素养提升小题训练13：离心率
（高考第T7、T8、T10、T11、T14）
单选题
1.（四川省攀枝花市2025届高三第三次统一考试T8） 已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
2.（重庆市巴蜀中学2026届高三上学期第一次适应性考试T8）已知双曲线，右焦点，过点且斜率为的直线交于、两点，且，则的离心率为( )
A． B． C． D．
3.(四川省成都市2025届二诊T7) 已知双曲线右焦点为，若关于直线的对称点在上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线：交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
多选题
7.（黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期三模T11） 在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转，即得“斜椭圆”，设在上，则（ ）
A. “斜椭圆”的焦点所在直线的方程为 B. 的离心率为
C. 旋转前的椭圆标准方程为 D.
8. 已知双曲线的左，右焦点为，记，则下列结论中正确的是（）
A. 若，则曲线的离心率
B. 若以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切
C. 直线与双曲线相切于一点
D. 若为直线上纵坐标不为0的一点，则当的纵坐标为时，外接圆的面积最小
三、填空题
9. 已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为______.
10.（天津市滨海新区2024-2025学年高三下学期第三次模拟检测T8改） 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为关于渐近线的对称点.若，且的面积为4，则的方程为
11.古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为2，侧面积均为，记过两个圆锥轴的截面为平面，平面与两个圆锥侧面的交线为．已知平面平行于平面，平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且的两条渐近线分别平行于，则该双曲线的离心率为 ．
12.（江西省宜春市2025届高三下学期二模T14） 已知椭圆的左右焦点分别为，，且该椭圆与抛物线相交于不同的两点，，且四边形的外接圆直径为，若，则该椭圆的离心率的取值范围是________.素养提升小题训练13：离心率
（高考第T7、T8、T10、T11、T14）
单选题
1.（四川省攀枝花市2025届高三第三次统一考试T8） 已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由图可知，，
根据，可设，
则，所以，
由三角形中余弦定理得:,
根据直角三角形有：，
代入上式可得：，故选：B
2.（重庆市巴蜀中学2026届高三上学期第一次适应性考试T8）已知双曲线，右焦点，过点且斜率为的直线交于、两点，且，则的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∴，故，解得
3.(四川省成都市2025届二诊T7) 已知双曲线右焦点为，若关于直线的对称点在上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，
因为关于直线的对称点为，
所以
解得
因为点在上，所以
或（舍），
故选：A
4. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线：交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，线段的中点为，
又为椭圆上两点，则，
以上两式相减得，
即，
所以，即，
因为，所以，
由三角形重心的性质知，又，
则，解得，即，
所以，化简得，
即，即，解得或，
又，所以，即，从而，
则椭圆的离心率为．
故选：B．
5. 已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可知，设，则，,,
则由余弦定理可得
化简可得，故，（舍去），又,
所以，化简可得，故，
故选：D
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，依题意可设，
所以，则，
故，
化简得,
又，
所以，
因为，点在双曲线上，且，
所以在双曲线的右支上，
所以，
则，解得，
所以坐标为，
代入双曲线方程中，得，解得，
故所求渐近线的方程为.
故选：B.
多选题
7.（黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期三模T11） 在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转，即得“斜椭圆”，设在上，则（ ）
A. “斜椭圆”的焦点所在直线的方程为
B. 的离心率为
C. 旋转前的椭圆标准方程为
D.
【答案】BCD
【解析】由题意可知，斜椭圆关于和对称，联立直线与，可得，联立直线与，可得，所以两焦点所在直线方程为，A选项错误；
由可知，与相交的两点之间距离等于短轴为，与相交的两点之间距离等于长轴为，故焦距为，故的离心率为，选项正确；
旋转不改变椭圆的长短轴大小，所以旋转前的椭圆焦点在轴上，曲线方程为选项正确；
因为，关于的方程有解，所以，解得，所以选项正确，
故选：BCD．
8. 已知双曲线的左，右焦点为，记，则下列结论中正确的是（）
A. 若，则曲线的离心率
B. 若以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切
C. 直线与双曲线相切于一点
D. 若为直线上纵坐标不为0的一点，则当的纵坐标为时，外接圆的面积最小
【答案】ABD
【解析】对于A，若，则，则，
故曲线的离心率，故A正确；
对于B，曲线的渐近线为，，，
以为圆心，为半径的圆为，
圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
所以以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切，故B正确；
对于C，因为直线与双曲线的渐近线平行，
所以直线与双曲线相交，且交点只有一个，故C错误；
对于D，由正弦定理可知外接圆的半径，
所以当最大，即时，最小，
而，
设，
由，可得，
即，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
9. 已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为______.
【答案】
【解析】设椭圆右焦点为，连接，如下图所示：
由圆：可知圆心，半径；
显然，且，
因此可得，所以，可得；
即可得，又易知；
由余弦定理可得，
解得，
再由椭圆定义可得，即，
因此离心率.
故答案为：
10.（天津市滨海新区2024-2025学年高三下学期第三次模拟检测T8改） 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为关于渐近线的对称点.若，且的面积为4，则的方程为
【答案】
【解析】依题意，不妨设点为关于渐近线的对称点，
则直线垂直平分线段，设渐近线与的交点为，
则N为的中点，，
又为的中点，所以，
因为，即，所以，则，
因为面积为4，
所以，则，
在中，，即，
渐近线可化为，，
所以，
所以，故双曲线的方程为.
11.古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为2，侧面积均为，记过两个圆锥轴的截面为平面，平面与两个圆锥侧面的交线为．已知平面平行于平面，平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且的两条渐近线分别平行于，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】以矩形的中心为原点，圆锥的轴为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为，由圆锥的底面直径为2，侧面积为，得，
显然，即，
所以双曲线的离心率.
故答案为：
12.（江西省宜春市2025届高三下学期二模T14） 已知椭圆的左右焦点分别为，，且该椭圆与抛物线相交于不同的两点，，且四边形的外接圆直径为，若，则该椭圆的离心率的取值范围是________.
【答案】
【解析】如图，由椭圆与抛物线的对称性知点关于y轴对称，
四边形是等腰梯形，易知四边形的外接圆就是的外接圆，
设四边形的外接圆半径为.
在中，由正弦定理知，
记椭圆的上顶点为，坐标原点为，
易知，又，则，，
，即为锐角，
，
又
又，，则，
所以，
所以，则，即，
则椭圆的离心率的取值范围是.
故答案为：
