4.2等差数列 教材习题解答（含答案）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2等差数列
【教材课后习题P24】
1．根据下列等差数列中的已知量，求相应的未知量：
（1），，，求d及n；
（2），，，求及﹔
（3），，，求n及；
（4），，，求及．
2．已知{}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，求a20的值
3．（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和．
（2）求从小到大排列的前n个正奇数的和．
（3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和．
（4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？
4．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似，他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年，请你查找资料，列出哈雷星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份．
5．已知一个多边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为、求这个多边形的边数．
6．已知数列，都是等差数列，且，，，求数列的前100项和．
7．已知是等差数列的前n项和．
（1）证明是等差数列；
（2）设为数列的前n项和，若，，求．
8．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和．
9．一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．
（1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？
（2）如果每辆车行驶的速度都是，这个车队当天一共行驶了多少千米？
10．已知等差数列的公差为d，求证．你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？
11．虎甲虫以爬行速度快闻名，下表记录了一只鹿甲虫连续爬行时爬行的距离．
时间/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
距离/m 2.50 5.03 7.55 10.05 12.45 15.01 17.28 19.90 22.48 25.07
（1）你能建立一个数列模型，近似地表示这只虎甲虫连续爬行的距离和时间之间的关系吗？
（2）利用建立的模型计算，这只虎甲虫连续爬行能爬多远（精确到）？它连续爬行需要多长时间（精确到）？
12．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．
（1）写出数列的一个递推公式；
（2）根据（1）中的递推公式，写出数列的一个通项公式．
【教材习题答案】
1．答案：（1）；（2）；（3）；（4）.
解析：（1）因为等差数列中，，，，所以，；（2）因为等差数列中，，，，所以，解得；
（3）因为等差数列中，，，，所以，整理得，解得，或（舍去），；
（4）因为等差数列中，，，，，.
2．答案：1
解析：∵a1+a3+a5=105，∴3a3=105，解得a3=35，同理由a2+a4+a6=99，得a4=33
∵d=a4-a3=33-35=-2，∴a20=a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1.
3．答案：（1）；（2）；（3）180，98550；（4）14，665.
解析：（1）通项公式为，所以，
（2）通项公式为，所以，
（3）因为末尾数是0或者5的数均是5的倍数，故最小是100，最大是995，
所以，故和为，
（4）被7整除余2的数为，当时，这个数等于100，所以在小于100的正整数中共有14个数被7整除余2，每相邻两个数之间的差（大数减小数）为7，所以.
4．答案：2061年
解析：根据历史记载，哈雷彗星在1607年及以后的回归时间表为：
次数 1 2 3 4 5 7
年份 1607 1682 1759 1835 1910 1986
预测它在本世纪回归的年份为2061年.
5．答案：4
解析：由题意可知：，，，则， 即，得，解得：或（舍去），故这个多边形的边数为4.
6．答案：6000
解析：解：因为数列，都是等差数列，所以也是等差数列，又，，，则数列的前100项和为：．
7．答案：（1）证明见解析；（2）
解析：（1）∵，∴，∴，∴是等差数列；
（2），，公差，又∵，∴，∴，∴.
8．答案：1472
解析：有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项. 共有个，也是等差数列，它们的和为，这个新数列的各项之和为1472
9．答案：（1）小时； （2）.
解析：（1）第一辆车出发时间为14时，每辆车的间隔时间为，即为小时，则第15辆车在小时后，最后一辆车出发的时间为，所以第15辆车行驶的时间为小时，即1小时40分钟.
（2）设每辆车行驶的时间构成数列，由题意可得构成首项为，公差为的等差数列，则15辆车行驶的时间的和为小时，所以行驶的总里程为.
10．解析：因为等差数列的公差为，所以.在斜率为的直线：上任取两点，，则，即公差为的等差数列的图象是由点组成的集合，这些点均匀分布在直线上.
11．答案：（1）；（2）；.
解析：（1）设虎甲虫爬行的距离构成数列，可得其中，，， ，可得每一项与前一项的差都是近似为，所以构成一个首项为，公差的等差数列，所以虎甲虫爬行的距离与时间之间的关系是为.
（2）由（1）知，因为，所以，令，可得，即虎甲虫连续爬行能爬米，连续爬行需要.
12．答案：（1）；（2）.
解析：（1）由题意可知，，，，，；所以数列的一个递推公式为；
（2）由题意，，故，所以数列的一个通项公式为.
【定点变式训练】
1.在等差数列中，，，则公差为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知等差数列的前n项和为，若，，则( )
A.4 B.2 C.0 D.
3.设等差数列的前n项和为，若，，则( )
A.60 B.80 C.90 D.100
4.等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
5.下列数列中，不是等差数列的是( )
A.1，4，7，10 B.，，，
C.，，， D.10，8，6，4，2
6.已知等差数列的前三项分别为，，，则该数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
7.在等差数列中，，，则( )
A.-3 B.0 C.3 D.6
8.已知等差数列的前n项和为，若，则( )
A.-2 B. C.1 D.
9.若数列满足，，则________.
10.已知等差数列的前n项和为，且满足，，则数列的通项公式为__________．
11.已知数列满足，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
12.记为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【变式训练答案】
1.答案：C
解析：等差数列中，，，
，
解得，.
故选：C.
2.答案：A
解析：设等差数列的公差为d.
，，即.
又，，，.故选A.
3.答案：D
解析：等差数列的公差为：，
则.
故选：D.
4.答案：A
解析：设等差数列的公差为d，依题意得解得所以.
5.答案：答案：C
解析：
A 是 （常数），所以是等差数列.
B 是 （常数），所以是等差数列.
C 不是 ，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.
D 是 （常数），所以是等差数列.
6.答案：C
解析：设该等差数列的公差为d.因为等差数列的前三项分别为，，，所以，解得，所以，，所以.故选C.
7.答案：B
解析：设等差数列的公差为d，
则，
解得.
故选：B.
8.答案：D
解析：由，根据等差数列的求和公式，
，
又
.
故选：D
9.答案：19
解析：由题意得，故数列为首项为，公差为2的等差数列，
则，故.
故答案为:19.
10.答案：
解析：设的公差为d，
因为，
所以，
又，故，解得，所以，
又，所以．
故答案为：.
11.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）将两边取倒数，
得，即，
即，故数列是等差数列.
（2）由（1）知数列是等差数列，且公差为2，首项，
所以，
即数列的通项公式为.
12.答案：（1）
（2）
解析：（1）设的公差为d，则
解得
所以的通项公式为.
（2）由（1）得
当时，，
当时，
.
综上，