人教 A 版高中数学必修一第一章 集合与常用逻辑用语
第1.2节 《 集合间的基本关系 》学案
学习目标
理解 子集、真子集、空集、集合相等 的概念,熟练掌握符号(、、、)的含义与用法。
能判断集合间的 包含关系、相等关系,会求集合的子集、真子集,灵活应用空集的特殊性质。掌握 子集个数公式(、、),提升逻辑推理与分类讨论能力。
知识梳理
子集定义:若集合A的 任意一个元素 都属于集合B,则称A是B的子集,记作 (或)。
真子集定义:若且 ,则称A是B的真子集,记作 (或)。
空集不含任何元素的集合,记作 ;空集是 所有集合 的子集,是 所有非空集合 的真子集。集合相等若且,则 。
子集个数公式:若集合A有n个元素,则:子集个数:;真子集个数:;非空真子集个数:。
概念辨析
1、(多选)下列说法正确的是( )
A. 若,则一定成立 B. 空集没有子集
C. 集合的真子集个数为 3 D. 若,则A与B的子集完全相同
解析:A:真子集是特殊的子集(且),正确。B:空集的子集是自身(),错误。C:的真子集为,共 3 个,正确。D:若,元素完全相同,子集也完全相同,正确。答案:
2、(多选)已知集合,,下列说法错误的是( )
A. 若,则 B. 若,则a的取值为1或
C. 若A是单元素集,则A的子集个数为 2 D. 若,则一定成立
解析:A:表示方程无解,故,正确。B:分三种情况:()、()、(),故a还可以是 0,错误。C:单元素集的子集为和自身,共 2 个,正确。D:若,则,,故,错误。答案:
典例讲解
例 1:求子集与真子集题目:写出集合的所有子集,并指出哪些是它的真子集。
解析:子集:按元素个数分类枚举(空集、单元素集、自身):,,,(共个)。真子集:不含集合自身的子集:,,(共个)。
变式训练(一)
A 组(基础题)
1、已知集合 ,则 Q 的真子集个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
解析:解方程 ,得 或 ,故 (含 2 个元素)。真子集个数为 ,选 C。
2、已知集合 ,则关于集合 A 的子集,下列说法正确的是( )
A. 子集个数为 3 个 B. 真子集个数为 2 个
C. 是 A 的真子集 D. 是 A 的子集解析:
【答案】C
解析:解方程 得 (元素个数为 2)。子集共 个(A 错);
真子集共 3 个(B 错); 且 ,是真子集(C 对);,故 (D 错)。
3、集合的子集有______个,真子集有______个。
解析:子集()共个;真子集()共个。
4、写出集合的所有子集。
解析:子集:(空集和自身)。
5、求集合的所有子集和真子集。
解析:解方程得或,故;故其子集为:;真子集为:。
B 组(中档题)
1、(多选)下列关于集合子集、真子集的说法,正确的有( )
A. 若集合 A 有 n 个元素,则其子集个数为 ,真子集个数为
B. 空集是任何集合的真子集
C. 若 且 ,则
D. 集合 的子集是 和
【答案】ACD
解析:A:子集个数公式为 ,真子集需排除自身,故为 (正确);B:空集是任何非空集合的真子集,空集不是自身的真子集(错误);C:子集互包含则集合相等(正确);D: 的元素是 ,子集包括空集和自身(正确)。选 ACD。
2(多选)下列说法正确的有( )
A. 集合 的子集个数为 4 个,非空真子集个数为 3 个
B. 若集合 ,则 是 A 的真子集
C. 空集是集合 的子集
D. 集合 与集合 表示同一个集合
【答案】BC
解析:A: 子集共 4 个,非空真子集 2 个(错误);B:, 是真子集(正确);C:空集是任何集合的子集(正确);D:前者是数集,后者是点集,不相等(错误)。
3、设集合且必含元素 3,求所有可能的X。
解析:含 3,其余元素从选:。
已知集合 ,,若 G 是 F 的子集,则 m 的值为______。
解析:分情况讨论 ::( 舍去,元素互异);:;:( 舍去,元素互异)。综上,。
例 2:判断子集关系题目:判断下列各题中集合A是否为集合B的子集,并说明理由。
(1),是的约数;
(2),。
解析:(1)判断:不是先求B:8 的约数为 ,即 。验证:A中元素,不满足 “任意元素属于B”,故A不是B的子集。
(2)长方形是 对角线相等的平行四边形(矩形定义)。若x是长方形,则x必满足 “是两条对角线相等的平行四边形”,即,故。
变式训练(二)
A 组(基础题)
1、判断:,是的约数,A是否为B的子集?
