广东省2025-2026学年高三上学期开学一模联考数学试卷（PDF版，含答案）

广东省 2026 届高三年级综合能力测试一
数 学 参 考 答 案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B D B B C A
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分．
题号 9 10 11
答案 ACD AC ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．

3
1
2
0,1
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
【解析】（1）由正弦定理
b
sin B
c
sin C
，以及c sin B 3 7b cos C 可得sin C sin B 3 7 sin B cos C ．
… 2 分
因为sin B 0 ，所以sin C 3 7 cos C ． 3 分
因为sin2 C cos2 C 1 ，解得cos C 1 ． 6 分
8
（2）由（1）可得sin C


8
． 7 分
由正弦定理 a
c ，以及3a 2c 可得3sin A 2sin C ，所以sin A 2 sin C
7 ． 8 分
所以cos A
sin A
sin C

3 4
3 ． 9 分
4
数学答案 第1页（共5页）
所以sin B sin A C sin Acos C cos Asin C
7 1 3 3 7 5 7 ．… 11 分
4 8 4 8 16
所以 AB 边上的高为 BC sin B 2 c sin B 4 5 7 5 7 ． 13 分
3 16 4
16．（15 分）
【解析】（1）连接CM ，因为 M 是线段 ED 的中点，所以CM ED ． 1 分
因为平面 ECD 平面 ABCD ，平面 ECD ∩ 平面 ABCD CD ， BC 平面 ABCD ， BC CD ，所以
BC 平面 ECD ．… 3 分又因为 ED 平面 ECD ，所以 BC ED ． 4 分
又因为 BC ∩ CM C ， BC ，CM 平面 BCM ，所以 ED 平面 BCM ． 5 分
又因为 BM 平面 BCM ，所以 BM ED ． 6 分
取CD 中点 F ，连接 EF ．因为△ ECD 为正三角形， z
E
F 为CD 中点，所以 EF CD ．又因为平面 ECD 平面 ABCD ，
平面 ECD ∩ 平面 ABCD CD ， EF 平面 ECD ，所以 EF M
B
平面 ACD ．………………………………………………………7 分 F C
y
以 F 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示．……8 分 D A x
取 AC 中点 N ，则 N 为△ ACD 外接圆的圆心．又因为 E ， A ，C ，D 在同一个球面上，所以ON 平面 ACD ． 9 分
因为 ABCD 为正方形，△ ECD 为正三角形， AB 2 ，所以 EF ，设ON a ，则 E 0, 0, 3 ，
D 1, 0, 0 ， O 0,1, a ． 10 分
3 3
因为 OD OE ，所以

，解得 a
3 ，所以O 0,1, 3 ． ………11 分

–––→ 3
DO 1,1, 3 ． 12 分

平面 ECD 的法向量为 n 0,1, 0 ． 13 分
–––→
–––→
DO n 1
因为 cos
DO, n
–––→
． 14 分
DO n 7
所以直线 DO 与平面 ECD 所成角正弦值为 21 ．… 15 分
7
数学答案 第2页（共5页）
17．（15 分）
【解析】（1）设 A “发送的信号为 0”，B “接收的信号为 0”，则 A “发送的信号为 1”，B “接收的信号为 1”． 1 分
由题意可得 P A P A 0.5 ， P B A 1 0.1 0.9 ， P B A 0.05 ． 3 分
P B P AB ∪ AB P A P B A P A P B A 0.5 0.9 0.5 0.05 0.475 ． 4 分
（2）（i）三次传输，发送 1，相当于依次发送 1，1，1，此时依次收到 l，0，1 的概率为
P 1 1 1 2 ． 6 分
（ii）记三次传输，发送 1，依次收到 0，1，1 为 M1 ，依次收到 1，0，1 为 M 2 ，依次收到 1，1，0
为 M3 ，依次收到 1，1，1 为 M 4 ，且事件 M1 ， M 2 ， M3 ， M 4 相互独立． 7 分
P M P M P M 1 2 ．… 8
分
P M 1 3 ． 9 分
对于三次传输，记发送 1，译码为 1 为事件 M ， P M P M1 P M 2 P M 3 P M 4
3 1 2 1 3 1 2 1 2 ． 10 分
记单次传输发送 1，译码为 1 为事件 N ，则 P N 1 ． 11 分
P M P N 1 2 1 2 1 1 1 2 ．… 12 分
因为0 1 ，所以 0 ，1 0 ．当0 1 时，有 P M P N 0 ，即 P M P N ，此
2
时选用三次传输方案． 13 分
当 1 时，有 P M P N 0 ，即 P M P N ，选用哪种传输方案都可以． 14 分
2
当 1 1 时，有 P M P N 0 ，即 P M P N ，此时选用单次传输方案． 15 分
2
18．（17 分）
【解析】（1） f x 定义域为 x x 1 ， f
x
x 2x 3 ex
x 1 2
． 1 分
由 f x 0 可得 x 3 或 x 0 ，由
2
f x 0 可得0 x 1 或1 x 3 ． 3 分
2
数学答案 第3页（共5页）
所以 f x 的单调增区间为 ,0 ， 3 , ，单调减区间为 0,1 ， 1, 3 ． 4 分
2 2

