【圆的方程】
【知识梳理】
一、圆的定义
平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合（轨迹）叫做圆。
核心要素：圆心（确定圆的位置）、半径（确定圆的大小），二者缺一不可。
教材例题关联：常通过定义推导圆的标准方程，如人教版必修2中“根据两点间距离公式推导圆心为、半径为的圆的方程”。
高考真题体现：2023年全国乙卷文科第6题，通过圆上点到定点的距离为定长，间接求圆心坐标。
二、圆的三种方程形式
1.标准方程（最常用，优先用于已知圆心和半径的场景）
形式：（）
其中，圆心为，半径为；若圆心在原点，方程简化为。
关键应用：
直接书写：已知圆心、半径，方程为（常考符号细节）。
求圆心/半径：由方程，得圆心、半径（注意圆心坐标符号与方程相反）。
高考真题示例：2022年新高考I卷第14题，已知圆过两点且圆心在某直线上，先设标准方程，列方程求解圆心和半径。
2.一般方程（适用于已知圆上三点或方程含二次项的场景）
形式：（，此为“圆的条件”，若等于0为点圆，小于0无轨迹）
与标准方程的转化：通过“配方”实现
配方过程：
即
由此得：圆心，半径（高频计算点，易漏负号和系数）。
常考模拟题场景：已知圆过、、三点，代入一般方程列方程组求，再判断是否满足圆的条件。
3.参数方程（适用于求圆上点的最值、轨迹问题，高考选填题高频）
形式：若圆的标准方程为，则参数方程为：
（为参数，几何意义：圆心到圆上点的连线与x轴正方向的夹角）
核心应用：求圆上点到定点的距离最值。
例：圆上的点到点的距离最大值，用参数方程设圆上点为，距离公式化简后结合三角函数最值（最大值为“圆心到定点距离+半径”）。
教材例题关联：人教版必修2“用参数方程表示圆上点的坐标，求最值”，高考2021年浙江卷第10题曾用此方法求解范围问题。
三、确定圆的方程的方法（解题核心：“两要素法”——求圆心和半径）
1.定义法（已知定点到圆上点的距离为定长）
步骤：①确定圆心（如定点、线段垂直平分线的交点）；②计算半径（圆心到圆上某点的距离）；③代入标准方程。
示例：已知圆的圆心在x轴上，且过点和，先求两点垂直平分线方程（），与x轴交点（圆心），再算半径，方程为。
2.待定系数法（最通用，分“设标准方程”和“设一般方程”）
设标准方程：已知圆心在某直线上（如y=x）、或已知半径，设，代入已知条件列方程求解（a,b,r）。
高考真题：2020年全国III卷文科第11题，已知圆与y轴相切且过两点，设标准方程后利用“与y轴相切则半径等于圆心横坐标绝对值”列方程。
设一般方程：已知圆上三点、或方程中含多个未知系数，设，代入三点坐标得三元一次方程组，求解（D,E,F），最后验证。
四、点与圆的位置关系（基础考点，常结合最值、存在性问题）
设点，圆，计算点到圆心的距离，则：
1.点在圆内：（等价于）；
常考场景：若点在圆内，代入得，且满足圆的条件，联立求m范围（模拟题高频）。
2.点在圆上：（等价于）；
应用：已知点在圆上，代入方程求参数，如2024年北京模拟题，点在圆上，代入得，求k值。
3.点在圆外：（等价于）；
【考点一：圆的方程】
【例题】1．（25-26高二上·全国·随堂练习）过且与两坐标轴都相切的圆的方程为 ．
2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知圆经过，两点，圆心在轴上，则圆的标准方程是 ．
【针对训练】3．（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程：
(1)圆心在点，且过点；
(2)过点和点，半径为；
(3)过三点.
