3.3抛物线 教材习题解答（含答案）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.3抛物线 教材习题解答（含答案）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 799.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-02 21:29:05 | ||
图片预览
文档简介
3.3抛物线
【教材课后习题P138】
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．填空题
（1）准线方程为的抛物线的标准方程是 ．
（2）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 ．
3．已知抛物线上一点M与焦点F的距离，求点M的坐标.
4．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；
（2）顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点．
5．如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角，求．
6．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：．
7．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽为7m，高为0.7m．根据图中的坐标系，求这条抛物线的方程．
8．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水下降1m后，水面宽多少？（精确到0.1m）
9．从抛物线上各点向x轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线()上，求这个等边三角形的边长.
11．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程．
12．已知抛物线的方程为，直线l绕点旋转，讨论直线l与抛物线的公共点个数，并回答下列问题：
（1）画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？
（2）与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？
13．设抛物线的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点M（不同于抛物线的顶点）反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴．
【教材习题答案】
1．答案：(1)焦点坐标为，准线方程为：；
(2)焦点坐标为，准线方程为：；
(3)焦点坐标为，准线方程为：；
(4)焦点坐标为，准线方程为：；
解析：（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为：；
（2）抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：；
（3）抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：；
（4）抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：．
2．答案：；
解析：（1）准线方程为，则，得，且焦点在轴上，故抛物线方程为；
（2）设所求的点坐标为，抛物线上与焦点的距离等于6，则，得，代入抛物线方程得，故所求点坐标为.
3．答案：
解析：因为抛物线上一点M与焦点F的距离，
所以，所以，进而有，所以点M的坐标为：，故答案为：
4．答案：（1）y2＝±24x，图见解析；（2）x2＝﹣12y，图见解析．
解析：（1）∵抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，∴设抛物线的标准方程为：y2＝2px，又∵顶点与焦点的距离||＝6，∴p＝±12，∴抛物线的标准方程为：y2＝±24x；
（2）∵顶点在原点，对称轴是y轴，∴设抛物线的标准方程为：x2＝2py，又∵抛物线经过点P（﹣6，﹣3）．∴36＝﹣6p，解得：p＝﹣6，∴设抛物线的标准方程为：x2＝﹣12y．
5．答案：
解析：抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线与x轴交于点K，如图：
则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，，由抛物线定义知，，而，则，解得，所以=4.
6．解析：由得，设，则有，，，即，所以.
7．答案：，
解析：根据图形，设抛物线的方程为y＝ax2（a＞0），则该抛物线过点B（，0.7），∴a0.7，解得a，∴该抛物线的方程为yx2即，
8．答案：4.9 m
解析：在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示.
设该拋物线的方程为.拱顶离水面2 m，水面宽4 m，点在拋物线上，，解得，拋物线的方程为.当水面下降1 m时，，代入，得，即，，故这时水面宽约为4.9 m.
9．答案：；顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线.
解析：设抛物线上的点M(x0，y0)，过M作MQ⊥x轴于Q，设线段MQ中点P(x，y)，于是有，而，即，从而得，当M为抛物线顶点时，可视为过M作x轴垂线的垂足Q与点M重合，其中点P与M重合，坐标也满足上述方程，所以垂线段的中点的轨迹方程是，它是顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线.
10．答案：
解析：设正三角形的顶点A、在抛物线上，且设点、，
则，，又，∴，即，∴，又∵，，，∴，由此可得，即线段关于轴对称，∵轴垂直于，且，∴，∵，∴，∴.
11．答案：，
解析：设，则，整理，得，．
动点的轨迹方程是，．故答案为：，．
12．答案：(1)相切或相交于一点；(2)相等.
