2026年高考一轮复习单元验收评价试题（五）数学答案与解析
1.D 解析 z=i3(1+i)=-i(1+i)=1-i，z在复平面内对应的点为(1，-1)，位于第四象限.
2.B 解析 由题意，得3×3-1×(2m-1)=0，解得m=5.
3.B 解析 已知z1，z2是方程x2-2x+2=0的两个复数根，所以z===1±i，则设z1=1+i，z2=1-i，
所以|-|=|(z1+z2)(z1-z2)|=|2×2i|=|4i|=4.
4.D 解析 由题意，可设2e1+λe2=t(μe1+e2)，t∈R，又e1，e2是两个不共线的向量，故解得λμ=2.
5.A 解析 =-=-=-=-，
故=λ+μ=λ+μ=+，故解得
所以λ+μ=--=-2.
6.A 解析 如图所示，当弦MN的长度最大时，弦MN过内切圆的圆心O，
=+=+=-，圆O的半径为1，由于P是正方形ABCD的四条边上的动点，则||∈[1，]，所以·=-=||2-1∈[0，1]，即·的取值范围是[0，1].
7.B 解析 因为＋＋＝0，所以G为△ABC的重心，所以＝(＋)＝t＋(1－t)＝tx＋(1－t)y，所以tx＝，(1－t)y＝，所以＋＝3t＋3(1－t)＝3.
8.D 解析 因为点A(0，1)，B(-1，)，所以=(0，1)，=(-1，)，所以==1，
==2，所以cos 〈〉===，因为〈〉∈，所以〈〉=，所以=sin 〈〉=1×2×sin =1.
9.AC 解析 因为z1=a+i，z2=1+bi，所以z1·z2=(a+i)(1+bi)=a+i+abi+bi2=(a-b)+(1+ab)i，又z1·z2为纯虚数，所以即a-b=0且ab≠-1.
10.ACD 解析 对于A，当λ=μ=时，=+=+)=，所以点Q为AC的中点，A正确；对于B，当λ=1时，=+μ μ=-=，点Q在线段BC上，B错误；对于C，点Q在线段AC上时，存在实数m使得=m=m+m，因此λ=μ=m，故C正确；对于D，当λ+μ=1时，由=λ+μ可知B，D，Q三点共线，故点Q在对角线BD上，D正确.
11.ABD 解析 对于A，取AB边的中点D，连接AB边上的中线CD(图略)，则+=2，又∵++=0，∴2+=0，∴=2，∴O为△ABC的重心，故A正确；对于B，由已知可得·-·=·(-)=·=0，即OB⊥CA，∴点O在边AC的高上，同理可得点O在边AB的高上，点O在边BC的高上，∴点O是△ABC的垂心，故B正确；对于C， 设AC的中点为M，BC的中点为N，+2+3=++2+2=2+4=0，即=-2，∴点O为中位线MN上靠近点N的三等分点，∴==2，故C错误；对于D，作角A的内角平分线AE与BC边交于点E(图略)，∵为方向的单位向量，为方向的单位向量，∴+=λ(λ>0)，∴·=λ·=0(λ>0)，
∴⊥，∴AE⊥BC，∴AC=AB，△ABC为等腰三角形，又∵·==cos B=，且B∈(0，π)，∴B=，∴△ABC为等边三角形，故D正确.
1 解析 因为＝a＋bi，所以a＋bi＝＝＝＝＋i，所以a＝，b＝，则a＋b＝＋＝1.
解析 方法一 ∵|a-λe|=1，∴|a-λe|2=(a-λe)2=|a|2-2λa·e+(λe)2=|a|2-4λ+λ2=1，∴|a|2=-λ2+4λ+1=-(λ-2)2+5≤5，∴|a|≤.
方法二 令e=(1，0)，a=(x，y)，则a·e=x=2，∴a=(2，y)，∴a-λe=(2-λ，y)，∴=1，∴y2=1-(2-λ)2，∴|a|==，当λ=2时，|a|max=.
14. 2 解析 以A为坐标原点，以AD所在直线为x轴，过点A作AD的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
则A(0，0)，B，C，D(2，0)，故===(2，0)，则由=x+y可得==x+y(2，0)，即∴故x+y=2.
15.解 (1)设向量a与b的夹角为θ，
∵|a|＝，|b|＝4，
∴a·(b－a)＝a·b－a2＝|a||b|cos θ－a2
＝4cos θ－2＝2，
∴cos θ＝，
∵0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)∵|ta－b|＝2，由(1)知a·b＝4，
∴t2a2－2ta·b＋b2＝2t2－8t＋16＝8，
即t2－4t＋4＝0，解得t＝2.
16.解 (1)分别以的方向为x轴、y轴的正方向，点B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，
所以=(2，-1)，=(λ，1)，
因为⊥，所以·=2λ-1=0，
所以λ=.