4．（2025高三·全国·专题练习）到两定点和的距离的比等于2（即），求动点的轨迹方程．
5．（2025高三·全国·专题练习）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 ．
【解题策略】
一、“已知圆心与半径”类题型解题策略
1.方程形式选择：优先选用圆的标准方程，直接代入圆心与半径即可，无需额外复杂计算。
2.关键注意点：若圆心坐标含负号，代入方程时需注意符号转换（如圆心，方程中应为）；半径需确保为正数，若题目给出“直径”，需先换算为半径（半径=直径/2）。
二、“已知圆上点”类题型解题策略
1.已知圆上三点
方程形式选择：选用一般方程，避免标准方程中多个未知量（）的复杂求解。
核心步骤：将三点坐标分别代入一般方程，得到关于的三元一次方程组，解方程组求出；最后必须验证，确保方程表示圆（非点圆或无轨迹）。
2.已知圆上两点且附加条件（如圆心在某直线上、圆与某轴相切等）
方程形式选择：优先设标准方程，利用“两点在圆上”列方程（两点代入标准方程得两个等式），再结合附加条件列第三个方程，联立求解。
附加条件转化技巧：
若“圆心在直线”上，直接将代入方程组；
若“圆与x轴相切”，则半径（圆心纵坐标的绝对值）；若“圆与y轴相切”，则半径（圆心横坐标的绝对值）。
【考点二：圆的对称性】
【例题】1．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于直线对称，则 ．
2．（24-25高二上·北京·期中）过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 .
【针对训练】1．（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 .
2．（23-24高二上·宁夏银川·期末）若圆（，）被直线平分，则的最大值为 .
3．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）圆 关于直线对称的圆的方程为 .
【解题策略】
一、“利用圆的中心对称（关于圆心对称）”类题型解题策略
1.核心特性依托：圆是中心对称图形，对称中心为圆心；圆上任意一点关于圆心的对称点必在圆上。
2.常见题型适配策略：
求圆上点的对称点：直接套用对称点公式，无需额外计算，只需明确圆心坐标即可；若已知圆的方程，先通过方程（标准/一般式）求出圆心，再代入公式。
利用中心对称求圆的方程：若已知圆与圆C'关于某点（非圆心）中心对称，先求已知圆圆心关于该对称点的对称点（即所求圆圆心），半径与已知圆相等，再代入标准方程；若圆上两点关于圆心对称，可直接通过两点坐标求圆心（圆心为两点中点）。
3.关键注意点：中心对称问题中，“半径不变”是隐含条件，无需额外推导，只需聚焦“圆心的对称转化”。
二、“利用圆的轴对称（关于直径所在直线对称）”类题型解题策略
1.核心特性依托：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是对称轴；过圆心的直线必为圆的对称轴，且圆上任意一点关于对称轴的对称点仍在圆上。
2.常见题型适配策略：
判断直线是否为圆的对称轴：只需验证“直线是否过圆心”，若直线方程满足圆心坐标（代入直线方程等式成立），则为对称轴；若已知圆的方程，先求圆心，再代入直线方程判断。
已知圆的对称轴求参数（如圆方程中含参数）：根据“对称轴过圆心”，将圆心坐标代入对称轴直线方程，列方程求解参数；若对称轴为坐标轴（如x轴、y轴），则圆心对应坐标为0（x轴为对称轴时，圆心纵坐标；y轴为对称轴时，圆心横坐标）。
利用轴对称求圆上点的最值/轨迹：若所求问题与轴对称相关（如“圆上点到两条对称直线的距离之和”），可利用对称性将其中一条直线上的距离转化为另一条直线上的距离，简化计算；若圆上两点关于某直线对称，则该直线必过圆心，可通过此条件求圆心或直线参数。
3.关键转化技巧：轴对称问题的核心是“对称轴过圆心”，所有条件均可围绕这一特性转化为“圆心与直线的位置关系”，避免复杂的点对称计算。
三、“圆与对称图形（如轴对称函数、中心对称图形）结合”类题型解题策略
1.核心思路：先明确对称图形的对称中心/对称轴，再结合圆的对称性，找到“圆的圆心与对称图形的对称元素”的关联，建立方程求解。
2.常见场景适配策略：
圆与轴对称函数（如二次函数、绝对值函数）结合：先求函数的对称轴，根据“圆与函数图像有对称关系”（如圆上点关于函数对称轴对称后仍在圆上），得出“函数的对称轴必为圆的对称轴”，进而推导圆心在函数对称轴上，列方程求圆心参数。
圆与中心对称图形（如反比例函数、奇函数图像）结合：先求图形的对称中心，根据“圆与图形有中心对称关系”，得出“图形的对称中心必为圆的对称中心（圆心）”，直接确定圆心坐标，再结合其他条件（如圆过某点）求半径。
3.关键注意点：此类题型需先独立分析非圆图形的对称性，再与圆的对称性建立联系，避免混淆两种图形的对称特性；若题目未明确对称关系，可通过“圆上任意一点的对称点仍在圆上”反向推导对称元素与圆心的关系。
【考点三：与圆有关的最值问题】
【例题】1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，，与的交点为，为原点，当在实数范围内变化时，的取值范围是 ．
【针对训练】1．（2025高二·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最小值是 ．
2．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 .
