单元验收评价数学试题（四）三角函数、解三角形——2026届高三数学一轮复习（PDF版，含解析）

■
2026年高考一轮复习单元验收评价测试（四）
17(15分)
数学答题卡
考号：
学校：
姓名：
班级：
注意事项
1.答题前请将姓名、班级、考场、座
号和准考证号填写清楚。
客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，
16(15分)
修改时用橡皮擦干净。
3.主观题必须使用黑色签字笔书写。
贴条形码区
4.必须在题号对应的答题区域内作答
超出答题区域书写无效。
5.
保持答卷清洁完整。
正确填涂■缺考标记口
第I卷选择题（共58分）
1因回@回6风回@回II因回@回
2风回@回7囚回网回
3风回@D
8Aa@回
4因回@回9因回回回
5囚回a回I0因回@回
第Ⅱ卷非选择题（共92分）
13
15(13分)
第1页共2页
■
■
18(17分)
19(17分)
第2页共2页
■秘密★启用前 A．等腰三角形 B．直角三角形
2026 年高考一轮复习单元验收评价试题（四） C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
π π
6．已知 <θ< ，若 a= ，b= - cos2θ，c= -cosθ，则 a，b，c 的大小关系是( )
数学
A．c>a>b B．b>c>a
本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试范围：三角函数、解三角形。 C．c>b>a D．b>a>c
注意事项： 7．如图，有一古塔，在 A 点测得塔底位于北偏东 30°方向上的点 D 处，在 A 点测得塔顶 C 的仰角为 30°，在
A 点的正东方向且距 D 点 75 m 的 B 点测得塔底位于北偏西 45°方向上(A，B，D 在同一水平面)，则塔的高度
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
CD 约为( ≈1．414)( )
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．角-863°的终边所在的象限是( )
A．34．20 m B．35．35 m
A．第一象限 B．第二象限
C．35．75 m D．36．20 m
C．第三象限 D．第四象限 π π
8．已知 α，β是函数 f(x)=3sin -2 在 ， 上的两个零点，则 cos(α+β)等于( )
2．已知 sin α-cosα= ，则 sin 2α等于( )
A． B．
A．- B．-
C．0 D．1
C． D．
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
3．已知 cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则 cos(α-β)等于( )
9．在△ABC 中，若 A>B，则( )
A．-3m B．-
A．sin A>sin B B．cos AC． D．3m
C．sin 2A>sin 2B D．cos 2Aπ
4．当 x∈[0，2π]时，曲线 y=sin x 与 y=2sin 的交点个数为( )
π
10．已知函数 f(x)= sin ωx-cos ωx(ω>0)图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，则( )
A．3 B．4
A．ω=2 B．函数 f(x)为奇函数
C．6 D．8
π π
5．在△ABC 中，若 c+acos C=b+acos B，则△ABC 的形状是( ) C．函数 f(x)的图象关于点 ， 对称 D．函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称
数学试题（四） 第 1 页 共 4 页 数学试题（四） 第 2 页 共 4 页
{#{QQABSQSQggAIAAAAARgCEwEqCAIQkAGACQoGAEAUoAABCRFABAA=}#}
π
11．已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) ， 的图象过点 A(0，1)和 B(x0，-2)(x0>0)，且满足|AB| = ，则 17．（15 分） min
π
下列结论正确的是 在校园美化、改造活动中，要在半径为 15 m，圆心角为 的扇形空地 EOF 的内部修建一矩形观赛场地 ABCD，( )
π 如图所示．取 CD 的中点 M，记∠MOC=θ．
A．φ=
π
B．ω=
C．当 x∈ ， 时，函数 f(x)的值域为 ，
(1)写出矩形 ABCD 的面积 S 与角 θ的函数关系式；
D．函数 y=x-f(x)有三个零点
(2)求当角 θ为何值时，矩形 ABCD 的面积最大，并求出最大面积．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos C= ，a=3，b=4，则 cos B= ．
π π π
13．已知 α∈ ， ，且 cos = cos 2α，则 sin = ． 18．（17 分）
已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sin(B－C)·tan A＝sin Bsin C．
14．在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边．已知 a=2，2sin B+2sin C=3sin A．则 sin A 的最大值
(1)若 A＝B，求 2sin A 的值；
为 ．
2 2
a ＋b
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (2)证明 2 为定值． c
15．（13 分）
在△ABC 中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1．
(1)求 sin∠ABC；
(2)若 D 为 BC 上一点，且∠BAD=90°，求△ACD 的面积．
19．（17 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 sin B+sin C=2sin Acos B．
16．（15 分）
2 2
(1)证明：a -b =bc；
已知函数 2
π
f(x)= sin ωxcos ωx+cos - (ω>0)的最小正周期为 π．
(2)如图，点 D 在线段 AB 的延长线上，且 AB=3，BD=1，当点 C 运动时，探究 CD-CA 是否为定值？
(1)求 ω的值与 f(x)的单调递增区间；
π π
(2)若 x0∈ ， 且 f(x0)= ，求 cos 2x0 的值．
数学试题（四） 第 3 页 共 4 页 数学试题（四） 第 4 页 共 4 页
{#{QQABSQSQggAIAAAAARgCEwEqCAIQkAGACQoGAEAUoAABCRFABAA=}#}2026 年高考一轮复习单元验收评价试题（四）数学答案与解析
1.C 解析 -863°=-2×360°-143°，则-863°和-143°的终边相同，故角-863°的终边在第三象限.
