．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面的交线可能有_________条．
题号
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1
1或2或3 [当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．]
1或2或3
14．已知空间四边形ABCD(如图所示)中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CGDC．求证：
(1)E，F，H，G四点共面；
(2)直线FH，EG，AC共点．
题号
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1
[证明] (1)连接EF，GH．因为E，F分别是AB，AD的中点，
所以EF BD．因为G，H分别是BC，CD上的点，且CGDC，
所以GH BD，所以EF∥GH，
所以E，F，H，G四点共面．
题号
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题号
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15
1
(2)由(1)知，EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EFHG是梯形．
设两腰EG，FH相交于一点T．
因为EG 平面ABC，FH 平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD．
又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以T∈AC，即直线EG，FH，AC相交于一点T．
15．空间A，B，C，D，E五个点可以确定多少个平面？
题号
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1
[解] (1)5个点共面，确定一个平面．
(2)4点共面．如图①，B，C，D，E都在平面BCDE内，A 平面BCDE，即5点构成四棱锥A-BCDE．此时确定7个平面：4个侧面，1个底面，2个对角面．
(3)4点共面，如图②．确定5个平面：四面体4个面，还有1个截面．
(4)任意3点不共线，任意4点不共面，可确定10个平面：平面ABC，平面ABD，平面ABE，平面ACD，平面ACE，平面ADE，平面BCD，平面BCE，平面BDE，平面CDE．
综上，空间5个点可确定1或7或5或10个平面．
题号
3
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10
11
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13
14
15
1
THANKS课时分层作业(二十六) 平面
一、选择题
1．如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是( )
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
2．下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
A B
C D
3．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交 B．重合
C．相交或重合 D．以上都不对
4．(多选)下列命题中正确的是( )
A．三角形是平面图形
B．四边形是平面图形
C．四边相等的四边形是平面图形
D．圆是平面图形
5．(多选)三个平面可能将空间分成的部分为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
6．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
7．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．
8．看图填空．
(1)AC∩BD＝________；
(2)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(3)平面A1C1CA∩平面AC＝________；
(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；
(5)平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C＝________；
(6)A1B1∩B1B∩B1C1＝________．
三、解答题
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M．求证：C1，O，M三点共线．
10．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )
A．0 B．1 C．0或1 D．1或3
11．已知A，B，C，D是空间内四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线
B．必有三点不共线
C．至少有三点共线
D．不可能有三点共线
13．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面的交线可能有________条．
14．已知空间四边形ABCD(如图所示)中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝DC．求证：
(1)E，F，H，G四点共面；
(2)直线FH，EG，AC共点．
15．空间A，B，C，D，E五个点可以确定多少个平面？
4/4课时分层作业(二十六)
1．A [对于A，由题图知α与β交于m，n在α内，m与n交于点A，所以α∩β＝m，n α，m∩n＝A，故A正确；对于B，D，n∈α这一表示方法错误，故B，D错误；对于C，A m，A n这一表示方法错误，故C错误．故选A．]
2．D [对于A，图中没有画出平面α与平面β的交线，故A不正确；对于B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故 B，C不正确；对于D，符合画法原则，故D正确．故选D．]
3．C [若这三个公共点在一条直线上，则这两个平面相交；若这三个公共点不共线，则这两个平面重合．故选C．]
4．AD [根据基本事实1可知A，D正确，对于B，C，可以是空间四边形，四点不在同一平面，故B，C错误．故选AD．]
5．BCD [设三个平面可将空间分成n个部分．若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其他两个平面相交，则可将空间分为6个部分；
若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7个部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8个部分，故n的取值为4，6，7，8，所以n不可能是5．故选BCD．]
6．共线 [如图，因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD．
因为l∩α＝O，所以O∈α．
又O∈AB β，所以O∈直线CD，所以O，C，D三点共线．]
7．5 [由题图可知，既与AB共面，又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1共5条．]
8．(1)O (2)A1B1 (3)AC (4)OO1 (5)B1 (6)B1
9．证明：因为A1C∩平面BDC1＝O，所以O∈A1C，O∈平面BDC1．又因为A1C 平面ACC1A1，
所以O∈平面ACC1A1．
因为AC，BD交于点M，所以M∈AC，M∈BD．
又AC 平面ACC1A1，BD 平面BDC1，
所以M∈平面ACC1A1，M∈平面BDC1．
又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面BDC1，
所以C1，O，M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上，所以C1，O，M三点共线．
10．D [当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面；当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，故选D．]
11．A [若A，B，C，D四点不共面，则AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙的充分不必要条件．]
12．B [如图①②所示，A，C，D均不正确，只有B正确．
]
13．1或2或3 [当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．]
14．证明：(1)连接EF，GH．因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF綉BD．因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝DC，所以GH綉BD，所以EF∥GH，
所以E，F，H，G四点共面．
(2)由(1)知，EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EFHG是梯形．
设两腰EG，FH相交于一点T．
因为EG 平面ABC，FH 平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD．
又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以T∈AC，即直线EG，FH，AC相交于一点T．
15．解：(1)5个点共面，确定一个平面．
(2)4点共面．如图①，B，C，D，E都在平面BCDE内，A 平面BCDE，即5点构成四棱锥A-BCDE．此时确定7个平面：4个侧面，1个底面，2个对角面．
(3)4点共面，如图②．确定5个平面：四面体4个面，还有1个截面．
(4)任意3点不共线，任意4点不共面，可确定10个平面：平面ABC，平面ABD，平面ABE，平面ACD，平面ACE，平面ADE，平面BCD，平面BCE，平面BDE，平面CDE．
综上，空间5个点可确定1或7或5或10个平面．
3/3
