四川省资阳市2025年中考数学真题
1．（2025·资阳）的相反数是（ ）
A．-4 B． C． D．4
2．（2025·资阳）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·资阳）2025年政府工作报告显示，我国2024年新能源汽车年产量突破1300万辆.将数“1300万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·资阳）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·资阳）某年级7名教师某周使用人工智能（AI)办公的次数分别为：5，2，6，9，5，5，3.这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．6，5 B．5，9 C．5，6 D．5，5
6．（2025·资阳）已知数轴上点A所表示的数是，则与点A相距2个单位长度的点表示的数是（ ）
A．或 B．或 C． D．
7．（2025·资阳）三角形的周长为48cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是（ ）
A．12cm B．24cm C．28cm D．30cm
8．（2025·资阳）如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM=BN；再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE//BC交BA于点E.若∠BDE=30°，则∠AED的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．（2025·资阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何.”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的.五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（ ）
A．斤 B．斤 C．斤 D．斤
10．（2025·资阳）如图，在四边形ABCD中，，，，，E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点.现将沿EF所在直线翻折得到(图3的所有点在同一平面内)，连接A'B，A'C，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·资阳）使代数式有意义的实数x的取值范围是 .
12．（2025·资阳）一个质地均匀的正方体般子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.抛掷这枚骰子，则朝上一面所标的数字为奇数的概率为 .
13．（2025·资阳）方程的解为x= .
14．（2025·资阳）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE//DA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是 .
15．（2025·资阳）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是 .
16．（2025·资阳）如图.在平面直角坐标系中，O为坐标原点.抛物线与y轴相交于点A(0，2)，且抛物线的对称轴为直线.给出以下4个结论：
①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点，在抛物线上，满足且，则一定有.
其中，所有正确结论的序号为 .
17．（2025·资阳）先化简，再求值：，其中.
18．（2025·资阳）为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项，为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根
据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 ▲ 名学生，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数；
（3）已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率。
19．（2025·资阳）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.一次函数的图象与x轴交于点A(-1，0)，与反比例函数的图象交于点B(-2，a)，射线BO与反比例函数的图象交于点C，连接AC.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积.
20．（2025·资阳）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包.购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元.
（1）问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？
（2）该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份
21．（2025·资阳）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i=1：3，AB=10米，CD⊥BD.(点A，B，C，D在同一竖直平面内）.
（1）求平台BN的高度；
（2）求建筑物的高度（即CD的长)
22．（2025·资阳）如图，是的外接圆，AB是的直径，的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E.
（1）求证：DE是的切线；
（2）若，，求的半径.
23．（2025·资阳）在四边形ABCD中，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点.
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，连接OE，作交CD于点F，求证：；
图1
（2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，，，，，连接AE，作交CD于点F，连接OF，求的值；
图2
（3）如图3，四边形ABCD是菱形，，，连接DE交AC于点G，F是边AB上的一点，，若，求OG的长.
图3
24．（2025·资阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边)，与y轴相交于点C（0，-3)且抛物线的顶点坐标为（1，-4)
（1）求抛物线的表达式；
（2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0，-1)，连接BC、DP相交于点E，连接PB.若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标；
（3）M、N是抛物线上的两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为G.H.是否存在点M，N、使得以M，N、G、H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是.
故答案为：C.
【分析】求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从几何体的左面看，有两列左边两个小正方形，右边一个小正方形，有两行，第一行有1个正方形，第二行有2个小正方形，只有D符合题意.
故答案为：D.
【分析】左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，据此可得答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1300万=.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、，故C符合题意
D、 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项的法则，可对A、B作出判断；利用幂的乘方法则，可对C作出判断；利用同底数幂相乘的法则，可对D作出判断.
5．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：从小到大排序为：2、3、5、5、5、6、9
处于最中间的数是5，
∴这组数据的中位数是5；
∵5出现了3次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是5.
故答案为：D.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，就可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：数轴上点A所表示的数是，则与点A相距2个单位长度的点表示的数是或.
故答案为：A.
【分析】与点A相距2个单位长度的点可能在点A的右边也可能在点A的左边，列式计算即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵三角形的中位线等于第三边的一半， 三角形的周长为48cm，
∴ 它的三条中位线组成的三角形的周长×48=24.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的中位线等于第三边的一半，可得到三条中位线组成的三角形的周长是原来三角形周长的一半.
8．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由作图可知，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠DBC=∠ABD=30°，
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=30°+30°=60°.
故答案为：C.
【分析】由作图可知，BD平分∠ABC，利用角平分线的概念可证得∠ABD=∠DBC，利用平行线的性质可求出∠ABD的度数，然后根据三角形外角的性质可求出∠AED的度数.
9．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设原本持金x斤，根据题意得
第1关收税为x，剩余为；
第2关收税为，剩余为；
第3关收税为，剩余为；
第4关收税为，剩余为；
第5关收税为，
∴
解之：.
∴ 原本持金为斤.
故答案为：A.
【分析】设原本持金x斤，分别求出第1关收税到第五关的收税，然后根据五关税金之和恰好重1斤，可得关于x的方程，解方程求出x的值.