（2）当 x 1 时，有 x 1 0 ， 2x 1 0 ，原不等式 f x 4 2

e 2x 1 等价于ex 4
e x 1 ，即
要证明ex 4 e x 1 0 ．… 6 分
设 g x ex 4 e x 1 ，则 g x ex 4 0 ，此时 g x 在 , 1 单调递增，于是
2

g x g 1 0 ，不等式成立．… 8 分

构造函数 F x f x f x ，0 x 1 ． 9 分
2
x 2x 3 ex x 2x 3 e x xe x e2x 2x 3 x 1 2 2x 3 x 1 2
F x f x f x ．
x 1 2
x 1 2
x2 1 2
… 11 分
因为0 x 1 ，所以e2x 1 ， 2x 3 0 ，于是e2x 2x 3 2x 3 ，所以
2
e2x 2x 3 x 1 2 2x 3 x 1 2 2x 3 x 1 2 2x 3 x 1 2 4x x2 2 0 ． 13 分
于是 F x 0 ，所以 F x 在 0, 1 单调递减． 14 分
2

因为 f 1 0 ，所以 x 0 x 1 ，所以 F x f x f x F 0 0 ，即 f x f x ．
1 2
2
2 2 2 2 2
… 15 分
因为 x1 ， x2 是 g x 的零点，所以 g x1 g x2 ，即 f x1 f x2 ，所以 f x1 f x2 ．……16 分由（1）可知 f x 在 ,0 单调递增，所以 x1 x2 ，于是 x1 x2 0 ． 17 分
19．（17 分）
【解析】（1）设点 x, y 在曲线C 上，则有 x2
2
1 ，容易知道 x 2 y 6
2
1，即 x, y 也在
y 6
曲线C 上．… 2 分
所以曲线C 关于 y 轴对称． 3 分
2 y2 2
联立 x
y 6 1 ，消去 y ，可得 x2 x 1 1，即 x 7 x2 x 1 2 x 7 ，即
x 7
y x 1
x3 8x2 x 6 0 ．… 4 分
因为 x 1是方程的根，所以方程有因式 x 1 ，所以 x3 8x2 x 6 x 1 x2 7x 6 0 ．
数学答案 第4页（共5页）
于是 x 1 0 或 x2 7x 6 0 ． 5 分
解得 x 1或 x 7
2
73 ． 6 分
所以交点个数为 3，横坐标分别为 1， 7
2
73 ， 7
2
73 ． 7 分
2
联立
y2
y 6 1 ，消去 y ，可得 kx3 k 2 4 x2 5kx 0 ，即 x x2 k 4 x 5 0 ．
k
y kx 2

… 8 分
于是 x 0 或 x2 k 4 x 5 0 ，方程 x2 k 4 x 5 的两个根的乘积是 5 0 ，由此可知 x 0 ，
k k 1

k 2 4
x 0 ， x 0 ，且 x1 x3 k ． 10 分
2 3
x x 5
x1 ． 11 分
x3
又因为 x1x3 5 ，所以
5 ． 12 分
3
4
因为 x 是方程 x2
k x 5 的正根，所以 x
k 3
k

2
． 13 分

设t k 4 ，则t 4 ，于是 x 10
． 15 分
k
设 f t
t ，则 f t
2
t 1 0 ，所以 f t 在 4, 单调递增，所以 f t
min
10 ，
所以 x3 1 ．… 16 分
所以
的最小值为 5． 17 分
数学答案 第5页（共5页）