素养提升小题训练25：新定义问题（高考第T7、T8、T10、T11、T14）
一、单选题
1. (上海市浦东新区2025届高三下学期二模T16) 已知圆锥曲线对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题
【答案】A
【解析】判断命题①：已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接.
根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件.
当与圆相交时，因为圆圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确.
判断命题②：
当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，.
由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确.
故选：A.
2.我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，则，
令，则，如图，作出函数的图象，
由图可知函数的图象有两个交点，
即函数有两个零点，且，
令，则或，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为.
对于A，函数在上单调递减，在单调递增，
所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符；
对于B，函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符；
对于C，，
当或时，，当时，，
所以函数的极大值点为，极小值点为，故C选项符合题意；
对于D，，
则函数的极小值点为，极大值点为，故D选项不符.
故选：C.
3.定义平面斜坐标系，记分别为轴 轴正方向上的单位向量-若平面上任意一点的坐标满足：，则记向量的坐标为，给出下列四个命题，正确的选项是（ ）
A．若，则
B．若，以为圆心 半径为1的圆的斜坐标方程为
C．若，则
D．若，记斜平面内直线的方程为，则在平面直角坐标系下点到直线的距离为
【答案】B
【解析】对于A：若，
则；
因为，所以，错误；
对于B：设以为圆心 半径为1的圆上任意一点为，因为，
所以，得，
即，正确；
对于C：，则，
即
， ，错误；
对于D：由于，斜平面内直线的方程为，
在l上取 两点， ，过原点O作l的垂线，垂足为 ， ，
则有 ， ， ，
其中： ，解得 ， ， ，错误；
故选：B.
4. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记函数，首先证明其凹凸性：
，
在上为“凹函数”.
由琴生不等式，得，
即
所以，
即当时，取最小值，所以.
故选：B.
二、多选题
5. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为.和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ）
A. B.
C. ，其中 D. 函数的最小值为
【答案】ABC
【解析】对于选项A：构建，则为的零点，
因为，若，则，可知在内单调递减，且，所以在内无零点；
若，则，可知在内单调递增，
且，所以在内存在唯一零点；综上所述：，故A正确；
对于选项B：因为，，即，
两边取对数可得：，故B正确；
对于选项C：设，则，整理得，即，
可得，所以，即，故C正确；
对于选项D：构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，可得，当且仅当时，等号成立，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
因为在内单调递减，
可知在内单调递减，且，
可知在内存在唯一零点，即，
所以的最小值为，不为，故D错误；
故选：ABC.
6.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法不正确的是（ ）
可看作一个定义域和值域均为的函数
在其定义域上不单调，有最小值，有最大值
C．对任意正整数，都有
D．
【答案】ABD
【解析】依题意，的定义域是大于1的正整数集，A错误；
由，得在其定义域上不单调，
而，，则有最小值1，
由经过有限次角谷运算均无法得到1，记，得无最大值，B错误；
对任意正整数，，而，因此，C正确；
由，知不正确，D错误.
故选：ABD
7. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
B.
C. 函数的值域为 D.
【答案】ACD
【详解】对于A，，定义域为，，
所以为奇函数，，定义域，，
所以为偶函数，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：，，
，所以，，
所以，C选项正确；
对于D：因，所以在上单调递增，
设，，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，所以，即，
所以，，故D正确；
故选：ACD.
8. 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（ ）
A. 序列是需要交换3次的序列 B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对A，序列，比较，无需交换位置，比较，需要交换1次位置，得到新序列，比较，无需交换位置，最后比较，需要交换1次位置，得到新序列，完成冒泡排序，共需要交换2次，故A错误；
对B，不妨设序列的n个元素为，交换次数最多的序列为，将元素n冒泡到最右侧，需交换次次，
将元素n-1冒泡到最右侧，需交换次次，，
故共需要，
即最大交换次数，故B正确；
对C，只要交换1次的序列是将中的任意相邻两个数字调换位置的序列，故有个这样的序列，即，故C正确；
对D，当n个元素的序列顺序确定后，将元素n+1添加进原序列，
使得新序列（共n+1个元素）交换次数也是2，
则元素n+1在新序列的位置只能是最后三个位置，若元素n+1在新序列的最后一个位置，
则不会增加交换次数，故原序列交换次数为2（这样的序列有个），
若元素n+1在新序列的倒数第二个位置，则会增加1次交换，
故原序列交换次数为1（这样的序列有个），
若元素n+1在新序列的倒数第三个位置，则会增加2次交换，故原序列交换次数为0（这样的序列有1个），因此，，
所以，显然，
所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
9.2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线）.现用一个垂直于母线的平面去截一个等边圆锥（轴截面为等边三角形），则所得的圆锥曲线的离心率为_______.
【答案】
【解析】如图是等边三角形，设棱长为12，不妨过点作垂直于母线的平面，得到截面曲线为椭圆，截面过的中点，则椭圆长轴长，取线段的中点，连接并延长交于点，过作交底面圆于点，连接分别交椭圆于点，则椭圆短轴长，且，取中点，连接，则，，
因此，即，显然是线段的两个3等分点，
即，由相交弦定理得，解得，
于是，，
所以椭圆的离心率.
