湖南省（平江）2025-2026学年高一上学期入学学科素养测试数学试题(含部分答案)

2025级高一新生学科素养测试
数学试题
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 关于的不等式的解集为，则的值为（　　）
A B. C. D.
2. 关于的方程的解不大于3，则的取值范围为（ ）
A. B. C. 且 D. 且
3. 已知，则的值是（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
4. 已知均为正整数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
5. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的等和点．已知：点，如，都是点的等和点．若点在直线上，点的等和点也是点的等和点，则点的坐标（ ）
A. B. C. D.
7. 对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
⑤存在实数，使得；
其中正确的（ ）
A. 只有①②④ B. 只有①②④⑤ C. ①②③④⑤ D. 只有①②③
8. 如图，在正方形中，点、为边和上动点（不含端点），下列三个结论：
①当时，则；
②；
③的周长不变．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．
9. 已知，则______．
10. 分解因式：______．
11. 若，则的值为__________.
12. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围______.
13. 若，，用含的代数式表示，则______．
14. 如图所示，矩形ABCD顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k＝_____．
15. 如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长等于______．
16. 关于的方程有两个不相等的实根，若，则的最大值是______．
三、解答题：本题共5小题，共50分（12+14+14+14+16=70）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）化简：．
（2）解不等式：．
18. 函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．
（1）求g(t)的解析式；
（2）求g(t)最大值．
19. 求和
（1）计算：；
（2）；
（3）求证：．
20. 如图，为的直径，点在的延长线上，点在上，过点作直线的垂线，垂足为，并且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
21. 如图1，已知抛物线经过三点，其顶点为，对称轴是直线与轴交于点.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点是该抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值；
（3）如图2，若是线段上的一个动点（与不重合），过点作平行于轴的直线交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为，四边形的面积为.
①求与的函数关系式；
②是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点坐标，若不存在，请说明理由．
2025级高一新生学科素养测试
数学试题
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】；
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】1
【16题答案】
【答案】
三、解答题：本题共5小题，共50分（12+14+14+14+16=70）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【17题答案】
【答案】（1）；（2）或
【18题答案】
【答案】（1）g(t)＝；（2）3.
【19题答案】
【答案】（1）111105
（2）
（3）证明见解析
【20题答案】
【答案】（1）相切，理由见解析；
（2）
【21题答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）①；②存在，最大值为7，此时点.