2.A 25解析 ∵(sin α-cosα)2=sin2α+cos2α-2sin αcosα=1-sin 2α= ，∴sin 2α=- 9 .
16 16
3.A 解析 由 cos(α+β)=m 得 cosαcosβ-sin αsin β=m.①由 tan αtan β=2 sin sin 得 =2，②由①②得
cos cos
cos cos = ，
所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sin αsin β=-3m.
sin sin = 2 ，
4.C 解析 因为函数 y=sin x的最小正周期 T=2π y=2sin 3 π T =2π，函数 的最小正周期 1 ，所以在[0，2π]6 3
π
上，函数 y=2sin 3 有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，
6
由图可知，两函数图象有 6个交点.
5. C 解析 已知 c+acos C=b+acos B，A，B，C为△ABC的内角，由正弦定理可得 sin C+sin Acos C=sin B+sin
Acos B，即 sin(A+B)+sin Acos C=sin(A+C)+sin Acos B，即 sin Acos B+sin Bcos A+sin Acos C=sin Acos C+sin Ccos
A+sin Acos B，化简得 sin Bcos A=sin Ccos A，即 cos A(sin B-sin C)=0，∴cos A=0或 sin B=sin C，∴A为直角
或 B=C，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.
2
6.C tan sin cos 解析 a= 2 = 2 2 =sin θcosθ b=
1
， (1-cos2θ)=sin2θ 1，c= -cosθ=sin =sin θtan θ π π，又 <θ< ，则 sin θ
tan +1 sin +cos 2 cos cos 4 3
2 3
∈ ， ，且 tan θ>1>sin θ> 2>cosθ>1，所以 c=sin θtan θ>b=sin2θ>a=sin θcosθ.
2 2 2 2
7.B 解析 由已知可得，在△ABD 中，有∠BAD=60°，∠ABD=45°，BD=75，根据正弦定理 = ，
sin∠ sin∠
可得 AD= ·sin∠ABD= 75× 23 =25 6.在 Rt△ADC 中，有∠CAD=30°，AD=25 6，tan∠CAD=

，所以
sin∠ 2
2
CD=ADtan 30°=25 6× 3=25 2≈35.35.
3
8.B 解析 令 f(x)=0，得 3sin 2 + π =2 sin 2 + π =2 π π π 7π，∵x∈ 0， ，∴2x+ ∈ ， ，∵α，β是函数
6 6 3 2 6 6 6
f(x)=3sin 2 + π -2 0 π在 ， 上的两个零点，则 α， β是 sin 2 + π = 2 在 0 π， 上的两个根，故
6 2 6 3 2
2α+π+2β+π=π α+β=π，cos(α+β)=cos π=1.
6 6 3 3 2
9.ABD 解析 在△ABC中，若 A>B，由三角形中大边对大角，可得 a>b，又由正弦定理，可知 sin A>sin B，
数学答案 第 1 页 共 6 页
{#{QQABSQSQggAIAAAAARgCEwEqCAIQkAGACQoGAEAUoAABCRFABAA=}#}
故 A正确；又由余弦函数在(0，π)上单调递减，可知 cos A2B＝2sin Bcos B π，当 A> 时，cos A<0，所以 sin 2A2
2sin2B，由 A可知 cos 2A10.AC 解析 f(x)= 3sin ωx-cos ωx=2 3 sin 1 cos =2sin π ，因为函数图象的两条相邻对称轴
2 2 6
π 1T=π T=π T=2π之间的距离为 ，所以 ，则 ，所以 =π，解得ω=2 π，所以 f(x)=2sin 2 ，故 A正确；显然，
2 2 2 6
f(x) B 5π 5π π函数 为非奇非偶函数，故 错误；对于 C选项，f =2sin 2 × =2sin(-π)=0，所以函数 f(x)
12 12 6
5π 2π 2π π 7π
的图象关于点 ，0 对称，故 C正确；对于 D选项，f =2sin 2 × =2sin =-1，所以函数 f(x)
12 3 3 6 6
2π
的图象不关于直线 x= 对称，故 D错误.