10．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵DC∥AB，AD⊥CD，
∴∠AGC=∠DCG=∠ADC=90°，
∴四边形ADCG是矩形，
∵AD=DC，
∴四边形ADCG是正方形，
∴AG=CD=CG=2，
∴BG=AB-AG=4-2=2，
∴，
∴当点A'到BC的距离最小时△A'BC的面积最小，
过点A'作A'H⊥BC，交BC的延长线于点H，当A'H最小时，△A'BC的面积最小，
∵点E是线段AD的中点，AD=2，
∴DE=AE=1，
∵ 将沿EF所在直线翻折得到，
∴AE=A'E=1，
∴点A在以E为圆心，1为半径的半圆上运动，
∴当点E、A'、H三点共线时，A'H最小，
延长AD，BC交于点M，过点D作DN⊥CM于点N，
∴DN∥EH，
∵CG=BG=2，∠BGC=90°，
∴∠ABC=∠BCG=45°，
∵AB∥CD，
∴∠DCM=∠ABC=45°，
∵∠CDM=180°-∠ADC=180°-90°=90°，
∴△CDM是等腰直角三角形，
∴DM=CD=2，DN=MN=NC=CM，
∴，
，DN=，
∵DN∥EH
∴△MND∽△MHE，
∴即
解之：
∴，
∴面积的最小值为
故答案为：B.
【分析】过点C作CG⊥AB于点G，利用垂直的定义可推出四边形ADCG是矩形，利用一组邻边相等的矩形是正方形，可证得四边形ADCG是正方形，利用正方形的性质可推出AG=CD=CG=2，即可求出BG的长，利用勾股定理求出BC的长，当点A'到BC的距离最小时△A'BC的面积最小，过点A'作A'H⊥BC，交BC的延长线于点H，当A'H最小时，△A'BC的面积最小，利用线段的中点和折叠的性质可求出DE、AE、A'E的长，可知点A在以E为圆心，1为半径的半圆上运动，由此可推出当点E、A'、H三点共线时，A'H最小，延长AD，BC交于点M，过点D作DN⊥CM于点N，同时可证得△CDM是等腰直角三角形，可求出DM、CD的长，即可证得DN=MN=NC=CM，利用勾股定理求出CM的长，可得到EM、DN的长，易证DN∥EH，可证得△MND∽△MHE，利用相似三角形的性质可求出EH的长；即可求出A'H的长，然后利用三角形的面积公式可求出△A'BC面积的最小值.
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知
x-1≥0
解之：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
12．【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵朝上一面所标的数字为奇数的有1、3、5三种情况
∴P（朝上一面所标的数字为奇数）=.
故答案为：.
【分析】利用已知条件可得到所有等可能的结果数及朝上一面所标的数字为奇数的情况数，再利用概率公式进行计算.
13．【答案】2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）（x+3）得
3（x+3）=5（x+1）
解之：，
经检验x=2是原方程的根
∴原方程的根为x=2.
故答案为：2.
【分析】方程两边同时乘以（x+1）（x+3），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
14．【答案】BE=BC
【知识点】等边三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：要使△BCE成为等边三角形，可以添加BE=BC，
理由：∵CE∥DA，
∴∠A=∠BEC，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∵∠A=∠B，
∴∠B=∠BEC=∠BCE，
∴△BEC是等边三角形.
故答案为：BE=BC.
【分析】利用平行线的性质和等边对等角可证得∠A=∠BEC=∠BCE，结合已知条件可推出∠B=∠BEC=∠BCE，由此可证得结论.
15．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接AD，
∵正六边形ABCDEF，
∴DC=DE=AB=BC=2，∠B=∠CDE=∠BCD=120°，∠ADC=∠ADE=∠CDE=60°，
∴∠BAC=∠ACB=（180°-∠B）=（180°-120°）=30°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90°，
∴，
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴S△ACD=S△AED，
∴S阴影部分=2S△ACD-S扇形CDE，
∴S阴影部分=
故答案为：.
【分析】连接AD，利用正六边形的性质可证得DC=DE=AB=BC=2，∠B=∠CDE=∠BCD=120°，同时可证得∠ADC=∠ADE=60°，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，即可证得∠ACD=90°，利用解直角三角形求出AC的长，再利用SAS可证得△ACD≌△AED，利用全等三角形的性质可推出S△ACD=S△AED，然后根据S阴影部分=2S△ACD-S扇形CDE，利用三角形和扇形的面积公式进行计算.
16．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴即b=2a
∴当x=-1时y的值最小即y=a-b+c
∴am2+bm+c≥a-b+c，
∵抛物线与y轴相交于点A(0，2) ，
∴c=2，
∴am2+bm+c+a≥a-b+c+a=2a-b+c=c=2
∴ 对于任意实数m，的值不小于2，故②正确；
作点O关于对称轴对称的点O'，连接OP，
∴OP=O'P，点O'（-2，0）
∴OP+AP=O'P+AP=O'A，
∵两点之间线段最短，
∴此时OP+AP的最小值就是O'A的长，
∴故③正确；
故答案为：.
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，在抛物线上，满足且，
∴点（x2，y2）离对称轴远，
∴y1＜y2，故④正确，
∴正确结论的序号为②③④.
【分析】观察图象可知抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点在x轴的上方，可确定出a、b、c的取值范围，由此可得abc的取值范围，可对①作出判断；利用抛物线的对称轴可得到b=2a，再利用二次函数的最值可推出am2+bm+c+a≥2，可对②作出判断；作点O关于对称轴对称的点O'，连接OP，可证得OP=O'P，同时可得到点O'的坐标，可推出OP+AP=O'A，利用两点之间线段最短，可知此时OP+AP的最小值就是O'A的长，利用勾股定理求出O'A的长，可对③作出判断；利用二次函数的性质可知抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，结合已知可得到点（x2，y2）离对称轴远，据此可得到y1、y2的大小关系，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
17．【答案】解：原式=
.
当a=2时，原式=3
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将除法转化为乘法运算，约分化简，然后将a的值代入化简后的代数式进行计算.
