石家庄市2026届高三第一学期开学收心考试
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上指定位置，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x｜x2≤1}，则A∩B＝
A．{－1，0，1} B．{0，1}
C．{－1，1} D．{0，1，2}
2．已知函数，下列结论正确的是
A．函数的减区间
B．函数在上单调递减
C．函数在上单调递增
D．函数的增区间是
3．函数的值域为
A． B．
C． D．
4．已知函数.下列区间中包含的零点的是
A． B． C． D．
5．设为偶函数，当时，则使的x取值范围是
A． B．
C．或 D．或
6．集合，，则
A． B． C． D．
7．设a=0.035,b=2.25(e0.01-1),c=4ln 1.01,则a,b,c的大小关系是
A．a
C．b8．已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是
A．、都是p的充分条件 B．只有是p的充分条件
C．只有是p的充分条件 D．、都不是p的充分条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设为复数，则下列结论正确的有
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．已知，则下列不等式恒成立的有
A． B．
C． D．
11．已知是定义在上的奇函数，.若，则
A．是周期函数
B．当为偶数时，
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知幂函数的图象经过点，则的值为 .
13．有下列命题：
①所有的素数都是奇数；②是无理数，是无理数；
③是无理数，是无理数；④至少有一个整数，是4的倍数.
其中，真命题有 .（填序号）
14．已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）已知二次函数满足，且，求的解析式；
（2）已知是上的奇函数，当时，，求的解析式.
16．已知函数，为的导函数.
（1）证明：在内存在唯一零点.
（2）当时，，求的取值范围.
17．已知函数．
(1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值；
(2)当时，证明：．
18．已知.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，，证明：.
19．已知定义在上的偶函数和奇函数,且.
（1）求函数,的解析式；
（2）设函数,记（,）.探究是否存在正整数,使得对任意的,不等式恒成立？若存在,求出所有满足条件的正整数的值；若不存在,请说明理由.
参考结论：设均为常数,函数的图象关于点对称的充要条件是.石家庄市2026届高三第一学期开学收心考试数学
数学答案
1.A 2.C 3.C 4.D 5.C 6.C 7.D 8.A
9.AB 10.BC 11.ABD
12． 13．③ 14．
15．（1）设二次函数，代入和，
得，化简得，
所以，，，所以 .
（2）设，则,所以，
又因为函数为奇函数，所以，所以，
当时，由，所以．
所以．
16．（1）证明：因为，
所以.
记，
则.
当时，；
当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增.
因为，，，
所以存在唯一，使得，
即在内存在唯一零点.
解：由（1）可知当时，；
当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为当时，恒成立，
则至少满足，，
即，
①当时，，，满足；
②当时，，而，满足.
即当时，都有.
又当，时，，
从而当时，对一切恒成立.
故的取值范围为.
17．（1）函数的定义域为，，所以，
又，
所以在处的切线方程为，
将点代入得，解得．
（2），设，则，
因为，所以当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增；
时，，即，
，，
所以当时，.
，，
所以存在唯一的，使得，即，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值，
所以，
因为，所以，故，
则，得证．
18．(1)当时，，
，
则当，即时，，
当，即时，，
故的单调递减区间为，，单调递增区间为；
(2)，令，即，
令，，则，是方程的两个正根，
则，即，
有，，即，
则
，
要证，即证，
令，
则，
令，则，
则在上单调递减，
又，，
故存在，使，即，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，
又，则，故，
即，即.
19．（1）∵,
∴.
又为偶函数,为奇函数,
∴,
,
∴,.
（2）存在满足条件的正整数n.
由题意可知：为奇函数,其图象关于中心对称,
∴函数的图象关于点中心对称,
即对,.
∵,
∴.
两式相加,得
即.
∴.
由,
得,.
∵,
∴,
由此可得恒成立.
即对任意的恒成立.
令,,,则,
,,且,
则
∵,,∴.
则在上单调递增,
∴在上单调递增,
∴
∴.
又由已知,,
∴