1.1.2空间向量基本定理 分层练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.1.2　空间向量基本定理
基础过关练
题组一　共线向量基本定理及其应用
1.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　)
A.A,B,D　　　　B.A,B,C
C.B,C,D　　　　D.A,C,D
2.已知向量a,b,c不共面,e=3a-tb-c,d=
-2ta+6b+2c,若e与d共线,则实数t的值为(　　)
A.-3　　　　B.1　　　　C.3　　　　D.-3或3
3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,P为空间内一点,且=λ+μ,λ,μ∈[0,1],则下列说法错误的是(　　)
A.当λ=0时,点P在棱BB1上
B.当λ=μ时,点P在线段B1C上
C.当μ=1时,点P在棱B1C1上
D.当λ+μ=1时,点P在线段B1C上
题组二　共面向量定理及其应用
4.(多选题)已知空间向量a,b,c不共面,则下列各选项中的三个向量共面的有(　　)
A.a-b,b-c,c-a
B.a+b,b+c,c+a
C.a+b,a+c,b-c
D.a-2b+c,-a+3b+2c,-3a+7b
5.已知O为空间内任意一点,=-++t,若A,B,C,P四点共面,则实数t=(　　)
A.1　　　　B.　　　　
C.　　　　D.
6.(多选题)若三棱锥M-ABC的体积是三棱锥P-ABC体积的,且=λ-2+3,则λ的值可能为(　　)
A.　　　　B.　　　　
C.-　　　　D.-
7.已知向量e1,e2,e3是三个不共面的非零向量,且a=2e1-e2+e3,b=
-e1+4e2-2e3,c=11e1+5e2+λe3,若向量a,b,c共面,则λ=　　　　.
8.如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.
(1)求证:A,E,C1,F四点共面;
(2)若=x+y+z,求x+y+z的值.
题组三　对空间向量基本定理的理解
9.(多选题)给出下列命题,其中正确的有(　　)
A.空间中任意三个向量都可以作为一组基底
B.若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间向量的一组基底,则a,b共线
C.基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}中的基向量对应相等
D.已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间向量的一组基底
10.若{a,b,c}是空间向量的一组基底,则下列能构成空间向量的另一组基底的是(　　)
A.b+c,a+c,a-b　　　　B.a+b+c,a+b,a+c
C.a-b+c,a-b,a+c　　　　D.2b-2c,a+b,a+c
题组四　空间向量基本定理的应用
11.在四面体O-ABC中,=a,=b,=c,G为△ABC的重心,P在OG上,且=,则用基底{a,b,c}表示向量=(　　)
A.-a+b+c　　　　B.-a+b+c
C.-a+b+c　　　　D.a-b-c
12.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M是棱CC1的中点,连接B1M,BC1交于点P,则=(　　)
A.-+　　　　B.-+
C.++　　　　D.-+
13.如图,在正四面体P-ABC中,M,N分别为PA,BC的中点,D是线段MN上一点,且ND=2DM,若=x+y+z(x,y,z∈R),则x+y+z的值为　　　　.
14.如图,在正四面体A-BCD中,M,N分别为棱BC,AB的中点,设=a,=b,=c,则与夹角的余弦值为　　　　.
15.如图,在四面体P-ABC中,PA⊥平面PBC,BC⊥平面PAB,D为PC的中点,=2.
(1)设=a,=b,=c,用a,b,c表示;
(2)已知||=||=||=1,求:
(i)||;
(ii)·.
能力提升练
题组一　共面向量定理的应用
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,M为空间中任意两点,如果=+7+6-4,那么点M在(　　)
A.平面BAD1内　　　　B.平面BA1D内
C.平面BA1D1内　　　　D.平面AB1C1内
2.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,=,=,=2,AC1与平面EFG交于点M,则=(　　)
A.　　　　B.　　　　
C.　　　　D.
3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,H分别在棱BB1,BC,BA上,且满足=,=,=,O是平面B1HN,平面ACM与平面B1BDD1的一个公共点,设=x+y+z,则x+y+3z=(　　)
A.2　　　　B.　　　　