3
11.ABD 解析 点 A(0，1) 1 π π代入解析式得，2sin(ω×0+φ)=1，即 sin φ= ，又∵ < ，∴φ= ，故 A项正确；
2 2 6
由|AB|min= 13= 32 + 2
π π
0，解得 x0=±2，又∵x0>0，∴x0=2，由A项可知 f(x)=2sin + ，则 f(2)=2sin 2 + =-2，6 6
因此 sin 2 + π =-1 2ω+π=3π+2kπ(k N) ω=2π，∴ ∈ ，解得 +kπ(k∈N)，又∵A(0，1)，B(2，-2)和|AB|
6 6 2 3 min
= 13，
2π<2<2π π∴ ，解得 <ω<π ω=2π，∴ ，故 B AB f(x)=2sin 2π + π x 1项正确；由 选项可知， ，则当 ∈ ，1 时，
4 4 3 3 6 4
2πx+π 0 5π∈ ， ，此时函数 f(x)的值域为 0，2 ，故 C 2π π项错误；由五点作图法作出 f(x)=2sin + 的图象及
3 6 6 3 6
y=x的图象，如图所示，
2π π
通过图象可知 f(x)=2sin + 与 y=x的图象有 3个交点，因此函数 y=x-f(x)有三个零点，故 D项正确.
3 6
1 2 2+ 2 212. c2=a2+b2-2abcos C=32+42-2×3×4× =9 c=3 cos B= =9+9 16=1解析 由余弦定理知， ，解得 ，所以 .
9 3 2 2×3×3 9
13. 14 π π π解析 因为 cos = 2cos 2α，所以 cos αcos +sin αsin = 2(cos2α-sin2α)，所以 cos α+sin
4 4 4 4
α=2(cos α-sin α)(cos α+sin α) α 0 π 1 π 1，又 ∈ ， ，所以 cos α+sin α>0，所以 cos α-sin α= ，所以 2cos + = ，
2 2 4 2
即 cos + π = 2，又α+π π 3π∈ ， ，所以 sin + π = 1 cos2 + π = 14.
4 4 4 4 4 4 4 4
14. 4 5 解析 因为 a=2，2sin B+2sin C=3sin A，所以由正弦定理可得 b+c=3.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A，
9
数学答案 第 2 页 共 6 页
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2
得 22=(b+c)2-2bc-2bccos A，整理得 cos A= 5 -1.因为 bc≤ + =9，当且仅当 b=c=3 1时，等号成立，所以 cos A≥ ，
2 2 4 2 9
又 sin2A=1-cos2A，所以 sin2A≤80 A 4 5，又 ∈(0，π)，即 081 9
15.解 (1)由余弦定理可得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC
=4+1-2×2×1×cos 120°=7，
则 BC= 7，
由正弦定理可得
1× 3
sin∠ABC= ·sin∠ = 2 = 21.
7 14
(2)由三角形面积公式可得
1
△ 2 · sin90°=
1
=4，
△ 2 · sin30°
则 S△ACD=
1S
5 △ABC
=1× 1 × 2 × 1 × sin120° = 3.
5 2 10
16.解 (1)f(x)= 3sin ωxcos ωx+sin2ωx-1
2
= 3sin ωxcos ωx+1 cos2 -1
2 2
= 3sin 2ωx-cos2 =sin 2 π ，
2 2 6
因为函数 f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
2π
所以 =π，解得ω=1，
2
所以 f(x)=sin 2 π ，
6
令 2kπ-π≤2x-π≤2kπ+π(k∈Z)，
2 6 2
kπ-π得 ≤x≤kπ+π(k∈Z)，
6 3
所以 f(x)的单调递增区间为 π π π + π， (k∈Z).