解析:,且,故(是)。
2、判断:是正方形,是菱形,A是否为B的子集?
解析:正方形是邻边相等的菱形,故正方形∈菱形,(是)。
3、已知集合 是的正约数,,则子集关系判断正确的是( )
A. B. C. D.
解析:(6 的正约数),解方程得 ;B 中元素全在 A 中,且 ,故 ,选 B。
4、若集合 是等腰三角形,是轴对称图形,则( )
A. B. C. D. 以上都不对
解析:等腰三角形是轴对称图形(),但轴对称图形不一定是等腰三角形(如矩形),故 ,选 A。
5、(多选)下列各组集合中,满足 的有( )
A. , B. ,
C. , D. ,
解析:A:正方形是特殊矩形,(满足);B:(满足 );C:锐角、钝角三角形互斥,不满足;D:空集是任何非空集合的子集(满足)。选 ABD。
B 组(中档题)
1、已知,,若,求a的取值范围。
解析:A的上界是 3(不包含 3),故(保证A的元素都在B中)。
2、设,,若,求实数a的值。
解析:若,则,成立;若(即)则,,不成立;故。
3、(多选)已知集合 ,,若 ,则正确说法有( )
A. a 的值可能为 2 B. a 的值可能为
C. A 一定是 B 的真子集 D. A 与 B 可能相等
解析:若 ,则 (A 对);若 ,则 (B 错);A 含 2 个元素,B 含 3 个元素,故 A 必为真子集(C 对);A 与 B 元素个数不同,不可能相等(D 错)。
选 AC。
4、已知集合 ,,若 ,则实数 a 的值为______ 。
解析:,分情况: 时,; 时, 或 2,得 或 。
故 。
5、已知集合 ,,若 ,则实数 a 的值为______。
解析:由 ,得 且 (否则 B 含重复元素或与 A 冲突):当 时, 或 ,此时 或 ,,满足 ;当 时,( 舍去,因 A 元素互异),此时 ,,满足 。
综上,。
归纳总结
求子集与真子集的方法及注意事项
1、方法总结
枚举法:按 元素个数分类(0 个、1 个、…、n个),逐一列举,避免重复 / 遗漏。优先写 空集(0 个元素),再写单元素集、双元素集,最后写集合自身(n个元素)。
公式法:若集合有n个元素,直接用公式计算个数:子集:;真子集:;非空真子集:。公式可 验证枚举结果(如有 4 个子集,符合)。
2、注意事项
空集的特殊性:空集是 所有集合的子集,枚举时必须包含。空集是 非空集合的真子集,但空集的真子集不存在(空集没有真子集)。
“自身” 的区分:子集 包含集合自身,真子集 不包含自身(如的子集含,真子集不含)。
含参数的集合:需 分类讨论参数取值(如例题 2 的 B 组第 3 题),结合 元素互异性 和 包含关系 验证。集合的元素是集合的情况:如,其元素是(集合),子集包括和A自身(),需注意层级区分。
课后练习
1、写出集合的所有子集和真子集。
解析:子集:;真子集:。
2、判断:“空集的子集是它本身” 是否正确?(填 “√” 或 “×”)
解析:成立,故填 。
3、判断:,,是否成立?
解析:若,则必成立,故(成立)。
4、判断:,,是否成立?
解析:A的元素,故(成立)。
5、判断:与是否相等?