18．【答案】（1）80；
解：C项目的人数为：80-32-28-4=16人
补全条形统计图如图
（2）解：C所在扇形的圆心角的度数为×360°=72°.
（3）解：树状图与列表法分别如下：
所以，抽到性别相同的学生的概率P=
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1） 本次调查共抽取的学生人数为：人.
故答案为：80.
【分析】（1）利用扇形统计图和条形统计图，可求出抽取的人数，最求出C项目的人数，然后补全条形统计图即可.
（2）C所在扇形的圆心角的度数等于360°×C项目的人数所占的百分比，列式计算即可.
（3）此事件是抽取不放回，列出树状图，可得到所有等可能的结果数及抽到两名性别相同的学生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
19．【答案】（1）解：将A(-1， 0)代入y=kx-2.
得-k-2=0，解得k=-2，
所以，一次函数的表达式为y=-2x-2.
将点B(-2， a)代入y=-2x-2.
得-2x(-2)-2=a，解得a=2.
即B(-2， 2).
把B(-2， 2)代入y=，得2=，即m=-4.
所以，反比例函数的表达式为y=-
（2）解：由(1)知， 点B的坐标为(-2， 2)，
依题意，点B，C关于原点对称，
所以C(2， -2).
过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为点E、F.
可知BE=2. CF=2， OA =1.
=2.
∴△ABC的面积为2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A代入一次函数解析式，可求出k的值，可得到一次函数解析式；再将x=-2代入一次函数解析式，可求出a的值，可得到点B的坐标，将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，可得到反比例函数解析式.
（2）利用关于原点对称点的特点可求出点C的坐标；过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为点E、F，可求出BE、CF、OA的长，根据，利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积.
20．【答案】（1）解：设购买一份A款材料包需x元，购买一份B款材料包需y元.
依题意，得
解得
答：购买一份A款材料包需16元，购买一份B款材料包需18元.
（2）解：设购买A款材料包m份，则购进B款材料包（50-m)份.
依题意，得16m+18（50-m)≤830，
解得m≥35.
答：至少购买A款材料包35份.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：3×A款材料包的单价+2×B款材料包的单价=84；2×A款材料包的单价+3×B款材料包的单价=86；据此设未知数，列方程组，然后求出方程组的解即可.
（2）设购买A款材料包m份，可表示出购进B款材料包的数量，然后根据购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的最小整数解即可.
21．【答案】（1）解：过点 B 作 于点 E.在 中，.
设BE=x (米)， 则AE=3x (米)，
则x +(3x)2 = (10)2.
解得x=10（米）.
即平台的高度为10米
（2）解：延长 CD交AM于点F.
可知四边形BEFD为矩形，则DF =BE=10米，
由(1)可知，AE=30米.
设CD=h(米)，
在中，，则，所以.
则米，米.
在中，，
所以.
解得（米）.
所以，建筑物的高度CD为米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点 B 作 于点 E，利用坡度的概念可得到BE与AE的比值，设BE=x ，可表示出AE的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可.
（2）延长 CD交AM于点F，易证四边形BEFD为矩形，利用矩形的性质可得到DF的长，设CD=h，利用解直角三角形可表示出EF的长，可得到CF、AF的长，在中，利用解直角三角形可得到关于h的方程，解方程求出h的值.
22．【答案】（1）证明：方法1连接OD.
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°.
∵ DE //BC、
∴∠E=90°.
∴∠EAD+∠ADE=90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAB.
∵OA =OD，
∴∠DAB=∠ADO.
∴∠EAD=∠ADO.
∴∠ADO+∠ADE=90°，即OD⊥DE.
∴ DE 是⊙O 的切线
（2）解：由（1）可得，四边形DECF为矩形.
∴DF=CE=.
∵，，
∴.
在Rt△BOF中，OB=2OF.
设OB=x，则OF=x-.
∴，解得.
即⊙O的半径为
【知识点】矩形的判定与性质；切线的判定；解直角三角形—含30°角直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）方法1连接OD，利用圆周角定理的推论及平行线的性质可推出∠EAD+∠ADE=90°；再利用角平分线的概念及等腰三角形的性质可推出∠EAD=∠ADO，即可证得OD⊥DE，据此可证得结论.
（2）由（1）可得，四边形DECF为矩形，利用矩形的性质可求出DF的长；再证明∠ABC=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可证得OB=2OF，设OB=x，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆O的半径.
23．【答案】（1）证明：连接OD.
∵四边形ABCD是正方形，O为AC中点，
∴OD=OC， ∠ODF= ∠OCE=45°.
∵OE⊥OF.
∴∠EOF=90°
∵∠DOC=90°，
∴∠DOF=∠COE.
在△ODF和△OCE中，
∴.
∴OE = OF
（2）解：过点E作交AC于点G.
由，，得. 又由，得.
故. 由，得.
在中，，，则，.
∴.
∵∠AEF = ∠GEC = 90°，
∴∠AEG= ∠FEC.
∵∠AGE=∠GEC+ ∠GCE=∠OCF+ ∠GCE=∠FCE，
∴∠AGE∽△FCE.
∴，即，得，又，则，所以.
（3）解：连接BD.过点F作DA的垂线，交DA的延长线于点H.
由AF=AB，AB=BC=6.
得AF=2.
∵∠ABC=60°，
∴∠HAF=60°.
在Rt△AHF中，AH=1， HF=
则DH =7.
∵∠EDF=30°=∠ADB，
∴∠ADF=∠ODG.
∵∠DHF=∠DOG=90°，
∴，则.
又，，则.