解析：(1)直线l与抛物线的位置关系有相交、相切、相离三种，如图：其中相交时有相交于两个公共点和相交只有一个公共点(图中直线l0)，
观察图形知，直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l与抛物线相切(图中直线l1，l2)和相交于一个公共点(图中直线l0与x轴平行)；
(2)直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，方程为，即，由消去x得：，k=0时，y=1，，方程组只有一个解，由图知直线l与抛物线相交，只有一个公共点，直线l的斜率为0；时，，
或时，方程组有两个相同的实数解，由图知直线l与抛物线相切，只有一个公共点，直线l的斜率分别为；时，方程组有两个不同的实数解，由图知直线l与抛物线交于两点，直线l的斜率；时，方程组没有实数解，由图知直线l与抛物线相离，没有公共点，直线l的斜率；直线l的斜率不存在时，l的方程为x=-2，显然方程组没有实数解，由图知直线l与抛物线相离，没有公共点，直线l的斜率不存在，所以抛物线与直线l的方程组成的方程组解的个数与抛物线与直线l公共点的个数相等.
13．解析：不妨假设点M在第一象限，设M(a，b)(b> 0)，抛物线在第一象限内的解析式为(x>0)，从而有，记抛物线在点M处的切线为直线l，过点M且垂直于切线l的直线记为m，则直线l的斜率是，直线m的斜率是，所以直线m的方程为，设点F关于直线m的对称点为N(s，t)，线段FN的中点为Q，则点Q在直线m上，且直线FN⊥m，由题意可知，则，从而有 ① 因为FN⊥m，所以直线FN的斜率②，由②可得③，将③代入①可得，化简得④，因为点M(a， b)在上，所以，将代入④可解得t = b，所以点M的纵坐标等于点N的纵坐标，所以FN//x轴，即符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴.
同理可证，当点M在第四象限时，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴.
综上可知，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴.
【定点变式训练】
1.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且，则( )
A.3 B.6 C.9 D.12
2.过点且与抛物线只有一个公共点的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.0条
3.在平面直角坐标系中，到点和直线的距离相等的点的轨迹是( )
A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线
4.已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交y轴于点N，若M为的中点，则_______.
5.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（），原点O为边AD的中点，抛物线经过C，F两点，则__________.
6.已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N.若，则点M的横坐标为________；的面积为________.
7.已知点在抛物线上.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过y轴上一点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D四点，且M，N分别是线段AB，CD的中点，求面积的最小值.
8.已知抛物线上的一点到抛物线的焦点F的距离是3.
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知过点F的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与C的准线l交于点D，且线段AB的中点为N，设，求实数的取值范围.
【变式训练答案】
1.答案：C
解析：抛物线的焦点和准线，作图如下：
由，可得，过B作于C，
设l与x轴交于D，则，
因为，所以，所以，所以，故选C.
2.答案：C
解析：易知过点且斜率不存在的直线方程为，满足与抛物线只有一个公共点.当斜率存在时，设直线方程为，与联立，得，当时，方程有一个解，此时直线与抛物线只有一个公共点；当时，令，解得，此时直线与抛物线只有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选C.
3.答案：A
解析：因为点在直线上，所以所求点的轨迹是过点且与直线垂直的直线.
4.答案：6
解析：抛物线的焦点为，
N点在y轴上，设.
又M为的中点，
，即，
又M点在抛物线上，
，
所以
故答案为：6.
5.答案：
解析：由题意知，点C的坐标为，点F的坐标为.C，F两点都在抛物线上，
，即，解得或.，.
6.答案：5；
解析：设点M的坐标为，则有，解得，所以M的横坐标是5.将代入，得，由题意得.
7.答案：（1）
（2）4
解析：（1）将点的坐标代入中，得，
故或（舍去），
故C的方程为.
（2）设，由题意可得直线AB，CD的斜率均存在且不为0，
故可设直线AB，CD的方程分别为，，
设A，B，C，D四点的坐标分别为，，，.
由两直线互相垂直，得，
联立直线AB与抛物线C的方程，
有消去y，得，
，，.
则，，
故.
同理可得，，
，
则，
同理可得.
由直线AB，CD互相垂直，得，
故
，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为4.
8.答案：（1）
（2）
解析：（1）根据抛物线的定义有，，
所以抛物线C的方程为.
（2），抛物线的准线为，依题意可知直线AB与x轴不重合，
设直线AB的方程为.
由消去x得，
.
设，，
则，，
，，
所以.
因为DN垂直平分AB，
所以直线DN的方程为，即，
令，得，即，则.
