广东省部分学校2026届高三上学期开学联考数学试题（含解析）

广东省部分学校2026届高三上学期开学联考模
数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的实部为（ ）
. . . .
2.某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录数据（单位：毫米）为3.56,3.58，3.59,3.95,4.03，对于这五个数据，其第70百分位数为（ ）
. . . .
3.若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（ ）
. . . .
4.设集合，，若，则的取值范围是（ ）
. . . .
5.已知锐角满足，则（ ）
. . . .
6.如图，在棱长为2的正方体中，均为顶点，为所在棱的中点，若平面，且均在平面内，则平面截正方体所得图形的面积为（ ）
. .
. .
7.某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战.为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（ ）
.种 .种 .种 .种
8.已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
. . . .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知幂函数，则（ ）
. .为奇函数
.方程有3个不相等的实根 .
10.无人机的给性速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹.无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量之和.无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量（垂直线路方向的向量分量）超过或纵向偏移量（沿线路方向的向量分量，其标准值为）超过标准值时，需调整飞行姿态.已知某区域风速稳定，某次无人机计划沿轴正方向微微线路巡检时，空速向量为（单位：），风速向量为（单位：），则（ ）
.地速大小为
.地速向量的方向与空速向量方向相同
.纵向偏移量与标准值无偏差
.该无人机需要调整飞行姿态
11.记抛物线的焦点为，直线与相交于两点，直线与相交于两点，则（ ）
.当，点在上时，
.当，点在上时，
.当，三点共线时，
.当，四边形的外接圆圆心坐标为时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数列为公差为1的等差数列，且依次成等比数列，则 .
13.已知底面圆直径为的圆锥的表面积与其侧面积之比为，则该圆锥的高为 .（用含的式子表示）
14.中，为边上靠近点的三等分点，且，，则长度的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）某校以“和经典相伴，与蜀相同行”为主题举行学习活动.为了解男女同学对该活动的感兴趣程度，对该校多位同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中为正整数.
（1）当足够大时，估计该校任一不参加活动的学生是男生的概率；
（2）若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求的最小值.
16.（15分）如图，三棱锥中，平面，，，为棱上一点，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
17.（15分）记为数列的前项和，已知.
（1）求；
（2）证明：数列是等比数列.
18.（17分）已知函数.
（1）对曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）证明：.
19.（17分）过点的直线与双曲线的右支交于两点，当轴时，.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）记的左顶点为，求的取值范围；
（3）若分别以点为圆心的两圆有公共点（在轴上），它们与轴的另一交点分别记作点，记为坐标原点，当时，求的取值范围.
答案解析
一、选择题
1.B 解析：∵，∴的实部为.
2.B 解析：由于，故第70百分位数为从小到大的第四个数.
3.B 解析：∵椭圆的短轴长为焦距的倍，∴，即，
∴，故的离心率.
4.A 解析：由题意得，∵，由数轴法可得，解得.
5.C 解析：由题意得，∵为锐角∴，
∴，故.
6.C 解析：如图，设为所在棱的中点，则有，
则经过点三点的平面即为符合题意的平面，
则平面届正方体所得图象为矩形，其中，，∴平面截正方体所得图形的面积为.
7.B 解析：由题意有两种分配方法，①6名男性取3名，4名女性取2名构成一组，余下5人构成另一组；②6名男性取2名，4名女性取3名构成一组，余下5人构成另一组，∴不同的分组方法有种.
8.C 解析：当，则，∵在上单调递增，∴，解得，故有最大值1.
二、选择题
9.BC 解析：由幂函数定义可得，解得，故A错误，
∵，，易得定义域为，且，故为奇函数，故B正确；
令函数，易得有3个零点，故方程有3个不等的实根，故C正确；
易知在上单调递增，故，故D错误.
10.ACD 解析：由题知，地速向量=空速向量+风速向量，∴地速向量=，其模长为，故A正确；
地速向量与空速向量不共线，故地速向量的方向与空速向量方向不同，故B错误；
纵向偏移量为沿线路方向的向量分量，由于地速向量=，∴沿线路方向的向量分量=，速度为，与标准值吻合，故纵向偏移量与标准值无偏差，故C正确；
横向偏移量=，速度为，超过，故该无人机需调整飞行姿态，故D正确.
11.ACD 解析：对于A，显然，均为正数，联立，可得，
∴，于是，同理，由，可得，
由在上可知，故，故A正确；
对于B，由，可得，由点在上可知，故点A的横坐标为，于是又抛物线的定义知，故B错误；
对于C，此时，不妨设点在第一象限，则，由三点共线可知点第四象限，故，代入可得，由三点共线可知直线与的斜率相等，即，解得，故，，，于是，故C正确；
对于D，由对称性可知四边形是对称轴为轴的等腰梯形，故，不妨设，则，代入可得，记圆心为，由可得，整理得，而，故，于是，故D正确.
三、填空题
12.5 解析：∵数列为公差为1的等差数列，∴，
又∵依次成等比数列，∴，即，解得，
故.
13. 解析：设该圆锥的底面圆半径和母线长分别为，则其表面积与其侧面积之比为，则，其高度为.
14. 解析：设，，，，
由正弦定理得，∴，
在中，由余弦定理得：，∴，
由，可得，
化简可得，即，
即，即，∴，
∴，∴，可得，∴.
四、解答题
15.解：（1）设事件为“该校任一不参加活动的学生是男生”，由调查数据可知，当足够大时，以频率估计概率可知该校任一不参加活动的学生是男生的概率.
（2）零假设为：是否参加活动与性别无关.
由题意可得，
若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，即不成立，
则，解得，
∵为正整数，则的最小值为10.
16.解：（1）证明：∵平面，平面，∴，
∵，，平面，∴平面，
又平面，∴平面平面.
（2）∵平面，，∴以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.
∵，令，
则，
由可得，
，，
设平面一个法向量为，则，
令，可得平面一个法向量为.
又，
设直线与平面所成的角为，则.
17.解：（1）令，可得，解得.
（2）∵，∴，
两式相减得，即，
且，则，
故是公比为的等比数列.
（3）由（2）可知，
∴，则，
易得单调递增，故有最小值，无最大值.
18.解：（1）由题意可得，，
∵，，
故曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）设，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
于是，故，在上单调递增，
故的单调递增区间为，无单调递减区间.
（3）设函数，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
于是，对于，有，即，
当时，，，即，此时；
当时，，，即，此时，
综上所述：.
19.解：（1）当轴时，，故点在上，可得，
故的标准方程为，故双曲线的渐近线方程为.
（2）设直线，联立，得.
当时，与只有一个交点，给，
∵与右支有两个交点，根据图象可得.
设，由韦达定理可得，
∴，
故.
（3）易得，∴，
，
∵，∴代入上式解得，
故，
令，，设，
则对于恒成立.
∴最小值为，最大值为，
即的取值范围为.