∴
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接OD，利用正方形的性质可推出OD=OC， ∠ODF= ∠OCE=45°，再证明∠DOF=∠COE，利用ASA可证得△ODF≌△OCE，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）过点E作交AC于点G，利用解直角三角形求出AC的长，再利用勾股定理可求出BC、CE的长；在中，利用解直角三角形求出GE、CG、AG的长；再证明∠AGE∽△FCE，利用相似三角形的性质可求出CF的长，然后利用勾股定理求出OF的长，即可求出的值 .
（3）连接BD.过点F作DA的垂线，交DA的延长线于点H，利用已知可求出AF、DH的长，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得数据线DHF∽△DOG，利用相似三角形的性质可求出OG的长.
24．【答案】（1）解：设抛物线表达式为y=a(x-1)2-4.
由抛物线过点C(0，-3)，得a(0-1)2-4=-3，解得a= 1.
所以，抛物线的表达式为y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3
（2）解：方法1：过点P作x轴的垂线，交x轴于点F.
∵△CDE与△PBE的面积相等，
∴△BOC与四边形BODP的面积相等.
设点P(t， t2-2t-3)，其中0＜t<3，
∴点F坐标为(t，0).
当y=0时x2-2x-3=0
解之：x1=-1，x2=3，
∴点B（3，0）
∴.
四边形BODP的面积.
所以.
整理得.
解得（舍去），.
点P的纵坐标.
所以点P的坐标为.
方法2连接PC，BD，过点P作CD的垂线，垂足为F.
∵△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD.
则点P和点C到直线BD的距离相等.
所以直线 PC∥BD，
易证△PFC∽△BOD.
所以.
设，其中.
则，解得，则.所以点P的坐标为
方法3连接PC、 BD， 过点P作直线CD的平行线， 交 BD于点F.
因为△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD：
则点P和点C到直线BD的距离相等.
所以直线PC// BD.
设直线 BD的表达式为y=kx+b.
易知点B的坐标为(3， 0)，
则则
所以直线BD的表达式为.
由，得，四边形PFDC是平行四边形，则.
设，其中，则.
由，解得（舍去），.
则.
所以点P的坐标为.
方法4连接PC、BD、过点P作直线CD的平行线，交 BD于点F.
因为△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD
则点P和点C到直线BD的距离相等
所以直线
直线 B D 的表达式为 ．
设点 ，其中 ，则 ．
所以
由 ，得 ，解得 （含去），
点 的纵坐标 ．
所以点 的坐标为
（3）解：满足条件的点M， N存在.
理由如下：
①若点M，N分别在直线BC的两侧，
不妨令点M在直线BC上方、点N在直线BC下方，如图.
可知∠MGH=90°，
则∠MGN= ∠MGH + ∠HGN>90°，不合题意.
②若点M、N在直线 BC的下方，
不妨设点M在点H下方，如图.
直线 BC 的表达式为y = x-3.
连接MH、则△MGN为等腰直角三角形，∠HGN=45°，
可得GN⊥y轴，MH⊥x轴.
设点M坐标为(m，m2-2m-3).其中0＜m<3.
则点H坐标为(m. m-3).
根据正方形的特征，可得点N坐标为，将点N坐标代入抛物线表达式，得，即。化简得，因为.
所以，进一步化为.
解得，（舍去）.
此时，正方形边长为.
③若点M，N在直线BC的上方，
不妨设点M在点H上方，如图.
设点，其中或，
根据正方形的特征，点N坐标为，
将点N的坐标代入抛物线的表达式，
得，即。化简得，
由于m<0或m>3，
则(m-2)(m2-5m-2)=2(m+2)，
进一步化为m2-7m+6=0.
解得m1=1(舍去)， m2=6.
此时MH=18，正方形边长为9.
综上所述，正方形边长为或9.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用已知条件设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4，将点（0，-3）代入函数解析式可求出a的值，即可二次函数解析式.
（2）方法1：过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，利用已知条件可推出△BOC与四边形BODP的面积相等；设点P(t， t2-2t-3)，其中0＜t<3，可表示出点F的坐标，由y=0可求出对应的x的值，可得到点B的坐标，利用三角形的面积公式求出△BOC的面积，再根据四边形BODP的面积等于△BOC的面积，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点P的坐标；方法2连接PC，BD，过点P作CD的垂线，垂足为F，设，其中，可推出S△BCD=S△PBD，再证明△PFC∽△BOD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P的坐标；方法3连接PC、 BD， 过点P作直线CD的平行线， 交 BD于点F，可推出S△BCD=S△PBD，利用待定系数法求出直线BD的函数解析式，易证四边形PFDC是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到PF的长，设，其中，则，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点P的坐标；方法4连接PC、BD、过点P作直线CD的平行线，交 BD于点，可推出S△BCD=S△PBD，利用待定系数法求出直线BD的函数解析式，设点 ，其中 ，则 ，利用三角形的面积公式可表示出△PBD的面积，同时可求出 BCD的面积，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P的坐标.
（3）分情况讨论：①若点M，N分别在直线BC的两侧，不妨令点M在直线BC上方、点N在直线BC下方，可证得∠MGH=90°，∠MGN= ∠MGH + ∠HGN>90°，不合题意；②若点M、N在直线 BC的下方，不妨设点M在点H下方，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，连接MH，易证△MGN为等腰直角三角形，同时可证得GN⊥y轴，MH⊥x轴，设点M坐标为(m，m2-2m-3).其中0＜m<3，可表示出点N的坐标，将点N的坐标代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到MH的长，可得到正方形的边长；③若点M，N在直线BC的上方，不妨设点M在点H上方，设点，其中或，利用正方形的性质可表示出点N的坐标，将点N的坐标代入二次函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到MH的长，即可得到正方形的边长；综上所述可得到符合题意的正方形的边长.