又，
则
，
所以，即实数的取值范围为.
【教材课后习题P138】
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．填空题
（1）准线方程为的抛物线的标准方程是 ．
（2）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 ．
3．已知抛物线上一点M与焦点F的距离，求点M的坐标.
4．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；
（2）顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点．
5．如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角，求．
6．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：．
7．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽为7m，高为0.7m．根据图中的坐标系，求这条抛物线的方程．
8．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水下降1m后，水面宽多少？（精确到0.1m）
9．从抛物线上各点向x轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线()上，求这个等边三角形的边长.
11．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程．
12．已知抛物线的方程为，直线l绕点旋转，讨论直线l与抛物线的公共点个数，并回答下列问题：
（1）画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？
（2）与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？
13．设抛物线的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点M（不同于抛物线的顶点）反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴．
【教材习题答案】
1．答案：(1)焦点坐标为，准线方程为：；
(2)焦点坐标为，准线方程为：；
(3)焦点坐标为，准线方程为：；
(4)焦点坐标为，准线方程为：；
解析：（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为：；
（2）抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：；
（3）抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：；
（4）抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：．
2．答案：；
解析：（1）准线方程为，则，得，且焦点在轴上，故抛物线方程为；
（2）设所求的点坐标为，抛物线上与焦点的距离等于6，则，得，代入抛物线方程得，故所求点坐标为.
3．答案：
解析：因为抛物线上一点M与焦点F的距离，
所以，所以，进而有，所以点M的坐标为：，故答案为：
4．答案：（1）y2＝±24x，图见解析；（2）x2＝﹣12y，图见解析．
解析：（1）∵抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，∴设抛物线的标准方程为：y2＝2px，又∵顶点与焦点的距离||＝6，∴p＝±12，∴抛物线的标准方程为：y2＝±24x；
（2）∵顶点在原点，对称轴是y轴，∴设抛物线的标准方程为：x2＝2py，又∵抛物线经过点P（﹣6，﹣3）．∴36＝﹣6p，解得：p＝﹣6，∴设抛物线的标准方程为：x2＝﹣12y．
5．答案：
解析：抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线与x轴交于点K，如图：
则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，，由抛物线定义知，，而，则，解得，所以=4.
6．解析：由得，设，则有，，，即，所以.
7．答案：，
解析：根据图形，设抛物线的方程为y＝ax2（a＞0），则该抛物线过点B（，0.7），∴a0.7，解得a，∴该抛物线的方程为yx2即，
8．答案：4.9 m
解析：在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示.
设该拋物线的方程为.拱顶离水面2 m，水面宽4 m，点在拋物线上，，解得，拋物线的方程为.当水面下降1 m时，，代入，得，即，，故这时水面宽约为4.9 m.
9．答案：；顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线.
解析：设抛物线上的点M(x0，y0)，过M作MQ⊥x轴于Q，设线段MQ中点P(x，y)，于是有，而，即，从而得，当M为抛物线顶点时，可视为过M作x轴垂线的垂足Q与点M重合，其中点P与M重合，坐标也满足上述方程，所以垂线段的中点的轨迹方程是，它是顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线.
10．答案：
解析：设正三角形的顶点A、在抛物线上，且设点、，
则，，又，∴，即，∴，又∵，，，∴，由此可得，即线段关于轴对称，∵轴垂直于，且，∴，∵，∴，∴.
11．答案：，
解析：设，则，整理，得，．
动点的轨迹方程是，．故答案为：，．
12．答案：(1)相切或相交于一点；(2)相等.
解析：(1)直线l与抛物线的位置关系有相交、相切、相离三种，如图：其中相交时有相交于两个公共点和相交只有一个公共点(图中直线l0)，
观察图形知，直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l与抛物线相切(图中直线l1，l2)和相交于一个公共点(图中直线l0与x轴平行)；
(2)直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，方程为，即，由消去x得：，k=0时，y=1，，方程组只有一个解，由图知直线l与抛物线相交，只有一个公共点，直线l的斜率为0；时，，
或时，方程组有两个相同的实数解，由图知直线l与抛物线相切，只有一个公共点，直线l的斜率分别为；时，方程组有两个不同的实数解，由图知直线l与抛物线交于两点，直线l的斜率；时，方程组没有实数解，由图知直线l与抛物线相离，没有公共点，直线l的斜率；直线l的斜率不存在时，l的方程为x=-2，显然方程组没有实数解，由图知直线l与抛物线相离，没有公共点，直线l的斜率不存在，所以抛物线与直线l的方程组成的方程组解的个数与抛物线与直线l公共点的个数相等.