故答案为：
10． 已知全集，集合是的非空子集，且 ，定义为中的一对“子群”关系，则满足这种“子群”关系的共有________个．
【答案】
【解析】因为，集合是的非空子集， ，
若中有个元素，此时符合条件的集合有个，又中有个元素时，集合的非空真子集个数有个，
若若中有个元素，此时符合条件的集合有个，又中有个元素时，集合的非空真子集个数有个，
若中有个元素，此时符合条件的集合有个，又中有个元素时，集合的非空真子集个数有个，
若中有个元素，此时符合条件的集合有个，又中有个元素时，集合的非空真子集个数有个，
所以满足条件的共有，
故答案为：.
11.二项展开式，两边对求导，得，令， 可得，类比上述方法，则 ．
【答案】
【解析】，
两边对求导，左边右边
令，
．故答案为：
12. 项数为的数列满足，当且仅当时（其中，规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________．
【答案】##
【解析】由题意，因为项数为6且，
所以每一项都有两种选择，根据分布乘法计数原理，
可构成的数列个数为个，
由题意，若为“好数列”，则意味着若，其前一项与后一项相等，
①则若中没有0，则数列为，不符合题意，
②若中有1个0，不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意，
③若中有2个0，则，，符合“好数列”定义；
④若中有3个及以上0，若0相邻，根据定义，数列只能为，
若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1，不符合题意，
综上，符合题意的“好数列”只有4个，
所以数列是“好数列”的概率为.
故答案为：
13. 对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.则曲线的最小覆盖圆的半径为__________.
【答案】
【解析】因为把换成，方程不变，所以曲线关于轴对称；因为把换成，方程不变，所以曲线关于轴对称；因为把换成，同时把换成，方程不变，
所以曲线关于坐标原点对称；
因为把换成，同时把换成，方程不变，
所以曲线关于直线对称，
因此最小覆盖圆圆心必在坐标原点，从而最小覆盖圆的半径为曲线上点到原点距离最大值，
，（当且仅当时取等号）
因此最小覆盖圆的半径为
故答案为：
14. 三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质1：的面积；
性质2：对于内任意一点P，有；
性质3：内存在唯一一点P，使得．这个点P称为的“勃罗卡点”，角α称为的“勃罗卡角”．
若的三边长分别为1，1，，根据以上性质，可以计算出的“勃罗卡角”的正切值为_______．
【答案】
【解析】
因为的三边长分别为1，1，，不妨设,如上图，
由余弦定理得,得，
故,在中,,
用正弦定理得,得到，
在中，,
用正弦定理得,
得到，
用差角的正弦公式得：，
得，故答案为：
15. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．函数有______个不动点．
【答案】1
【解析】令，即，
由题意可知即求函数的零点个数，
当时，，此时不存在零点；
当时，，此时不存在零点；
当时，，
令，，因为，解得：，
令，，因为，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
故在上有且仅有一个零点，
综上所述，仅有一个不动点．
故答案为：1.素养提升小题训练25：新定义问题（高考第T7、T8、T10、T11、T14）
一、单选题
1. (上海市浦东新区2025届高三下学期二模T16) 已知圆锥曲线对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题
2.我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ）
A. B. C. D.
3.定义平面斜坐标系，记分别为轴 轴正方向上的单位向量-若平面上任意一点的坐标满足：，则记向量的坐标为，给出下列四个命题，正确的选项是（ ）
A．若，则
B．若，以为圆心 半径为1的圆的斜坐标方程为
C．若，则
D．若，记斜平面内直线的方程为，则在平面直角坐标系下点到直线的距离为
4. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
5. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为.和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ）
A. B.
C. ，其中 D. 函数的最小值为
6.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法不正确的是（ ）
可看作一个定义域和值域均为的函数
在其定义域上不单调，有最小值，有最大值
C．对任意正整数，都有
D．
7. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
B.
C. 函数的值域为 D.
8. 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（ ）
A. 序列是需要交换3次的序列 B.
C. D.
三、填空题
9.2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线）.现用一个垂直于母线的平面去截一个等边圆锥（轴截面为等边三角形），则所得的圆锥曲线的离心率为_______.
10． 已知全集，集合是的非空子集，且 ，定义为中的一对“子群”关系，则满足这种“子群”关系的共有________个．
11.二项展开式，两边对求导，得，令， 可得，类比上述方法，则 ．
12. 项数为的数列满足，当且仅当时（其中，规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________．
13. 对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.则曲线的最小覆盖圆的半径为__________.
14. 三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质1：的面积；
性质2：对于内任意一点P，有；
性质3：内存在唯一一点P，使得．这个点P称为的“勃罗卡点”，角α称为的“勃罗卡角”．
若的三边长分别为1，1，，根据以上性质，可以计算出的“勃罗卡角”的正切值为_______．
15. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．函数有______个不动点．