1 / 1四川省资阳市2025年中考数学真题
1．（2025·资阳）的相反数是（ ）
A．-4 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是.
故答案为：C.
【分析】求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号，即可求解.
2．（2025·资阳）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从几何体的左面看，有两列左边两个小正方形，右边一个小正方形，有两行，第一行有1个正方形，第二行有2个小正方形，只有D符合题意.
故答案为：D.
【分析】左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，据此可得答案.
3．（2025·资阳）2025年政府工作报告显示，我国2024年新能源汽车年产量突破1300万辆.将数“1300万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1300万=.
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
4．（2025·资阳）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、，故C符合题意
D、 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项的法则，可对A、B作出判断；利用幂的乘方法则，可对C作出判断；利用同底数幂相乘的法则，可对D作出判断.
5．（2025·资阳）某年级7名教师某周使用人工智能（AI)办公的次数分别为：5，2，6，9，5，5，3.这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．6，5 B．5，9 C．5，6 D．5，5
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：从小到大排序为：2、3、5、5、5、6、9
处于最中间的数是5，
∴这组数据的中位数是5；
∵5出现了3次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是5.
故答案为：D.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，就可得出答案.
6．（2025·资阳）已知数轴上点A所表示的数是，则与点A相距2个单位长度的点表示的数是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：数轴上点A所表示的数是，则与点A相距2个单位长度的点表示的数是或.
故答案为：A.
【分析】与点A相距2个单位长度的点可能在点A的右边也可能在点A的左边，列式计算即可.
7．（2025·资阳）三角形的周长为48cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是（ ）
A．12cm B．24cm C．28cm D．30cm
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵三角形的中位线等于第三边的一半， 三角形的周长为48cm，
∴ 它的三条中位线组成的三角形的周长×48=24.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的中位线等于第三边的一半，可得到三条中位线组成的三角形的周长是原来三角形周长的一半.
8．（2025·资阳）如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM=BN；再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE//BC交BA于点E.若∠BDE=30°，则∠AED的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由作图可知，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠DBC=∠ABD=30°，
∴∠AED=∠BDE+∠ABD=30°+30°=60°.
故答案为：C.
【分析】由作图可知，BD平分∠ABC，利用角平分线的概念可证得∠ABD=∠DBC，利用平行线的性质可求出∠ABD的度数，然后根据三角形外角的性质可求出∠AED的度数.
9．（2025·资阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何.”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的.五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（ ）
A．斤 B．斤 C．斤 D．斤
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设原本持金x斤，根据题意得
第1关收税为x，剩余为；
第2关收税为，剩余为；
第3关收税为，剩余为；
第4关收税为，剩余为；
第5关收税为，
∴
解之：.
∴ 原本持金为斤.
故答案为：A.
【分析】设原本持金x斤，分别求出第1关收税到第五关的收税，然后根据五关税金之和恰好重1斤，可得关于x的方程，解方程求出x的值.
10．（2025·资阳）如图，在四边形ABCD中，，，，，E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点.现将沿EF所在直线翻折得到(图3的所有点在同一平面内)，连接A'B，A'C，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵DC∥AB，AD⊥CD，
∴∠AGC=∠DCG=∠ADC=90°，
∴四边形ADCG是矩形，
∵AD=DC，
∴四边形ADCG是正方形，
∴AG=CD=CG=2，
∴BG=AB-AG=4-2=2，
∴，
∴当点A'到BC的距离最小时△A'BC的面积最小，
过点A'作A'H⊥BC，交BC的延长线于点H，当A'H最小时，△A'BC的面积最小，
∵点E是线段AD的中点，AD=2，
∴DE=AE=1，
∵ 将沿EF所在直线翻折得到，
∴AE=A'E=1，
∴点A在以E为圆心，1为半径的半圆上运动，
∴当点E、A'、H三点共线时，A'H最小，
延长AD，BC交于点M，过点D作DN⊥CM于点N，
∴DN∥EH，
∵CG=BG=2，∠BGC=90°，
∴∠ABC=∠BCG=45°，
∵AB∥CD，
∴∠DCM=∠ABC=45°，
∵∠CDM=180°-∠ADC=180°-90°=90°，
∴△CDM是等腰直角三角形，
∴DM=CD=2，DN=MN=NC=CM，
∴，
，DN=，
∵DN∥EH
∴△MND∽△MHE，
∴即
解之：
∴，
∴面积的最小值为
故答案为：B.
【分析】过点C作CG⊥AB于点G，利用垂直的定义可推出四边形ADCG是矩形，利用一组邻边相等的矩形是正方形，可证得四边形ADCG是正方形，利用正方形的性质可推出AG=CD=CG=2，即可求出BG的长，利用勾股定理求出BC的长，当点A'到BC的距离最小时△A'BC的面积最小，过点A'作A'H⊥BC，交BC的延长线于点H，当A'H最小时，△A'BC的面积最小，利用线段的中点和折叠的性质可求出DE、AE、A'E的长，可知点A在以E为圆心，1为半径的半圆上运动，由此可推出当点E、A'、H三点共线时，A'H最小，延长AD，BC交于点M，过点D作DN⊥CM于点N，同时可证得△CDM是等腰直角三角形，可求出DM、CD的长，即可证得DN=MN=NC=CM，利用勾股定理求出CM的长，可得到EM、DN的长，易证DN∥EH，可证得△MND∽△MHE，利用相似三角形的性质可求出EH的长；即可求出A'H的长，然后利用三角形的面积公式可求出△A'BC面积的最小值.
11．（2025·资阳）使代数式有意义的实数x的取值范围是 .
