人教 A 版高中数学必修一第一章 集合与常用逻辑用语
第1.1节 《集合的概念》学案
学习目标
理解集合的本质含义，能准确判断给定对象能否构成集合，熟练掌握集合中元素的确定性、互异性、无序性三大特性，并能运用特性解决简单问题。
清晰区分元素与集合的 “属于” 和 “不属于” 关系，牢记常用数集（自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集）的专用符号及适用范围。
熟练掌握集合的两种表示方法 —— 列举法和描述法，能根据集合元素的特征选择最优表示方法，实现 “按需表达”。
知识梳理
集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为______（element），把一些元素组成的总体叫做______（set）。
集合中元素的特性：集合中的元素具有______（给定集合的元素必须是确定的，不能模棱两可）、（集合中的元素互不重复）、（集合中的元素没有先后顺序之分）。
元素与集合的关系：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a______集合 A，记作______；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a______集合 A，记作______。
常用数集及符号: 自然数集_____；正整数集：_____或_____；整数集：_____；有理数集：_____；实数集：_____。
列举法的定义:把集合的元素______出来，并用花括号 “{}” 括起来表示集合的方法叫做列举法（注意元素间用逗号分隔）。
描述法的定义: 用集合所含元素的______表示集合的方法称为描述法，一般形式为______，其中 “x” 是代表元素，“p (x)” 是元素 x 满足的共同条件。
概念辨析
1：（考查集合元素的特性）下列关于集合的说法中，错误的是（ ）
A. “著名的数学家” 可以构成一个集合
B. 集合与集合是同一个集合
C. 若集合，则和是集合 A 的元素，且集合 A 可表示为
D. 若，则的值为或
解析：选项 A：“著名的数学家” 不满足集合元素的确定性（什么样的数学家算 “著名” 没有明确标准 ），不能构成集合，A 错误。选项 B：集合中元素具有无序性，与元素完全相同，是同一个集合，B 正确。选项 C：集合元素具有互异性，相同元素不能重复出现，集合 ，解方程得或，应表示为，C 错误。选项 D：若，当时，，不满足互异性；当时，集合为，满足条件，所以a只能为0，D 错误。综上，故选 ACD。
2：（考查集合的表示方法与常用数集）下列关于集合表示方法及常用数集的说法中，错误的是（ ）
A.“大于 2 且小于 5 的整数组成的集合” 用列举法表示为，用描述法表示
为
集合表示直线上的所有点，而集合表示直线
上所有点的纵坐标
C. 自然数集包含，正整数集或不包含
D. 集合是偶数用描述法表示正确，若用列举法表示可写为，因此所有无限集都能用列举法表示
解析：选项 A，大于2且小于5的整数有3，4，用列举法表示为；用描述法表示集合时，需明确代表元素是整数，正确描述应为，原描述法没限定整数，错误。选项 B，集合代表元素是，表示直线上的所有点；集合代表元素是y，y的取值范围是，即表示直线上所有点的纵坐标，也就是实数集，该选项正确。选项 C，自然数集包含0和正整数；正整数集或 只包含正整数，不包含0，该选项正确。选项 D，列举法适用于元素个数有限的集合，对于无限集（如是偶数 ），无法一一列举出所有元素，虽然可写 “” ，但这只是示意，并非严格完整列举；实际上，无限集不能用列举法完整表示，该选项错误。综上，答案选
典例讲解
例 1：用列举法表示下列集合
（1）小于 10 的所有自然数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合。
