3.2.1 双曲线及其标准方程
1.双曲线-=1的焦点坐标是 ( )
A.(±,0) B.(0,±)
C.(±5,0) D.(0,±5)
2.方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数k的取值范围为 ( )
A.(-∞,1) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞)
3.M是双曲线-=1上一点,点F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|MF1|=5,则|MF2|= ( )
A.9或1 B.1
C.9 D.9或2
4.[2025·江苏徐州高二期中] 以椭圆+=1的长轴的两个端点为焦点,以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
5.若F1,F2分别是双曲线8x2-y2=8的左、右焦点,点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,则△PF1F2的周长为 ( )
A.17 B.16或12
C.20 D.16或20
6.(多选题)[2025·温州十校高二期中] 在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,0),点M是平面内的一个动点,则下列说法正确的是 ( )
A.若|||-|||=1,则点M的轨迹是双曲线
B.若||+||=2,则点M的轨迹是椭圆
C.若||=||,则点M的轨迹是一条直线
D.若·=2,则点M的轨迹是圆
7.方程=4的化简结果为 .
8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,动点P与点在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=12,|PF1|·|PF2|=32,则该双曲线的标准方程为 .
9.分别求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点为(0,-6),(0,6),且过点A(-5,6);
(2)经过点M,N,且焦点在坐标轴上;
(3)与双曲线-=1有相同的焦点,且过点(3,2).
10.[2025·江苏泰州高二期中] 已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,若|AB|=2,则△ABF1的周长为 ( )
A.12 B.14
C.10 D.8
11.已知F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,点A是双曲线C上一点,且F1A⊥F2A,则点A到x轴的距离为 ( )
A. B.
C. D.
12.双曲线C:-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为C的左支上一点,直线AF2与C的右支交于点B,且|AB|=15,∠F1AF2=,则|AF1|+|AF2|= ( )
A. B.26
C.25 D.23
13.(多选题)[2025·湖南祁阳一中高二期中] 当0°≤α≤180°时,方程x2+y2cos α=1表示的曲线的形状可以是 ( )
A.两条平行直线 B.圆
C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线
14.[2025·河南郑州高二期中] 已知P是双曲线-=1上的一点,M,N分别是圆(x-5)2+y2=和圆(x+5)2+y2=上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .
15.[2025·浙江绍兴上虞中学高二期中] 已知曲线C:-=1(m≠-3且m≠1).
(1)若曲线C表示双曲线,求m的取值范围;
(2)若m=0,点P在曲线C上,且点P在第一象限,F1(-2,0),F2(2,0),PF1⊥PF2,求点P的横坐标.
16.[2025·台州高二期中] 已知双曲线的方程为-=1,如图,点A的坐标为(-3,0),B是圆x2+(y-3)2=1上的点,点M在双曲线的右支上,则|MA|+|MB|的最小值为 .
17.已知双曲线C:-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线C的 右 支 上,且满足|AF1|=|F1F2|,tan∠AF1F2=,则b= . 3.2.1 双曲线及其标准方程
1.C [解析] 由-=1,可得a=4,b=3,∴c==5,故双曲线-=1的焦点坐标是(±5,0).故选C.
2.A [解析] 由于方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则解得k<1,故选A.
3.C [解析] 由-=1,得所以
由双曲线的定义可知||MF1|-|MF2||=2a=4,所以|MF2|=1或9,又|MF2|≥c-a=2,所以|MF2|=9.故选C.
4.C [解析] 椭圆+=1的长轴的两个端点为(5,0),(-5,0),焦点为(4,0),(-4,0),所以双曲线的焦点坐标为(5,0),(-5,0),顶点坐标为(4,0),(-4,0),则双曲线的焦点在x轴上,且c=5,a=4,所以b2=c2-a2=9,所以双曲线的方程为-=1.故选C.
5.D [解析] 双曲线8x2-y2=8的标准方程为x2-=1,所以a=1,c=3,|F1F2|=2c=6.因为点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,所以|PF1|=|F1F2|=6或|PF2|=|F1F2|=6.不妨设点P在双曲线的右支上,当|PF1|=6时,根据双曲线的定义有|PF2|=|PF1|-2a=6-2=4,所以△PF1F2的周长为6+6+4=16;当|PF2|=6时,根据双曲线的定义有|PF1|=|PF2|+2a=6+2=8,所以△PF1F2的周长为6+6+8=20.故选D.
6.ACD [解析] 因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2.对于A,因为|||-|||=1<|AB|,所以点M是以A,B为焦点的双曲线,故A正确;对于B,因为||+||=2=|AB|,所以点M的轨迹为线段AB,故B错误;对于C,设M(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),因为||=||,所以=,整理得x=0,所以点M的轨迹是一条直线,故C正确;对于D,因为·=(-1-x)(1-x)+(-y)2=2,即x2+y2=3,所以点M的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,故D正确.故选ACD.