13．解析：不妨假设点M在第一象限，设M(a，b)(b> 0)，抛物线在第一象限内的解析式为(x>0)，从而有，记抛物线在点M处的切线为直线l，过点M且垂直于切线l的直线记为m，则直线l的斜率是，直线m的斜率是，所以直线m的方程为，设点F关于直线m的对称点为N(s，t)，线段FN的中点为Q，则点Q在直线m上，且直线FN⊥m，由题意可知，则，从而有 ① 因为FN⊥m，所以直线FN的斜率②，由②可得③，将③代入①可得，化简得④，因为点M(a， b)在上，所以，将代入④可解得t = b，所以点M的纵坐标等于点N的纵坐标，所以FN//x轴，即符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴.
同理可证，当点M在第四象限时，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴.
综上可知，符合题意的反射光线平行于抛物线的对称轴.
【定点变式训练】
1.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且，则( )
A.3 B.6 C.9 D.12
2.过点且与抛物线只有一个公共点的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.0条
3.在平面直角坐标系中，到点和直线的距离相等的点的轨迹是( )
A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线
4.已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交y轴于点N，若M为的中点，则_______.
5.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（），原点O为边AD的中点，抛物线经过C，F两点，则__________.
6.已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N.若，则点M的横坐标为________；的面积为________.
7.已知点在抛物线上.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过y轴上一点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D四点，且M，N分别是线段AB，CD的中点，求面积的最小值.
8.已知抛物线上的一点到抛物线的焦点F的距离是3.
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知过点F的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与C的准线l交于点D，且线段AB的中点为N，设，求实数的取值范围.
【变式训练答案】
1.答案：C
解析：抛物线的焦点和准线，作图如下：
由，可得，过B作于C，
设l与x轴交于D，则，
因为，所以，所以，所以，故选C.
2.答案：C
解析：易知过点且斜率不存在的直线方程为，满足与抛物线只有一个公共点.当斜率存在时，设直线方程为，与联立，得，当时，方程有一个解，此时直线与抛物线只有一个公共点；当时，令，解得，此时直线与抛物线只有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选C.
3.答案：A
解析：因为点在直线上，所以所求点的轨迹是过点且与直线垂直的直线.
4.答案：6
解析：抛物线的焦点为，
N点在y轴上，设.
又M为的中点，
，即，
又M点在抛物线上，
，
所以
故答案为：6.
5.答案：
解析：由题意知，点C的坐标为，点F的坐标为.C，F两点都在抛物线上，
，即，解得或.，.
6.答案：5；
解析：设点M的坐标为，则有，解得，所以M的横坐标是5.将代入，得，由题意得.
7.答案：（1）
（2）4
解析：（1）将点的坐标代入中，得，
故或（舍去），
故C的方程为.
（2）设，由题意可得直线AB，CD的斜率均存在且不为0，
故可设直线AB，CD的方程分别为，，
设A，B，C，D四点的坐标分别为，，，.
由两直线互相垂直，得，
联立直线AB与抛物线C的方程，
有消去y，得，
，，.
则，，
故.
同理可得，，
，
则，
同理可得.
由直线AB，CD互相垂直，得，
故
，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为4.
8.答案：（1）
（2）
解析：（1）根据抛物线的定义有，，
所以抛物线C的方程为.
（2），抛物线的准线为，依题意可知直线AB与x轴不重合，
设直线AB的方程为.
由消去x得，
.
设，，
则，，
，，
所以.
因为DN垂直平分AB，
所以直线DN的方程为，即，
令，得，即，则.
又，
则
，
所以，即实数的取值范围为.