解：（1）设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A，自然数是指 0，1，2，3，…，因此小于 10 的自然数为 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，故。
（2）设方程的所有实数根组成的集合为 B，由得，解得或，故。
注：集合中元素具有无序性，因此 A 还可表示为，B 还可表示为。
【变式训练1】
A 组（基础题）
1、用列举法表示 下列集合
（1）“小于 6 的所有正整数组成的集合”；
（2）“方程的所有实数根组成的集合”；
（3） “1~20 中所有能被 4 整除的自然数组成的集合”；
（4）“绝对值等于 3 的所有实数组成的集合”。
【解析】（1）“小于 6 的所有正整数组成的集合”正整数是大于0的整数，小于6的正整数有1、2、3、4、5 。所以该集合用列举法表示为 。
（2）“方程的所有实数根组成的集合”解方程，根据平方差公式，原方程可化为 。则或，解得或 。所以该集合用列举法表示为 。
（3）“1 - 20 中所有能被 4 整除的自然数组成的集合”能被4整除的数就是4的倍数，
在中，4的倍数有4、8、12、16、20 。所以该集合用列举法表示为 。
（4）“绝对值等于 3 的所有实数组成的集合”设实数为x，由，根据绝对值的定义，或 。所以该集合用列举法表示为 。
B 组（中档题）
1、用列举法表示 “方程组的所有解组成的集合”（提示：方程组的解是有序实数对）；
2、已知集合，且，求实数 a 的值，并列举法表示集合 M；
3、用列举法表示 “满足，且的所有奇数组成的集合”。
【解析】解方程组，由得，代入，得，即，则 。所以解集为 。
因为，分情况讨论：若，则，此时，集合（符合互异性）；若，则，此时，集合（符合互异性）；若，不成立。综上，时；时 。
3、解析且的奇数有 ，所以集合为 。
例 2：试分别用描述法和列举法表示下列集合
（1）方程的所有实数根组成的集合 A；
（2）由大于 10 且小于 20 的所有整数组成的集合 B。
解：（1）① 描述法：设，则 x 是实数，且满足方程，
故（或简化为）。
② 列举法：求解方程，得或，故。
（2）① 描述法：设，则 x 是整数，且满足，
故（或简化为）。
② 列举法：大于 10 且小于 20 的整数为 11，12，13，14，15，16，17，18，19，故。
【变式训练2】
A 组（基础题）
1、分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1） “方程的所有实数根组成的集合”；
（2）“大于 3 且小于 10 的所有正整数组成的集合”；
（3）“绝对值小于 4 的所有整数组成的集合”；
（4） “15 以内所有质数组成的集合”。
【解析】（1）方程的所有实数根组成的集合描述法：先解方程，因式分解得，根为或。用描述法表示为 。列举法：直接列出根，即 。
（2）大于 3 且小于 10 的所有正整数组成的集合描述法：明确元素范围与条件，（ 表示正整数集 ）。列举法：列出符合的数， 。
（3）绝对值小于 4 的所有整数组成的集合描述法：根据绝对值定义，（ 表示整数集 ）。列举法：找出满足的整数， 。
（4）15 以内所有质数组成的集合描述法：质数是大于 1 的自然数，且除了 1 和自身无其他因数，是质数且 。列举法：列出 15 以内质数， 。
B 组（中档题）
1、分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1）“由满足（其中）的所有 y 值组成的集合”；
（2）“集合”（提示：先确定 4 - x 的可能取值）；
2、已知集合有且仅有两个元素，分别用描述法和列举法表示集合 P；
3、分别用描述法和列举法表示 “平面直角坐标系中，第二象限内到 x 轴距离为 2 的点组成的集合”。
【解析】（1）描述法：列举法：当时，；当时，；当时，；当时，。所以列举法为1.