解析:解方程得(重根),故,相等。
6、已知集合,B是A的所有子集组成的集合,判断A与B的关系。
解析:A的子集为和,故;显然且,故。
7、若集合P有 3 个元素,求它的子集个数、真子集个数、非空真子集个数。
解析:子集:;真子集:;非空真子集:。
8、集合,写出其所有含 2 个元素的子集。
解析:枚举:。人教 A 版高中数学必修一第一章 集合与常用逻辑用语
第1.2节 《 集合间的基本关系 》学案
学习目标
理解 子集、真子集、空集、集合相等 的概念,熟练掌握符号(、、、)的含义与用法。
能判断集合间的 包含关系、相等关系,会求集合的子集、真子集,灵活应用空集的特殊性质。掌握 子集个数公式(、、),提升逻辑推理与分类讨论能力。
知识梳理
子集定义:若集合A的 任意一个元素 都属于集合B,则称A是B的子集,记作 (或)。
真子集定义:若且 ,则称A是B的真子集,记作 (或)。
空集不含任何元素的集合,记作 ;空集是 所有集合 的子集,是 所有非空集合 的真子集。集合相等若且,则 。
子集个数公式:若集合A有n个元素,则:子集个数:;真子集个数:;非空真子集个数:。
概念辨析
1、(多选)下列说法正确的是( )
A. 若,则一定成立 B. 空集没有子集
C. 集合的真子集个数为 3 D. 若,则A与B的子集完全相同
2、(多选)已知集合,,下列说法错误的是( )
A. 若,则 B. 若,则a的取值为1或
C. 若A是单元素集,则A的子集个数为 2 D. 若,则一定成立
典例讲解
例 1:求子集与真子集题目:写出集合的所有子集,并指出哪些是它的真子集。
变式训练(一)
A 组(基础题)
1、已知集合 ,则 Q 的真子集个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2、已知集合 ,则关于集合 A 的子集,下列说法正确的是( )
A. 子集个数为 3 个 B. 真子集个数为 2 个
C. 是 A 的真子集 D. 是 A 的子集解析:
3、集合的子集有______个,真子集有______个。
4、写出集合的所有子集。
5、求集合的所有子集和真子集。
B 组(中档题)
1、(多选)下列关于集合子集、真子集的说法,正确的有( )
A. 若集合 A 有 n 个元素,则其子集个数为 ,真子集个数为
B. 空集是任何集合的真子集
C. 若 且 ,则
D. 集合 的子集是 和
2(多选)下列说法正确的有( )
A. 集合 的子集个数为 4 个,非空真子集个数为 3 个
B. 若集合 ,则 是 A 的真子集
C. 空集是集合 的子集
D. 集合 与集合 表示同一个集合
3、设集合且必含元素 3,求所有可能的X。
已知集合 ,,若 G 是 F 的子集,则 m 的值为______。
例 2:判断子集关系题目:判断下列各题中集合A是否为集合B的子集,并说明理由。
(1),是的约数;
(2),。
变式训练(二)
A 组(基础题)
1、判断:,是的约数,A是否为B的子集?
2、判断:是正方形,是菱形,A是否为B的子集?
3、已知集合 是的正约数,,则子集关系判断正确的是( )
A. B. C. D.
4、若集合 是等腰三角形,是轴对称图形,则( )
A. B. C. D. 以上都不对
5、(多选)下列各组集合中,满足 的有( )
A. , B. ,
C. , D. ,
B 组(中档题)
1、已知,,若,求a的取值范围。
2、设,,若,求实数a的值。
3、(多选)已知集合 ,,若 ,则正确说法有( )
A. a 的值可能为 2 B. a 的值可能为
C. A 一定是 B 的真子集 D. A 与 B 可能相等
4、已知集合 ,,若 ,则实数 a 的值为______ 。
5、已知集合 ,,若 ,则实数 a 的值为______。
归纳总结
求子集与真子集的方法及注意事项
1、方法总结
枚举法:按 元素个数分类(0 个、1 个、…、n个),逐一列举,避免重复 / 遗漏。优先写 空集(0 个元素),再写单元素集、双元素集,最后写集合自身(n个元素)。
公式法:若集合有n个元素,直接用公式计算个数:子集:;真子集:;非空真子集:。公式可 验证枚举结果(如有 4 个子集,符合)。
2、注意事项
空集的特殊性:空集是 所有集合的子集,枚举时必须包含。空集是 非空集合的真子集,但空集的真子集不存在(空集没有真子集)。
“自身” 的区分:子集 包含集合自身,真子集 不包含自身(如的子集含,真子集不含)。
含参数的集合:需 分类讨论参数取值(如例题 2 的 B 组第 3 题),结合 元素互异性 和 包含关系 验证。集合的元素是集合的情况:如,其元素是(集合),子集包括和A自身(),需注意层级区分。
课后练习
1、写出集合的所有子集和真子集。
2、判断:“空集的子集是它本身” 是否正确?(填 “√” 或 “×”)
3、判断:,,是否成立?
4、判断:,,是否成立?
5、判断:与是否相等?
6、已知集合,B是A的所有子集组成的集合,判断A与B的关系。
7、若集合P有 3 个元素,求它的子集个数、真子集个数、非空真子集个数。
8、集合,写出其所有含 2 个元素的子集。