7.-=1 [解析] 根据|-|=4,可得点(x,y)到点F1(-,0),F2(,0)的距离之差的绝对值为4,又4<2,所以由双曲线的定义知,点(x,y)的轨迹是以F1(-,0),F2(,0)为焦点的双曲线,且2a=4,所以a=2,c=,所以b2=c2-a2=2,其方程为-=1.
8.-=1 [解析] 因为(|PF1|-|PF2|)2=(|PF1|+|PF2|)2-4|PF1|·|PF2|=16,所以||PF1|-|PF2||=4=2a,所以a=2.因为点在双曲线上,所以-=1,解得b2=5,故双曲线的标准方程为-=1.
9.解:(1)由已知得c=6,且双曲线的焦点在y轴上.因为点A(-5,6)在双曲线上,所以2a=|-|=|13-5|=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=20,
所以所求双曲线的标准方程是-=1.
(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.
因为点M,N在双曲线上,所以解得
故双曲线的标准方程为-=1.
(3)设双曲线的方程为-=1(-4<λ<16),
因为双曲线过点(3,2),所以-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),
所以双曲线的标准方程为-=1.
10.A [解析] 由题可得2a=4,由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=4,因为|AF2|+|BF2|=|AB|=2,所以|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|-|AF2|+|BF1|-|BF2|+2|AB|=4+4+4=12,所以△ABF1的周长为12.故选A.
11.C [解析] 由双曲线的方程可知a=3,b=,c==4.不妨设A(x0,y0)位于第一象限,如图所示.∵F1A⊥F2A,∴|F1A|2+|F2A|2=|F1F2|2,即(|F1A|-|F2A|)2+2|F1A|·|F2A|=|F1F2|2,由双曲线的定义知|F1A|-|F2A|=2a=6,又|F1F2|=2c=8,∴|F1A|·|F2A|=14,∴=|F1A|·|F2A|=|F1F2|·y0=4y0=7,解得y0=,即点A到x轴的距离为.故选C.
12.B [解析] 连接BF1,由题设知|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|=2a=10,令|BF2|=x,则|AF1|=x+15-10=x+5,|BF1|=x+10,在△ABF1中,|AB|=15,∠F1AF2=,则cos∠F1AF2==,所以=,则x=3,故|AF1|=8,则|AF2|=18,所以|AF1|+|AF2|=26.故选B.
13.AB [解析] 当α=90°时,cos α=0,方程为x2=1,即x=±1,表示与y轴平行的两条直线,故A正确;当α=0°时,cos α=1,方程为x2+y2=1,表示圆心在原点的圆,故B正确;当0°<α<90°时,014.8 [解析] 圆(x+5)2+y2=的圆心为F1(-5,0),半径r1=,圆(x-5)2+y2=的圆心为F2(5,0),半径r2=.在双曲线-=1中,a=3,b=4,则c=5,则F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,如图,易知|PM|max=|PF2|+r2,|PN|min=|PF1|-r1,所以(|PM|-|PN|)max=|PF2|+r2-(|PF1|-r1)=2a+r1+r2=8.
15.解:(1)若曲线C:-=1表示双曲线,
则(3+m)(1-m)>0,解得-3(2)当m=0时,曲线C:-y2=1为双曲线,设P(s,t),s>0,t>0,则-t2=1,
因为PF1⊥PF2,所以·=(-2-s,-t)·(2-s,-t)=s2-4+t2=s2-4+-1=0,可得s=,
所以点P的横坐标为.
16.3+3 [解析] 取D(3,0),则点A,D分别是双曲线的左、右焦点,由双曲线的定义,得|MA|-|MD|=2a=4,∴|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|,又B是圆x2+(y-3)2=1上的点,圆的圆心为C(0,3),半径为1,故|BD|≥|CD|-1=3-1,从而|MA|+|MB|≥4+|BD|≥3+3,当点M,B在线段CD上时取等号,即|MA|+|MB|的最小值为3+3.
17. [解析] 由题可得a=,|AF1|=|F1F2|=2c,c>a=,由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2a=2,∴|AF2|=2c-2.∵tan∠AF1F2=,∴∠AF1F2∈,=,又sin2∠AF1F2+cos2∠AF1F2=1,∴+cos2∠AF1F2=1,∴cos∠AF1F2=.在△AF1F2中,由余弦定理得cos∠AF1F2===,解得c=2或c=(舍去),∴b===.