（2）描述法：列举法：因为，是8的因数，8的因数有
。当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，。所以列举法为。
2、集合P有且仅有两个元素，说明方程是一元二次方程且有两个不同
实根，所以且，即且。描述法：且；列举法：解方程，由求根公式 ，设两根为， ，列举法为（且 ）。
3、描述法：在平面直角坐标系中列举法：第二象限内到x轴距离为2，即纵坐标，横坐标，无法一一列举，若限定x为整数等特殊情况可列举，一般列举法表示为（这里按常规描述性列举，因实数不可全部列举，本质是描述法变形 ），若从点的特征看，准确列举形式为满足且的所有点，用列举法难以完全呈现，实际教学中可说明 “由于x取小于0的任意实数，无法全部列举，列举法可结合描述特征表示，如 ，重点理解描述法本质” 。
归纳总结
1、列举法的基本步骤及注意事项
（1）基本步骤
找元素：根据集合的条件，逐一找出所有满足条件的元素（确保不遗漏、不重复）；
定形式：将所有元素用花括号 “{ }” 括起，元素间用逗号分隔。
（2）注意事项
互异性优先：元素不能重复，如是错误的，应改为；
无序性无关：元素排列顺序不影响集合本质，如与是同一个集合；
适用有范围：仅适用于元素个数有限（如 “10 以内的质数”）或元素个数无限但可规律列举（如 “正奇数集”）的集合，无限且无规律的集合（如 “所有无理数”）不能用列举法。
2、描述法的基本步骤及注意事项
（1）描述法的基本步骤
明代表：确定集合的代表元素（如实数 x、整数 k、点），明确元素类型；
写条件：用数学式子或文字语言，清晰表述元素满足的共同特征（即 “p (x)”）；
规书写：按 “” 格式书写，若代表元素有范围（如实数、整数），可在代表元素后补充，如。
（2）注意事项
代表元素要清晰：避免混淆元素类型，如（x 是自变量，集合为实数集）与（点集，代表直线上的所有点）完全不同；
条件表述要准确：避免模糊表述，如 “很大的数” 不能作为条件（违背元素确定性），应改为 “大于 1000 的数”；
适用分场景：适用于元素个数多、无法列举（如 “所有大于 5 的实数”）或元素有明显共同特征（如 “所有偶数”）的集合，元素个数少的集合（如 “{1,2,3}”）用列举法更简洁；
符号使用规范：不用多余符号，如是错误的，应改为列举法。
课堂练习：
（多选）关于二次函数的相关集合，下列说法正确的是（ ）
A. 函数值组成的集合用描述法表示为，该集合是数集
B. 若，则a是函数的函数值集合中的元素
C. 图象上所有点组成的集合为，点属于这个集合
D. 自变量组成的集合与函数值组成的集合是同一个集合
答案：AC人教 A 版高中数学必修一第一章 集合与常用逻辑用语
第1.1节 《集合的概念》学案
学习目标
理解集合的本质含义，能准确判断给定对象能否构成集合，熟练掌握集合中元素的确定性、互异性、无序性三大特性，并能运用特性解决简单问题。
清晰区分元素与集合的 “属于” 和 “不属于” 关系，牢记常用数集（自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集）的专用符号及适用范围。
熟练掌握集合的两种表示方法 —— 列举法和描述法，能根据集合元素的特征选择最优表示方法，实现 “按需表达”。
通过概念辨析、典例分析与变式训练，突破概念易错点，提升逻辑推理能力与数学表达的规范性，为后续集合运算奠定基础。
知识梳理
集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为______（element），把一些元素组成的总体叫做______（set）。
集合中元素的特性：集合中的元素具有______（给定集合的元素必须是确定的，不能模棱两可）、（集合中的元素互不重复）、（集合中的元素没有先后顺序之分）。
元素与集合的关系：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a______集合 A，记作______；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a______集合 A，记作______。
常用数集及符号: 自然数集_____；正整数集：_____或_____；整数集：_____；有理数集：_____；实数集：_____。
列举法的定义:把集合的元素______出来，并用花括号 “{}” 括起来表示集合的方法叫做列举法（注意元素间用逗号分隔）。