C.　　　　D.
4.在正四棱锥P-ABCD中,=,=2,设平面AEF与直线PC交于点G,=λ,则λ=(　　)
A.　　　　B.　　　　
C.　　　　D.
题组二　空间向量基本定理的应用
5.已知正四面体P-ABC的棱长为1,动点M在平面ABC上运动,且=--+m,则·=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.2
6.如图,在三棱锥P-ABC中,G为△ABC的重心,点M在PG上,且PM=3MG,过点M任意作一个平面分别交棱PA,PB,PC于点D,E,F,若=m,=n,=t,则++=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　
C.4　　　　D.5
7.如图,在四面体B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,△ABD是等边三角形,AD=CD,AD⊥CD,M为AB的中点,N在侧面BCD上(包含边界),若=x+y+z(x,y,z∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.若x=,则MN∥平面ACD
B.若z=0,则MN⊥CD
C.当|MN|最小时,x=
D.当|MN|最大时,x=0
答案
基础过关练
1.A　因为+==2a+4b=2(a+2b)=2,所以A,B,D三点共线.
2.C　因为e与d共线,所以设e=λd,所以解得λ=-,t=3.
3.B　对于A,当λ=0时,=μ,μ∈[0,1],又与过同一点B,所以点P在棱BB1上,故A中说法正确.
对于B,连接BC1(图略),当λ=μ时,=λ(+),λ∈[0,1],即=λ,λ∈[0,1],即∥,又与过同一点B,所以点P在线段BC1上,故B中说法错误.
对于C,当μ=1时,=λ+,λ∈[0,1],所以λ=-,λ∈[0,1],所以=λ=λ,λ∈[0,1],即∥,又与过同一点B1,所以点P在棱B1C1上,故C中说法正确.
对于D,当λ+μ=1时,=λ+(1-λ),λ∈[0,1],所以-=λ-λ,λ∈[0,1],即=λ,λ∈[0,1],所以∥,又与过同一点B1,所以点P在线段B1C上,故D中说法正确.
4.ACD　对于A,因为a-b=-(b-c)-(c-a),所以a-b,b-c,c-a共面;
对于B,假设a+b,b+c,c+a共面,则存在λ,μ∈R,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c,所以无解,所以a+b,b+c,c+a不共面;
对于C,因为b-c=(a+b)-(a+c),所以a+b,a+c,b-c共面;
对于D,因为a-2b+c=(-a+3b+2c)-(-3a+7b),所以a-2b+c,
-a+3b+2c,-3a+7b共面.
5.C　因为=-++t,所以-=-++t,即=++t.
因为A,B,C,P四点共面,所以++t=1,解得t=.
6.AC　因为三棱锥M-ABC的体积是三棱锥P-ABC体积的,所以在平面ABC内存在一点Q,使得=或=.
如图①所示,当=时,=λ-2+3,所以=λ-3+.
因为点Q在平面ABC内,所以λ-3+=1,解得λ=-.
如图②所示,当=时,=λ-2+3,所以=λ-+.因为点Q在平面ABC内,所以λ-+=1,解得λ=.
综上,λ=±.
　　
7.答案　1
解析　因为向量a,b,c共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即11e1+5e2+λe3=(2m-n)e1+(-m+4n)·e2+(m-2n)e3,即
解得
8.解析　(1)证明:连接AC1,AC(图略),则=+=++=+++=(+)+(+)=+,又∵, ,过同一点A,∴A,E,C1,F四点共面.
(2)=-=+-(+) =+-- =
-++,
∴x=-1,y=1,z=,∴x+y+z=.
9.BD　空间中共面的三个向量不能作为一组基底,故A错误;两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间向量的一组基底,说明a,b与任何一个向量都共面,故a∥b,故B正确;空间向量的基底不唯一,只要是不共面的三个向量都可以作为一组基底,故C错误;{a,b,c}是空间向量的一组基底,即a,b,c不共面,由m=a+c知m,a,c共面,故b与m,a不共面,所以{a,b,m}是空间向量的一组基底,故D正确.
10.C　对于A,因为b+c=a+c-(a-b),所以b+c,a+c,a-b共面,所以b+c,a+c,a-b不能构成空间向量的一组基底.
对于B,因为a+b+c=a+b+a+c,所以a+b+c,a+b,a+c共面,所以a+b+c,a+b,a+c不能构成空间向量的一组基底.
对于C,假设存在实数m,n,使得a-b+c=m(a-b)+n(a+c)=(m+n)a-mb+nc,则无解,所以a-b+c,a-b,a+c不共面,所以{a-b+c,a-b,a+c}是空间向量的一组基底.
对于D,因为2b-2c=2[a+b-(a+c)],所以2b-2c,a+b,a+c共面,所以2b-2c,a+b,a+c不能构成空间向量的一组基底.
11.B　取BC的中点M,连接AM,OM.
