2.3全称量词命题与存在量词命题 同步练习（含答案）2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

2.3 全称量词命题与存在量词命题 同步练习
一、单项选择题
1. 下列命题中，是全称量词命题的是（ ）
A. 存在一个实数x，使x >0
B. 有些三角形是等腰三角形
C. 所有菱形的对角线互相垂直
D. 至少有一个整数是偶数
2. 下列全称量词命题中，为真命题的是（ ）
A. x∈R，x+1>0
B. x∈N，x ≥1
C. x∈R，x ≥0
D. x∈Z，x >x
3. 下列存在量词命题中，为假命题的是（ ）
A. x∈R，x -2x-3=0
B. x∈Z，x是偶数且x<3
C. x∈R，x <0
D. x∈{1,2,3}，x能被2整除
4. 命题“ x∈N*，x ≥x”的否定是（ ）
A. x∈N*，x ≥x
B. x∈N*，x C. x∈N*，x D. x∈N*，x ≠x
5. 若存在量词命题“ x∈{x≤x≤4}，x -ax+3=0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. [2√3, +∞)
B. [4, 19/4]
C. [2√3, 19/4]
D. (4, 19/4]
6. 已知函数f(x)=x -2x+a，若全称量词命题“ x∈[2,5]，f(x)>0”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. a<-15
B. a≤-15
C. a<-3
D. a≤-3
二、多项选择题
7. 下列说法正确的是（ ）
A. “ x∈R，x +1>0”是全称量词命题，且为真命题
B. “ x∈R，x -2x=0”是存在量词命题，且为真命题
C. “所有的素数都是奇数”是全称量词命题，且为真命题
D. “存在一个矩形是正方形”是存在量词命题，且为真命题
8. 关于命题及其否定的真假判断，下列说法正确的是（ ）
A. 原命题“ x∈R，x ≥x”为假，则其否定“ x∈R，x B. 原命题“ x∈R，x +2x+2≤0”为假，则其否定“ x∈R，x +2x+2>0”为真
C. 原命题“ x∈N，x≥1”为假，则其否定“ x∈N，x<1”为真
D. 原命题“ x∈Z，x =2”为真，则其否定“ x∈Z，x ≠2”为假
9. 已知集合A={xx≥1}，B={xx≤4}，若存在量词命题“ x∈A∩B，x -ax+2=0”有解，则实数a的可能取值为（ ）
A. 2√2
B. 3
C. 4
D. 5
三、填空题
10. 命题“ x∈{xx是锐角三角形}，x的内角和为180°”的否定是________________________．
11. 若存在量词命题“ x∈A，ax -2x+1=0”为真命题，其中集合A={xx>0}，则实数a的取值范围是________________________．
12. 若“ x∈[1,3]， y∈[2,4]，x-y≥a”恒成立，则实数a的最大值为________________________．
四、解答题
13. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
（1）所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）存在一个实数x，使x -4x+5=0．
14. 写出下列命题的否定，并判断原命题与否定的真假．
（1）p： x∈{xx是平行四边形}，x的对边相等；
（2）q： x∈R，x -3x+3=0．
15. 已知集合A={x≤x≤5}，命题p：“ x∈A，x -mx+6≤0”为假命题，求实数m的取值范围．
16. 已知集合M={xm≤x≤m+2}，命题p：“ x∈M，x -4x+3≤0”为真命题，求实数m的取值范围．
17. 已知命题p：“ x∈[1,4]，x -3x+a≥0”，命题q：“ x∈{xx是正整数}，x -ax+2=0”．若p为真命题且q为真命题，求实数a的取值范围．
参考答案与解析
一、单项选择题
1. C .
2. C．
3. C ．
4. B．
5. C．
6. D．
二、多项选择题
7. ABD．
8. ABC．
9. AB．
三、填空题
10. x∈{xx是锐角三角形}，x的内角和≠180° 解析：全称命题否定为存在命题，否定结论（注意保留集合限定条件）．
11. (-∞,1] 解析：分情况讨论：
当a=0时，方程为-2x+1=0，x=1/2∈A，真；
当a≠0时，方程有正根：若Δ=4-4a≥0（有实根），即a≤1，且两根之和2/a>0（正根），故a>0；若一根正一根负，两根之积1/a<0，即a<0，此时必有正根．
综上，a≤1．
12. -3 解析：“ x∈[1,3]， y∈[2,4]，x-y≥a”恒成立，需x最小、y最大时仍满足：x=1，y=4时，x-y=-3，故a≤-3，最大值为-3．
四、解答题
13. 解：
（1）含“所有”，是全称量词命题．6能被3整除但6是偶数，故为假命题．
（2）含“存在”，是存在量词命题．Δ=(-4) -4×1×5=16-20=-4<0，方程无实根，故为假命题．
14. 解：
（1） p： x∈{xx是平行四边形}，x的对边不相等．
原命题p：平行四边形对边相等，为真命题； p与p矛盾，为假命题．
（2） q： x∈R，x -3x+3≠0．
Δ=9-12=-3<0，原命题q无实根，为假命题； q与q矛盾，为真命题．
15. 解：
p为假命题，则其否定“ x∈A，x -mx+6>0”为真命题（即[2,5]中至少有一个x满足不等式）．
分别代入区间端点及关键值：
x=2时，4-2m+6>0 m<5；
x=3时，9-3m+6>0 m<5；
x=5时，25-5m+6>0 m<31/5=6.2；
只需存在一个x满足，故m<31/5（因x=5时m的上限最高，只要m<6.2，x=5必满足）．
综上，实数m的取值范围为(-∞, 31/5) ．
16. 解：
先求x -4x+3≤0的解集：(x-1)(x-3)≤0 1≤x≤3，记为集合N=[1,3]．
命题p为真，即M∩N≠ （M与N有公共元素）．
分情况讨论：
若M∩N= ，则m+2<1或m>3 m<-1或m>3；
故M∩N≠ 时，m≥-1且m≤3．
综上，实数m的取值范围为[-1,3] ．
17. 解：
① 求p为真时a的范围：
p： x∈[1,4]，x -3x+a≥0 a≥-x +3x．
令g(x)=-x +3x，配方得g(x)=-(x-3/2) +9/4（x∈[1,4]），g(x)在[1,3/2]递增、[3/2,4]递减，g(x)_max=9/4（x=3/2时），故a≥9/4．
② 求q为真时a的范围：
q： 正整数x，使x -ax+2=0 a=x+2/x（x为正整数）．
代入正整数x=1,2,3,...：
x=1时，a=3；x=2时，a=3；x=3时，a=3+2/3=11/3≈3.67；x=4时，a=4+2/4=4.5；...
a的可能值为3,11/3,4.5,...，故a≥3．
③ p真且q真，取交集：
a≥9/4（2.25）且a≥3 a≥3．
综上，实数a的取值范围为[3,+∞) ．