计数原理与概率统计练习—2026届高考数学一轮复习（含解析）

计数原理与概率统计
1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( ).
A.至多一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都没有中靶
2.为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数( ).
A.一定为 B.高于 C.低于 D.约为
3.设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则( ).
A.， B.，
C.， D.，
4.变量x和y满足关系，且变量y与z正相关.则( ).
A.x与y负相关，x与z负相关 B.x与y正相关，x与z正相关
C.x与y正相关，x与z负相关 D.x与y负相关，x与z正相关
5.已知，.
（1）如果，那么___________，___________；
（2）如果A，B互斥，那么___________，___________.
6.填空题
（1）一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是___________；
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，则从A村经B村去C村，不同路线的条数是___________.
7.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图.
（1）直方图中x的值为__________；
（2）在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为__________.
8.从10名学生中选出3人担任课代表，则甲、乙两人中至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法共有多少种？
9.掷红、蓝两个均匀的骰子，设A：蓝色骰子的点数为1或2，B：两骰子的点数之和小于5，求与.
10.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
11.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )．
A.种 B.种
C.种 D.种
12.样本数据2，8，14，16，20的平均数为( )
A.8 B.9 C.12 D.18
13.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
14.从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，则第二个数是7的概率为( )
A. B. C. D.
15.有两户四口之家（父亲、母亲和两个孩子）要乘坐3艘不同的小船游玩，每艘小船至多坐三人，要求孩子必须与自己的父亲或母亲同船，则不同的乘坐方案共有( )
A.20种 B.72种 C.96种 D.120种
（多选）16.有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则( )
A.，，，的平均数等于，，…，的平均数
B.，，，的中位数等于，，…，的中位数
C.，，，的标准差不小于，，…，的标准差
D.，，，的极差不大于，，…，的极差
（多选）17.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则( )
（若随机变量Z服从正态分布，）
A. B.
C. D.
18.的展开式中的系数为________（用数字作答）.
19.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为__________.
20.已知随机变量X服从正态分布，且，则__________.
参考答案
1.答案：D
解析：对于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条件；
对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；
对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满足条件；
对于D，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.故选：D.
2.答案：D
解析：样本平均数是对总体平均数的一种估计，它们之间没有确定的大小关系，所以ABC均错误，故选：D.
3.答案：A
解析：，，，由第一图瘦高，第二图矮胖知.故选：A.
4.答案：A
解析：x与y负相关，x与z负相关. 故选：A.
5.答案：（1）0.5；0.3
（2）0.8；0
解析：（1）如果，那么，，所以，.
（2）如果A，B互斥，那么，所以，，
故答案为：（1）0.5；0.3；（2）0.8；0.
6.答案：（1）9
（2）6
解析：（1）完成这项工作使用2种方法都可以，从只会用第一种方法的5人或者从只会用第二种方法的4人中选出1人即可完成这项工作，
根据分类加法计数原理，共有种选法.
（2）从A村经B村到C村，需要分2步完成：
第一步，从A村到B村，有3条道路；
第二步，从B村到C村，有2条道路，
根据分步乘法计数原理，共有条不同路线.
7.答案：（1）0.0044
（2）70
解析：（1）由，得；
（2）户数为.
故答案为：0.0044；70.
8.答案：294种
解析：第一类：甲、乙只选一人，有种方法；
第二类：甲、乙都入选，有种方法.
所以一共有294种方法.
9.答案：，
解析：.
由，，，知，其中.
所以，.
10.答案：B
解析：先排乙、丙、丁、戊4名同学，有种排列方式，再利用插空法选甲的位置，有种选法，故不同的排列方式有种.故选B.
11.答案：D
解析：根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.故选：D.
12.答案：C
解析：，故选C.
13.答案：D
解析：解法一：从2至8的7个整数中任取两个数共有种取法，若取的两数互质，则不同的取法有，，，，，，，，，，，，，，共14种，所以从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为.故选D.
解法二：从2至8的7个整数中任取2个数共有种取法，
2个数不互质的情况有两类：（1）从4个偶数中任取2个，有种取法；（2）从偶数和奇数中各取一个，有这1种取法，所以2个数不互质的取法有7种，所以取2个数互质的概率为.故选D.
14.答案：D
解析：任取4个不同的数，且从大到小排列可得所有的情况有种，
第2个数为7的情况有，故概率为，故选：D
15.答案：D
解析：由题可得不同家庭的两个孩子不能在同一条船上，则同一家庭两个孩子在同一条船上或有一个家庭的两名孩子在两条不同船上.若两户家庭孩子均在同一船上，则有种方法，再分别从两户家庭中选择一个大人安排进相应船上，有4种方法，则剩下的两名家长坐第3条船，有1种方法，则此种情况共有种乘坐方案；若同一家庭中有孩子在不同船上，则先选择家庭有2种情况，再选择船有种情况，则剩下的那两个孩子安排到第三条船，有1种方法，对于孩子在不同船上的家庭，安排父母有2种方法，对于孩子在同一条船上的家庭，安排一大人与孩子同乘有2种情况，再安排剩下的家长选择其余两船坐下，有2种情况，则此种情况下有种乘坐方案；故满足题意的乘坐方案有种，故选：D
16.答案：BD
解析：对于选项A：，不确定，，，…，的平均数不确定，如1，2，2，2，2，4的平均数不等于2，2，2，2的平均数，故A错误；
对于选项B：不妨设，则，，，的中位数为，，，，，，的中位数为，故B正确；
对于选项C：，，，，，的波动性不小于，，，的波动性，，，，的标准差不大于，，，，，的标准差，故C错误；
对于选项D：不妨设，则，，即，，，的极差不大于，，，，，的极差，故D正确.故选BD.
17.答案：BC
解析：依题可知，，，所以，故，C正确，D错误；
因为，所以，因为，所以，
而，B正确，A错误，故选：BC.
18.答案：-28
解析：展开式的通项，.令，得，令，得，所以的展开式中的系数为.
19.答案：
解析：解法一：甲出1一定输，所以甲最多得3分，则甲的总得分不小于2，即甲得2分或3分.甲要得3分，就只有1种组合，，，.甲得2分有三种情况，分别列举如下：①出3和出5时赢，其余输，则有如下组合：，，，，共1种.②出3和出7时赢，其余输，则有如下组合：，，，；，，，；，，，，共3种.③出5和出7时赢，其余输，则有如下组合：，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，，共7种.综上，共12种组合满足甲的总得分不小于2，而所有组合为4!种，所以甲的总得分不小于2的概率为.
解法二：若甲总得分小于2，则甲得0分或1分，记甲、乙所选卡片数字大小为有序数对，可固定甲卡片数字顺序为1，3，5，7，然后将乙所选卡片数字进行全排列，共种，
甲得0分时，一定是，，，，
甲得1分时，符合条件的有
①，，，，
②，，，，
③，，，，
④，，，，
⑤，，，，
⑥，，，，
⑦，，，，
⑧，，，，
⑨，，，，
⑩，，，，
，，，，共11种.
综上，符合条件的共12种，所以甲总得分不小于2的概率为.
20.答案：0.14
解析：随机变量X的均值为2，所以由对称性，可得，因此.