6 3
(2)由(1)知 f(x)=sin 2 π ，
6
则 f(x0)=sin 2 0
π = 3，
6 3
x π 7π π π因为 0∈ ， ，所以 2x - ∈ ，π ，3 12 0 6 2
数学答案 第 3 页 共 6 页
{#{QQABSQSQggAIAAAAARgCEwEqCAIQkAGACQoGAEAUoAABCRFABAA=}#}
cos 2 π
2
所以 0 =- 1 sin2 2
π =- 1 30 =-
6
，
6 6 3 3
π π
所以 cos 2x0=cos 2 0 +6 6
=cos 2 π π π π0 cos -sin 2 0 sin6 6 6 6
=- 6× 3- 3×1
3 2 3 2
=-3 2+ 3.
6
17. π解 (1)由题可知，θ∈ 0， ，
3
在 Rt△MOC中，OM=15cos θ，MC=15sin θ，
∴BN=MC=15sin θ，
在 Rt△BON ON= =15sin 中， =5 3sin θ，
tan∠ 3
∴MN=OM-ON=15cos θ-5 3sin θ，
∴S=2·BN·MN=2×15sin θ× 15cos 5 3sin
=150 3 3 sin2 + 1 cos2 -75 3
2 2
=150 3sin 2 + π -75 3，θ∈ 0 π， .
6 3
(2) θ π∵ ∈ 0， ，
3
∴2θ+π π 5π∈ ， .
6 6 6
2θ+π=π θ=π∴当 ，即 时，Smax=75 3，6 2 6
π
故当θ= 时，矩形 ABCD的面积最大，最大值为 75 3 m2.
6
18.(1)解 由题得
（sin Bcos C－sin Ccos B）sin A
＝sin Asin C，
cos A
∵0即 sin Bcos C－sin Ccos B＝cos Asin C，
∵A＝B，
∴sin Acos C－sin Ccos A＝cos Asin C，
∴sin Acos C＝2cos Asin C.
又∵C＝π－2A，
数学答案 第 4 页 共 6 页
{#{QQABSQSQggAIAAAAARgCEwEqCAIQkAGACQoGAEAUoAABCRFABAA=}#}
∴sin Acos(π－2A)＝2cos Asin(π－2A)，
即－sin Acos 2A＝2cos Asin 2A，
即－sin A(1－2sin2A)＝4sin Acos2A，
整理得 2sin2A－1＝4－4sin2A，
解得 sin2A 5＝ .
6
(2)证明 由已知条件得
（sin Bcos C－sin Ccos B）sin A
＝sin Bsin C，
cos A
则 sin Asin Bcos C－sin Asin Ccos B＝
cos Asin Bsin C，
故 sin Asin Bcos C＝
sin C(cos Asin B＋sin Acos B)，
∴sin Asin Bcos C＝sin Csin(A＋B)，
∵A＋B＝π－C，
∴sin Asin Bcos C＝sin2C.
2 2 2
由余弦定理得 cos C a ＋b －c＝ ，
2ab
ab·a
2＋b2－c2
由正弦定理得 ＝c2，
2ab
a2＋b2 a2＋b2
整理得 ＝3，即 为定值.
c2 c2
19.(1)证明 sin B+sin C=2sin Acos B，
由正弦定理可得 b+c=2acos B，
2 2 2
又∵cos B= + ，
2
2+ 2 2
∴b+c= ，

∴bc+c2=a2+c2-b2，
∴a2-b2=bc.
(2)解 由(1)知 b+c=2acos∠CBA，
∴cos∠CBA= + = +3，
2 2
在△BCD中，BC=a，BD=1，
2 2
∴cos∠CBD= +1 ，
2
数学答案 第 5 页 共 6 页
{#{QQABSQSQggAIAAAAARgCEwEqCAIQkAGACQoGAEAUoAABCRFABAA=}#}
又∵cos∠CBD=cos(π-∠CBA)=-cos∠CBA，
2
- +3= +1
2
∴ ，
2 2
∴-b-3=1+a2-CD2，∴CD2=4+a2+b，
又∵a2-b2=bc，c=3，
∴CD2=4+b2+3b+b=b2+4b+4=(b+2)2，
∵CD>0，∴CD=b+2，
∴CD-CA=b+2-b=2.
综上所述，CD-CA为定值 2.
数学答案 第 6 页 共 6 页
{#{QQABSQSQggAIAAAAARgCEwEqCAIQkAGACQoGAEAUoAABCRFABAA=}#}