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知
x-1≥0
解之：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
12．（2025·资阳）一个质地均匀的正方体般子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.抛掷这枚骰子，则朝上一面所标的数字为奇数的概率为 .
【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵朝上一面所标的数字为奇数的有1、3、5三种情况
∴P（朝上一面所标的数字为奇数）=.
故答案为：.
【分析】利用已知条件可得到所有等可能的结果数及朝上一面所标的数字为奇数的情况数，再利用概率公式进行计算.
13．（2025·资阳）方程的解为x= .
【答案】2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）（x+3）得
3（x+3）=5（x+1）
解之：，
经检验x=2是原方程的根
∴原方程的根为x=2.
故答案为：2.
【分析】方程两边同时乘以（x+1）（x+3），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
14．（2025·资阳）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE//DA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是 .
【答案】BE=BC
【知识点】等边三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：要使△BCE成为等边三角形，可以添加BE=BC，
理由：∵CE∥DA，
∴∠A=∠BEC，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∵∠A=∠B，
∴∠B=∠BEC=∠BCE，
∴△BEC是等边三角形.
故答案为：BE=BC.
【分析】利用平行线的性质和等边对等角可证得∠A=∠BEC=∠BCE，结合已知条件可推出∠B=∠BEC=∠BCE，由此可证得结论.
15．（2025·资阳）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是 .
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接AD，
∵正六边形ABCDEF，
∴DC=DE=AB=BC=2，∠B=∠CDE=∠BCD=120°，∠ADC=∠ADE=∠CDE=60°，
∴∠BAC=∠ACB=（180°-∠B）=（180°-120°）=30°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90°，
∴，
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴S△ACD=S△AED，
∴S阴影部分=2S△ACD-S扇形CDE，
∴S阴影部分=
故答案为：.
【分析】连接AD，利用正六边形的性质可证得DC=DE=AB=BC=2，∠B=∠CDE=∠BCD=120°，同时可证得∠ADC=∠ADE=60°，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，即可证得∠ACD=90°，利用解直角三角形求出AC的长，再利用SAS可证得△ACD≌△AED，利用全等三角形的性质可推出S△ACD=S△AED，然后根据S阴影部分=2S△ACD-S扇形CDE，利用三角形和扇形的面积公式进行计算.
16．（2025·资阳）如图.在平面直角坐标系中，O为坐标原点.抛物线与y轴相交于点A(0，2)，且抛物线的对称轴为直线.给出以下4个结论：
①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点，在抛物线上，满足且，则一定有.
其中，所有正确结论的序号为 .
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴即b=2a
∴当x=-1时y的值最小即y=a-b+c
∴am2+bm+c≥a-b+c，
∵抛物线与y轴相交于点A(0，2) ，
∴c=2，
∴am2+bm+c+a≥a-b+c+a=2a-b+c=c=2
∴ 对于任意实数m，的值不小于2，故②正确；
作点O关于对称轴对称的点O'，连接OP，
∴OP=O'P，点O'（-2，0）
∴OP+AP=O'P+AP=O'A，
∵两点之间线段最短，
∴此时OP+AP的最小值就是O'A的长，
∴故③正确；
故答案为：.
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，在抛物线上，满足且，
∴点（x2，y2）离对称轴远，
∴y1＜y2，故④正确，
∴正确结论的序号为②③④.
【分析】观察图象可知抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点在x轴的上方，可确定出a、b、c的取值范围，由此可得abc的取值范围，可对①作出判断；利用抛物线的对称轴可得到b=2a，再利用二次函数的最值可推出am2+bm+c+a≥2，可对②作出判断；作点O关于对称轴对称的点O'，连接OP，可证得OP=O'P，同时可得到点O'的坐标，可推出OP+AP=O'A，利用两点之间线段最短，可知此时OP+AP的最小值就是O'A的长，利用勾股定理求出O'A的长，可对③作出判断；利用二次函数的性质可知抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，结合已知可得到点（x2，y2）离对称轴远，据此可得到y1、y2的大小关系，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
17．（2025·资阳）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式=
.
当a=2时，原式=3
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将除法转化为乘法运算，约分化简，然后将a的值代入化简后的代数式进行计算.
18．（2025·资阳）为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项，为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根
据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 ▲ 名学生，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数；
（3）已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率。
【答案】（1）80；
解：C项目的人数为：80-32-28-4=16人
补全条形统计图如图
（2）解：C所在扇形的圆心角的度数为×360°=72°.
（3）解：树状图与列表法分别如下：
所以，抽到性别相同的学生的概率P=
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1） 本次调查共抽取的学生人数为：人.
故答案为：80.
【分析】（1）利用扇形统计图和条形统计图，可求出抽取的人数，最求出C项目的人数，然后补全条形统计图即可.
（2）C所在扇形的圆心角的度数等于360°×C项目的人数所占的百分比，列式计算即可.
（3）此事件是抽取不放回，列出树状图，可得到所有等可能的结果数及抽到两名性别相同的学生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
19．（2025·资阳）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.一次函数的图象与x轴交于点A(-1，0)，与反比例函数的图象交于点B(-2，a)，射线BO与反比例函数的图象交于点C，连接AC.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积.
【答案】（1）解：将A(-1， 0)代入y=kx-2.
得-k-2=0，解得k=-2，
所以，一次函数的表达式为y=-2x-2.
将点B(-2， a)代入y=-2x-2.
得-2x(-2)-2=a，解得a=2.
即B(-2， 2).
把B(-2， 2)代入y=，得2=，即m=-4.
所以，反比例函数的表达式为y=-
（2）解：由(1)知， 点B的坐标为(-2， 2)，
依题意，点B，C关于原点对称，
所以C(2， -2).
