素养提升小题专项训练22：利用导数研究存在与恒成立问题
高考第T7、T8、T10、T11、T14）
一.单选题
1. 已知函数，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A B. C. D.
3．若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
4.已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
5. 已知函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.
D. 若，则的取值范围为
6. 已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（ ）
A. B. C. 1 D.
三、填空题
7. ，，则的取值为________.
8. 若恒成立，则实数______．
9.已知函数，，若恒成立，则的最小值为 ．
10. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________.
11.已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为 .素养提升小题专项训练22：利用导数研究存在与恒成立问题
高考第T7、T8、T10、T11、T14）
一.单选题
1. 已知函数，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，，符合题意；
当时，存在，使得，即，显然不满足题意；
当时，由得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，
由得，
设，则，
所以在上单调递减，又，所以，
综上，，即的取值范围是.
故选：B
2. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式可化为，，又，
所以，故，
由已知不等式在上恒成立，
因为有意义，故，又，所以，
当时，不等式恒成立，
设，，则，
因为，所以，所以函数在上单调递增，
所以，故，
令，则，
令，可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，
故，所以，所以的取值范围为故选：C.
3．若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】由两边取对数可得①，
令则，因为，所以，
则①可转化得， 因为，
因为存在，使得关于的不等式成立，
所以存在，成立，故求的最小值即可，
令
，
令，，
令，，
所以在上单调递减，所以，
，所以在上单调递减，所以
在上单调递减，，
，所以实数的最小值为
故选：D
4.已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为恒成立，所以和有两个相同正根.对于方程，两边同乘得.
由一元二次方程性质，有两个不同正根，则，且，.
由可得，可得.
根据对数运算法则，所以，即.
令，对求导，.
令，即，解得.
当时，，递增；
当时，，递减.
所以在处取最大值，.
综上， 最大值为.
故选：B.
二、多选题
5. （重庆市部分区县2025届高三下学期5月三诊T11） 已知函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.
D. 若，则的取值范围为
【答案】ACD
【详解】对于选项AB：因为，可知有2个不同实根，
则，且，即，故A正确，B错误；
对于选项C：可得，故C正确；
对于选项D：因为，
构建
若，即，即，
且，则，
可得，解得，
所以的取值范围为.
故选：ACD.
6. 已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】ACD
【解析】因为，所以，
所以可化为，
即；令，
则有对于定义域内任意，都有，
所以在上单调递减，所以在上，；
因为，所以，即，
因为，所以，即；
令，，当时，解得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
可化为，，因为所以；
由，可知当时，，当时，，
根据在上的单调性以及的正负情况，
有：若，则在上恒成立，所以，
即在上恒成立；令，则，
，解得，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递增减，
所以时，取得最大值，，所以；
因为，，均满足题意，不合题意，所以ACD正确，B错误.
故选：ACD.
三、填空题
7. ，，则的取值为________.
【答案】1
【解析】根据题意，，定义域为，
当时，，则，
令，则，令，则，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，则时，，即，与题意不符；
当时，，根据对数函数的图像特点，易知，当时，，即，与题意不符；
当时，则且，或且，
又在上单调递增，，
所以时，；时，；
所以时，，时，；
又为增函数，所以.
故答案为：1.
8. 若恒成立，则实数______．
【答案】##
【解析】因为恒成立，即恒成立，即恒成立，
设，则恒成立，
又，则在上单调递增，
可得恒成立，即恒成立，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即恒成立（当且仅当时取等号），
所以，解得故答案为：
9.（重庆市巴蜀中学2026届高三上学期第一次适应性考试T14）已知函数，，若恒成立，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】①当时，则不能恒成立
②当时，，，，故要恒成立
需满足，即，故
10. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】结合解析式可知当时，；当时，.
因为，所以.令，得，则，
故.令，则，
令得；令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
因为，所以.
所以的取值范围为.
故答案为：
11. （广东省广州市天河区2025届高三综合测试（二）T14）已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】由得，设，，则，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；所以.
且当时，；当时，，
故的值域为；
设，，则，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；所以，
且当时，；当时，，
故的值域为；依题意，的值域是的值域的子集.
显然，若，则的值域为，不合题意，舍去；
若，则的值域，
则需的值域，则，解得.
综上，实数a的取值范围为.