因为=,所以P为OG的中点,所以=+=-+.
因为G为△ABC的重心,所以==(-)=.
所以=-+×=-++=-a+b+c.
12.B　在平行四边形BB1C1C中,因为M为CC1的中点,且BB1∥CC1,所以△C1PM∽△BPB1,所以==,所以==(+)=(+),所以=++=
-++(+)=-+.
13.答案　
解析　连接PN(图略).=+=+=+ (-)=++-=++,所以x=,y=z=,所以x+y+z=.
14.答案　-
解析　连接AM(图略),则=+=-+(+)=a+b-c,=-=-=a-b.
设正四面体的棱长为1.
易知|a|=|b|=|c|=1,a·b=a·c=b·c=,
则cos<,>=
===-.
15.解析　(1)连接BD,PE(图略),则=-=+--.
因为D为PC的中点,=2,
所以==-,=+=-+,
所以=+--
=--=a-b-c.
(2)因为PA⊥平面PBC,BC⊥平面PAB,且PB,BC 平面PBC,PB 平面PAB,
所以PA⊥PB,PA⊥BC,BC⊥PB,
所以·=·=·=0.
(i)由(1)知,=--,
所以||=
===.
(ii)易得=++=-++,=--,
所以·=(-++)·--=---+·+·-·=---=-.
能力提升练
1.C　因为=+7+6-4=++6-4=++6-4=+6(-)-4(-)=11-6-4,所以M,B,A1,D1四点共面,所以点M在平面BA1D1内.
2.A　设=λ(0<λ<1).易知=++=3+3+,所以=3λ+3λ+λ,又M,E,F,G四点共面,所以3λ+3λ+λ=1,解得λ=.
3.C　由题意可得=x+y+z=x+y+z=x+y+z.
∵O,A,C,M四点共面,O,H,N,B1四点共面,
∴∴x+y=,z=,
∴x+y+3z=+=.
4.D　连接AC(图略),则=+=++=+-+-=+-.
因为=,=2,所以=2,=,
所以=+2-.
又=λ,所以=,所以=+-.
因为A,E,F,G四点共面,所以+-=1,解得λ=.
5.C　因为动点M在平面ABC上运动,且,不共线,所以存在实数x,y,使得=x+y,
所以-=x(-)+y(-),即=(1-x-y)+x+y.
又=--+m,且,,不共面,
所以解得y=m=3,
所以=--+3.
由题意得·=·=·=,===1,
所以·=-(+-3)·(-)
=-(·+·-3·-·-·+3·)=-(1-3-1+3)·-+=0.
6.C　连接AG并延长,交BC于点H(图略),由题意知,{,,}可作为空间向量的一组基底,==(+)=+×=+×=+(-)+(-)=++.
连接DM.因为点D,E,F,M共面,所以存在唯一的实数对(λ,μ),使=λ+μ,即-=λ(-)+μ(-),所以=(1-λ-μ)+λ+μ=(1-λ-μ)m+λn+μt.
由空间向量基本定理,知=(1-λ-μ)m,=λn,=μt,所以++=4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4.
7.C　连接BN.因为N在侧面BCD上(包含边界),所以可设=λ+μ,λ,μ∈[0,1],λ+μ≤1,所以=+=+λ+μ=+λ(-)+μ(-)=+λ+μ.
又=x+y+z,所以且λ,μ∈[0,1],λ+μ≤1.
对于A,若x=-λ-μ=,则λ=μ=0,所以点N与点B重合,显然MN∩平面ACD=A,故A错误.
对于B,若z=μ=0,则=λ,λ∈[0,1],所以点N在线段BC上(包括端点).
因为AD⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,CD 平面ACD,所以CD⊥平面ABD,所以当且仅当点N与点B重合时,MN⊥CD,故B错误.
对于C,D,过M作ME⊥BD,垂足为E,则|BE|=|BM|·cos∠ABD=|BD|,|ME|=|BM|·sin∠ABD=|BD|.
连接NE,因为CD⊥平面ABD,ME 平面ABD,所以ME⊥CD,又ME⊥BD,BD∩CD=D,BD,CD 平面BCD,所以ME⊥平面BCD,又NE 平面BCD,所以ME⊥NE,所以|MN|==,显然当点N与点E重合时,|MN|最小,此时λ=0,μ=,所以y=0,z=,x=;当点N与点C重合时,|MN|最大,此时λ=1,μ=0,所以y=1,z=0,x=-,故C正确,D错误.