1.2.1空间中的点、直线与空间向量 分层练习（含答案）

1.2.1　空间中的点、直线与空间向量
基础过关练
题组一　点的位置关系和直线的方向向量
1.在空间直角坐标系Oxyz中,点
A(-3,1,5),B(4,3,1),P为线段AB的中点,则点P的位置向量的坐标是(　　)
A.　　　　B.
C.(-12,3,5)　　　　D.
2.两条不同的直线l1,l2的方向向量分别为m=(1,1,-2),n=(2,-2,1),则这两条直线(　　)
A.相交或异面　　　　B.相交
C.异面　　　　 D.平行
3.已知向量a,b分别是直线l1,l2的方向向量,且a=(2,4,5),b=(3,x,y),若l1∥l2,则(　　)
A.x=6,y=15　　　　B.x=3,y=15
C.x=,y=　　　　D.x=6,y=
4.已知直线l1的一个方向向量a=(1,2,x),直线l2的一个方向向量b=(,y,1),若|a|=5,且l1⊥l2,则x+y=(　　)
A.或-　　　　B.-或
C.-　　　　D.
5.已知直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3),且直线l过A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,则a+b=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　
C.　　　　D.3
题组二　空间中两条直线所成的角
6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,AB⊥BC,则直线B1C与A1B所成角的大小为(　　)
A.　　　　B.　　　　
C.　　　　D.
7.如图,圆台O1O2中,上、下底面半径的比为1∶2,四边形ABCD所在平面为圆台的轴截面,母线与底面所成的角为,∠DO2E=,则直线AE与BF所成角的余弦值为　　　　.
8.在如图所示的几何体中,正方形ABCD与梯形ABEF所在的平面相交,EB∥FA,FA=AB=EB.
(1)证明:DF∥平面BCE;
(2)若BE⊥平面ABCD,求异面直线DE与CF所成角的余弦值.
答案
基础过关练
1.B　由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得点P的坐标为,则点P的位置向量的坐标为.
2.A　令m=λn,即(1,1,-2)=λ(2,-2,1),则无解,所以直线l1,l2不平行,即相交或异面.
3.D　∵l1∥l2,向量a,b分别是l1,l2的方向向量,
∴a∥b,∴==,∴x=6,y=.
4.A　因为|a|=5,所以1+4+x2=25,解得x=±2.
当x=2时,a=(1,2,2),所以由l1⊥l2得a·b=+2y+2=0,
解得y=-,此时x+y=.
当x=-2时,a=(1,2,-2),所以由l1⊥l2得a·b=+2y-2=0,解得y=,此时x+y=-.
综上,x+y=或x+y=-.
5.D　由题意得=(-1,2-a,b-3),∥m,
所以设=λm,即(-1,2-a,b-3)=(2λ,-λ,3λ),
所以解得所以a+b=3.
6.C　因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,AB⊥BC,所以以点B为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略).
设AB=1,则B(0,0,0),A1(0,1,1),C(1,0,0),B1(0,0,1),所以=(1,0,-1),=(0,-1,-1),
所以cos<,>==.
因为异面直线所成角的范围为,所以直线B1C与A1B所成角的大小为.
7.答案　0
解析　如图,过点O1作O1P⊥O1B,交底面圆于点P,过点D作DQ⊥O1A于点Q.
在圆台中,O1O2⊥O1B,O1O2⊥O1P,
∴以点O1为坐标原点,O1P,O1B,O1O2所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AO1=2DO2=2.
∵母线与底面所成的角为,∴∠DAQ=,∴O1O2=DQ=.
易得A(0,-2,0),B(0,2,0),E,F,
∴=,=.
设直线AE与BF所成的角为α,
则cos α===0.
8.解析　(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AD∥BC,又BC 平面BCE,AD 平面BCE,
∴AD∥平面BCE.
∵EB∥FA,EB 平面BCE,FA 平面BCE,
∴FA∥平面BCE.
又AD∩FA=A,AD,FA 平面FAD,
∴平面FAD∥平面BCE,
∵DF 平面FAD,∴DF∥平面BCE.
(2)易知BA,BC,BE两两互相垂直.
以B为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略).
设AB=2,则D(0,2,2),E(4,0,0),F(2,2,0),C(0,0,2),∴=(4,-2,
-2),=(2,2,-2),
∴|cos<,>|===,
∴异面直线DE与CF所成角的余弦值为.