描述法的定义: 用集合所含元素的______表示集合的方法称为描述法，一般形式为______，其中 “x” 是代表元素，“p (x)” 是元素 x 满足的共同条件。
概念辨析
1：（多选）下列关于集合的说法中，错误的是（ ）
A. “著名的数学家” 可以构成一个集合
B. 集合与集合是同一个集合
C. 若集合，则和是集合 A 的元素，且集合 A 可表示为
D. 若，则的值为或
2：（考查集合的表示方法与常用数集）下列关于集合表示方法及常用数集的说法中，错误的是（ ）
A.“大于 2 且小于 5 的整数组成的集合” 用列举法表示为，用描述法表示
为
集合表示直线上的所有点，而集合表示直线
上所有点的纵坐标（即实数集）
C. 自然数集包含，正整数集或不包含
D. 集合是偶数用描述法表示正确，若用列举法表示可写为，因此所有无限集都能用列举法表示
典例讲解
例 1：用列举法表示下列集合
（1）小于 10 的所有自然数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合。
【变式训练1】
A 组（基础题）
1、用列举法表示 下列集合
（1）“小于 6 的所有正整数组成的集合”；
（2）“方程的所有实数根组成的集合”；
（3） “1~20 中所有能被 4 整除的自然数组成的集合”；
（4）“绝对值等于 3 的所有实数组成的集合”。
B 组（中档题）
1、用列举法表示 “方程组的所有解组成的集合”（提示：方程组的解是有序实数对）；
2、已知集合，且，求实数 a 的值，并列举法表示集合 M；
3、用列举法表示 “满足，且的所有奇数组成的集合”。
例 2：试分别用描述法和列举法表示下列集合
（1）方程的所有实数根组成的集合 A；
（2）由大于 10 且小于 20 的所有整数组成的集合 B。
【变式训练2】
A 组（基础题）
1、分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1） “方程的所有实数根组成的集合”；
（2）“大于 3 且小于 10 的所有正整数组成的集合”；
（3）“绝对值小于 4 的所有整数组成的集合”；
（4） “15 以内所有质数组成的集合”。
B 组（中档题）
1、分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1）“由满足（其中）的所有 y 值组成的集合”；
（2）“集合”（提示：先确定 4 - x 的可能取值）；
2、已知集合有且仅有两个元素，分别用描述法和列举法表示集合 P；
3、分别用描述法和列举法表示 “平面直角坐标系中，第二象限内到 x 轴距离为 2 的点组成的集合”。
归纳总结
1、列举法的基本步骤及注意事项
（1）基本步骤
找元素：根据集合的条件，逐一找出所有满足条件的元素（确保不遗漏、不重复）；
定形式：将所有元素用花括号 “{ }” 括起，元素间用逗号分隔。
（2）注意事项
互异性优先：元素不能重复，如是错误的，应改为；
无序性无关：元素排列顺序不影响集合本质，如与是同一个集合；
适用有范围：仅适用于元素个数有限（如 “10 以内的质数”）或元素个数无限但可规律列举（如 “正奇数集”）的集合，无限且无规律的集合（如 “所有无理数”）不能用列举法。
2、描述法的基本步骤及注意事项
（1）描述法的基本步骤
明代表：确定集合的代表元素（如实数 x、整数 k、点），明确元素类型；
写条件：用数学式子或文字语言，清晰表述元素满足的共同特征（即 “p (x)”）；
规书写：按 “” 格式书写，若代表元素有范围（如实数、整数），可在代表元素后补充，如。
（2）注意事项
代表元素要清晰：避免混淆元素类型，如（x 是自变量，集合为实数集）与（点集，代表直线上的所有点）完全不同；
条件表述要准确：避免模糊表述，如 “很大的数” 不能作为条件（违背元素确定性），应改为 “大于 1000 的数”；
适用分场景：适用于元素个数多、无法列举（如 “所有大于 5 的实数”）或元素有明显共同特征（如 “所有偶数”）的集合，元素个数少的集合（如 “{1,2,3}”）用列举法更简洁；
符号使用规范：不用多余符号，如是错误的，应改为列举法。
课堂练习：
（多选）关于二次函数的相关集合，下列说法正确的是（ ）
A. 函数值组成的集合用描述法表示为，该集合是数集
B. 若，则a是函数的函数值集合中的元素
C. 图象上所有点组成的集合为，点属于这个集合
D. 自变量组成的集合与函数值组成的集合是同一个集合