(2)当λ=时，||==，||==，
因为·=2λ-1=，
所以cos θ===.
17.解 (1)如图，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0，1)，B(2，0)，M，N，
所以==(2，0)，=(0，1)，
所以==λ+μ=(2λ，μ)，
所以解得
(2)由(1)可知C(2，1)，设=t=t(2，1)，
所以E(2t，t)，
又M，所以=，
又=，
且M，N，E三点共线，所以∥，
所以·-(t-1)=0，
解得t=，故=.
18.解 (1)当λ＝时，＝，
∴＝(＋)
＝[(－)＋(＋)]
＝
＝＋.
(2)∵＝(＋)
＝[(－)＋(＋)]
＝
＝
＝＋，
易知||＝||＝2，
∴||2＝2＋2＋(1－2λ)··＝4λ2－7λ＋＝4＋，
∵0≤λ≤1，
∴当λ＝时，||2有最小值，
即||有最小值.
19.解 (1)因为cos A＝，0
0，
所以sin A＝＝.
因为S△ABC＝bcsin A＝·bc·＝3，
所以bc＝，
所以·＝cbcos A＝×＝.
(2)因为m∥n，
所以2sin cos ＝cos B，即sin B＝cos B，
所以tan B＝1.
因为0所以sin 2C＝sin＝sin
＝－cos 2A＝1－2cos2A＝1－2×＝，
cos 2C＝cos＝cos
＝－sin 2A＝－2sin Acos A＝－2××＝－，
所以sin(B－2C)＝sin＝(cos 2C－sin 2C)＝×＝－.秘密★启用前
2026年高考一轮复习单元验收评价试题（五）
数学
本试卷共4页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试范围：平面向量、复数。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z=i3(1+i)，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量a=(3，1)，b=(2m-1，3)，若a与b共线，则实数m等于( )
A． B．5
C． D．1
3．已知z1，z2是方程x2-2x+2=0的两个复数根，则|-|等于( )
A．2 B．4
C．2i D．4i
4．已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1+λe2与μe1+e2(λ，μ为实数)是共线向量，则( )
A．=-2 B．λμ=-2
C．=2 D．λμ=2
5．△ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ等于( )
A．-2 B．-1
C．1 D．2
6．已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是( )
A．[0，1] B．[0，]
C．[1，2] D．[-1，1]
7．如图所示，△ABC内有一点G满足＋＋＝0，过点G作一直线分别交AB，AC于点D，E．若＝x，＝y(xy≠0)，则＋等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
8．已知两个非零向量a与b的夹角为θ，我们把sin θ叫作向量a与b的外积，记作，即=sin θ，已知点A(0，1)，B(-1，)，O为坐标原点，则等于( )
A．0．5 B．-1
C．0 D．1
多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．已知复数z1=a+i，z2=1+bi(其中i是虚数单位，a，b∈R)，若z1·z2为纯虚数，则( )
A．a-b=0 B．a+b=0
C．ab≠-1 D．ab≠1
10．在平行四边形ABCD中，设=λ+μ，其中λ，μ∈[0，1]，则下列命题是真命题的是( )
A．当λ=μ=时，点Q为AC的中点
B．当λ=1时，点Q在线段DC上
C．当点Q在线段AC上时，λ=μ
D．当λ+μ=1时，点Q在对角线BD上
11．已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A．若++=0，则点O为△ABC的重心
B．若·=·=·，则点O为△ABC的垂心
C．若+2+3=0，则△ABC的面积与△ABO的面积之比为3∶1
D．若·=0，·=，则△ABC为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知i为虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________．
13．已知e为单位向量，向量a满足a·e=2，|a-λe|=1，则|a|的最大值为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=120°，∠DAC=30°，AB=1，AC=3，AD=2，=x+y(x，y∈R)，则x+y= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝4，a·(b－a)＝2．
(1)求向量a与b的夹角；
(2)若|ta－b|＝2，求实数t的值．
16．（15分）
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，=λ，BC=2AB=2AD=2．
(1)若⊥，求实数λ的值；
(2)若λ=，求与的夹角θ的余弦值．
17．（15分）
如图所示，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，==，AC与MN相交于点E．
(1)若=λ+μ，求实数λ和μ的值；
(2)求．
18．（17分）
如图，在直角梯形ABCD中，||＝2，∠CDA＝，＝2，∠B为直角，E为AB的中点，＝λ(λ∈R，0≤λ≤1)．
(1)当λ＝时，用向量，表示向量；
(2)求||的最小值，并指出相应的实数λ的值．
19．（17分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cos A＝．
(1)若△ABC的面积为3，求·的值；
(2)设m＝，n＝，且m∥n，求sin(B－2C)的值．