过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为点E、F.
可知BE=2. CF=2， OA =1.
=2.
∴△ABC的面积为2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A代入一次函数解析式，可求出k的值，可得到一次函数解析式；再将x=-2代入一次函数解析式，可求出a的值，可得到点B的坐标，将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，可得到反比例函数解析式.
（2）利用关于原点对称点的特点可求出点C的坐标；过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为点E、F，可求出BE、CF、OA的长，根据，利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积.
20．（2025·资阳）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包.购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元.
（1）问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？
（2）该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份
【答案】（1）解：设购买一份A款材料包需x元，购买一份B款材料包需y元.
依题意，得
解得
答：购买一份A款材料包需16元，购买一份B款材料包需18元.
（2）解：设购买A款材料包m份，则购进B款材料包（50-m)份.
依题意，得16m+18（50-m)≤830，
解得m≥35.
答：至少购买A款材料包35份.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：3×A款材料包的单价+2×B款材料包的单价=84；2×A款材料包的单价+3×B款材料包的单价=86；据此设未知数，列方程组，然后求出方程组的解即可.
（2）设购买A款材料包m份，可表示出购进B款材料包的数量，然后根据购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的最小整数解即可.
21．（2025·资阳）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i=1：3，AB=10米，CD⊥BD.(点A，B，C，D在同一竖直平面内）.
（1）求平台BN的高度；
（2）求建筑物的高度（即CD的长)
【答案】（1）解：过点 B 作 于点 E.在 中，.
设BE=x (米)， 则AE=3x (米)，
则x +(3x)2 = (10)2.
解得x=10（米）.
即平台的高度为10米
（2）解：延长 CD交AM于点F.
可知四边形BEFD为矩形，则DF =BE=10米，
由(1)可知，AE=30米.
设CD=h(米)，
在中，，则，所以.
则米，米.
在中，，
所以.
解得（米）.
所以，建筑物的高度CD为米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点 B 作 于点 E，利用坡度的概念可得到BE与AE的比值，设BE=x ，可表示出AE的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可.
（2）延长 CD交AM于点F，易证四边形BEFD为矩形，利用矩形的性质可得到DF的长，设CD=h，利用解直角三角形可表示出EF的长，可得到CF、AF的长，在中，利用解直角三角形可得到关于h的方程，解方程求出h的值.
22．（2025·资阳）如图，是的外接圆，AB是的直径，的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E.
（1）求证：DE是的切线；
（2）若，，求的半径.
【答案】（1）证明：方法1连接OD.
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°.
∵ DE //BC、
∴∠E=90°.
∴∠EAD+∠ADE=90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAB.
∵OA =OD，
∴∠DAB=∠ADO.
∴∠EAD=∠ADO.
∴∠ADO+∠ADE=90°，即OD⊥DE.
∴ DE 是⊙O 的切线
（2）解：由（1）可得，四边形DECF为矩形.
∴DF=CE=.
∵，，
∴.
在Rt△BOF中，OB=2OF.
设OB=x，则OF=x-.
∴，解得.
即⊙O的半径为
【知识点】矩形的判定与性质；切线的判定；解直角三角形—含30°角直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）方法1连接OD，利用圆周角定理的推论及平行线的性质可推出∠EAD+∠ADE=90°；再利用角平分线的概念及等腰三角形的性质可推出∠EAD=∠ADO，即可证得OD⊥DE，据此可证得结论.
（2）由（1）可得，四边形DECF为矩形，利用矩形的性质可求出DF的长；再证明∠ABC=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可证得OB=2OF，设OB=x，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆O的半径.
23．（2025·资阳）在四边形ABCD中，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点.
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，连接OE，作交CD于点F，求证：；
图1
（2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，，，，，连接AE，作交CD于点F，连接OF，求的值；
图2
（3）如图3，四边形ABCD是菱形，，，连接DE交AC于点G，F是边AB上的一点，，若，求OG的长.
图3
【答案】（1）证明：连接OD.
∵四边形ABCD是正方形，O为AC中点，
∴OD=OC， ∠ODF= ∠OCE=45°.
∵OE⊥OF.
∴∠EOF=90°
∵∠DOC=90°，
∴∠DOF=∠COE.
在△ODF和△OCE中，
∴.
∴OE = OF
（2）解：过点E作交AC于点G.
由，，得. 又由，得.
故. 由，得.
在中，，，则，.
∴.
∵∠AEF = ∠GEC = 90°，
∴∠AEG= ∠FEC.
∵∠AGE=∠GEC+ ∠GCE=∠OCF+ ∠GCE=∠FCE，
∴∠AGE∽△FCE.
∴，即，得，又，则，所以.
（3）解：连接BD.过点F作DA的垂线，交DA的延长线于点H.
由AF=AB，AB=BC=6.
得AF=2.
∵∠ABC=60°，
∴∠HAF=60°.
在Rt△AHF中，AH=1， HF=
则DH =7.
∵∠EDF=30°=∠ADB，
∴∠ADF=∠ODG.
∵∠DHF=∠DOG=90°，
∴，则.
又，，则.
∴
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接OD，利用正方形的性质可推出OD=OC， ∠ODF= ∠OCE=45°，再证明∠DOF=∠COE，利用ASA可证得△ODF≌△OCE，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）过点E作交AC于点G，利用解直角三角形求出AC的长，再利用勾股定理可求出BC、CE的长；在中，利用解直角三角形求出GE、CG、AG的长；再证明∠AGE∽△FCE，利用相似三角形的性质可求出CF的长，然后利用勾股定理求出OF的长，即可求出的值 .
（3）连接BD.过点F作DA的垂线，交DA的延长线于点H，利用已知可求出AF、DH的长，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得数据线DHF∽△DOG，利用相似三角形的性质可求出OG的长.
24．（2025·资阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边)，与y轴相交于点C（0，-3)且抛物线的顶点坐标为（1，-4)
（1）求抛物线的表达式；
（2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0，-1)，连接BC、DP相交于点E，连接PB.若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标；
（3）M、N是抛物线上的两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为G.H.是否存在点M，N、使得以M，N、G、H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由。
【答案】（1）解：设抛物线表达式为y=a(x-1)2-4.
由抛物线过点C(0，-3)，得a(0-1)2-4=-3，解得a= 1.
所以，抛物线的表达式为y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3
（2）解：方法1：过点P作x轴的垂线，交x轴于点F.
∵△CDE与△PBE的面积相等，
∴△BOC与四边形BODP的面积相等.
设点P(t， t2-2t-3)，其中0＜t<3，
∴点F坐标为(t，0).
当y=0时x2-2x-3=0
解之：x1=-1，x2=3，
∴点B（3，0）
∴.
四边形BODP的面积.
所以.
整理得.
解得（舍去），.
点P的纵坐标.
所以点P的坐标为.
方法2连接PC，BD，过点P作CD的垂线，垂足为F.
∵△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD.
则点P和点C到直线BD的距离相等.
所以直线 PC∥BD，
易证△PFC∽△BOD.
所以.
设，其中.
则，解得，则.所以点P的坐标为
方法3连接PC、 BD， 过点P作直线CD的平行线， 交 BD于点F.
因为△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD：
则点P和点C到直线BD的距离相等.
所以直线PC// BD.
设直线 BD的表达式为y=kx+b.
易知点B的坐标为(3， 0)，
则则
所以直线BD的表达式为.
由，得，四边形PFDC是平行四边形，则.
设，其中，则.
由，解得（舍去），.
则.
所以点P的坐标为.
方法4连接PC、BD、过点P作直线CD的平行线，交 BD于点F.
因为△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD
则点P和点C到直线BD的距离相等
所以直线
直线 B D 的表达式为 ．
设点 ，其中 ，则 ．
所以
由 ，得 ，解得 （含去），
点 的纵坐标 ．
所以点 的坐标为
（3）解：满足条件的点M， N存在.
理由如下：
①若点M，N分别在直线BC的两侧，
不妨令点M在直线BC上方、点N在直线BC下方，如图.
可知∠MGH=90°，
则∠MGN= ∠MGH + ∠HGN>90°，不合题意.
②若点M、N在直线 BC的下方，
不妨设点M在点H下方，如图.
直线 BC 的表达式为y = x-3.
连接MH、则△MGN为等腰直角三角形，∠HGN=45°，
可得GN⊥y轴，MH⊥x轴.
设点M坐标为(m，m2-2m-3).其中0＜m<3.
则点H坐标为(m. m-3).
根据正方形的特征，可得点N坐标为，将点N坐标代入抛物线表达式，得，即。化简得，因为.
所以，进一步化为.
解得，（舍去）.
此时，正方形边长为.
③若点M，N在直线BC的上方，
不妨设点M在点H上方，如图.
设点，其中或，
根据正方形的特征，点N坐标为，
将点N的坐标代入抛物线的表达式，
得，即。化简得，
由于m<0或m>3，
则(m-2)(m2-5m-2)=2(m+2)，
进一步化为m2-7m+6=0.
解得m1=1(舍去)， m2=6.
此时MH=18，正方形边长为9.
综上所述，正方形边长为或9.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用已知条件设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4，将点（0，-3）代入函数解析式可求出a的值，即可二次函数解析式.
（2）方法1：过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，利用已知条件可推出△BOC与四边形BODP的面积相等；设点P(t， t2-2t-3)，其中0＜t<3，可表示出点F的坐标，由y=0可求出对应的x的值，可得到点B的坐标，利用三角形的面积公式求出△BOC的面积，再根据四边形BODP的面积等于△BOC的面积，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点P的坐标；方法2连接PC，BD，过点P作CD的垂线，垂足为F，设，其中，可推出S△BCD=S△PBD，再证明△PFC∽△BOD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P的坐标；方法3连接PC、 BD， 过点P作直线CD的平行线， 交 BD于点F，可推出S△BCD=S△PBD，利用待定系数法求出直线BD的函数解析式，易证四边形PFDC是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到PF的长，设，其中，则，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点P的坐标；方法4连接PC、BD、过点P作直线CD的平行线，交 BD于点，可推出S△BCD=S△PBD，利用待定系数法求出直线BD的函数解析式，设点 ，其中 ，则 ，利用三角形的面积公式可表示出△PBD的面积，同时可求出 BCD的面积，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P的坐标.
（3）分情况讨论：①若点M，N分别在直线BC的两侧，不妨令点M在直线BC上方、点N在直线BC下方，可证得∠MGH=90°，∠MGN= ∠MGH + ∠HGN>90°，不合题意；②若点M、N在直线 BC的下方，不妨设点M在点H下方，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，连接MH，易证△MGN为等腰直角三角形，同时可证得GN⊥y轴，MH⊥x轴，设点M坐标为(m，m2-2m-3).其中0＜m<3，可表示出点N的坐标，将点N的坐标代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到MH的长，可得到正方形的边长；③若点M，N在直线BC的上方，不妨设点M在点H上方，设点，其中或，利用正方形的性质可表示出点N的坐标，将点N的坐标代入二次函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到MH的长，即可得到正方形的边长；综上所述可得到符合题意的正方形的边长.
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