3．（24-25高一下·广东·期中）在圆心在原点的单位圆上，有三个不同的点A，B，C，AB为直径，，点，则的取值范围是 ．
4．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．
【解题策略】
一、核心原则：几何优先，聚焦“圆心、半径与距离”
圆的最值问题本质是“圆上点的极端位置”问题，优先利用圆的几何性质（圆心到点/直线的距离、两圆圆心距）求解，避免复杂代数运算；若几何法受限，再用参数方程、函数等代数方法辅助。
二、分类型解题策略
1.点与圆的距离最值（含定点到圆上点、圆上点到圆上点）
（1）定点到圆上点的距离最值
核心依据：圆上点到定点的距离的极端位置，在“定点与圆心的连线与圆的交点”上（近点为连线靠近定点的交点，远点为远离定点的交点）。
解题策略：
①设圆的圆心为、半径为，定点为；
②计算圆心到定点的距离；
③距离最大值：（远点距离），最小值：（近点距离，若在圆内，最小值为）。
关键注意点：无需列函数或参数方程，直接用“与的组合”计算，效率最高。
（2）两圆上点的距离最值（跨圆距离）
核心依据：两圆上点的距离极端位置，在“两圆圆心的连线与两圆的交点”上。
解题策略：
①设两圆的圆心为，半径为，圆心距为；
②分情况求最值：
外离/外切/相交/内切：最大值均为（两圆外侧交点距离）；
外离：最小值为（两圆内侧交点距离）；
外切/相交/内切：最小值为（两圆有公共点）；
内含：最小值为（大圆内侧与小圆外侧交点距离）。
2.直线与圆的距离最值（含圆心到直线、圆上点到直线）
（1）圆心到直线的距离（基础参考量）
核心依据：圆心到直线的距离是圆与直线位置关系的判断标准，也是后续求圆上点到直线距离最值的基础。
解题策略：直接用点到直线的距离公式（直线，圆心），无需额外转化。
（2）圆上点到直线的距离最值
核心依据：圆上点到直线的距离的极端位置，在“圆心到直线的垂线段与圆的交点”上（近点为垂线段靠近直线的交点，远点为远离直线的交点）。
解题策略：
①计算圆心到直线的距离；
②距离最大值：（远点距离），最小值：（近点距离，若直线与圆相交，最小值为）。
关键注意点：无需联立直线与圆的方程求交点，直接用“与的组合”，避免代数运算冗余。
3.圆上点的坐标及表达式最值（横纵坐标、线性/非线性表达式）
（1）圆上点的横/纵坐标最值
核心依据：圆上点的横/纵坐标的极端值，在圆与x轴/y轴的交点，或圆心横/纵坐标与半径的组合。
解题策略：
①设圆心为，半径为；
②横坐标：最大值，最小值；
③纵坐标：最大值，最小值。
（2）圆上点的线性表达式最值（如、等）
方法1：几何法（推荐，更快捷）
核心依据：线性表达式表示斜率固定的直线，的最值对应直线与圆有公共点时的“截距极端值”，此时直线与圆相切（截距最大/最小）。
解题策略：
①设，整理为直线方程；
②由“直线与圆相切”得圆心到直线的距离等于半径，即；
③解绝对值方程得的两个值，即最大值与最小值。
方法2：参数方程法（辅助，适合三角函数熟悉者）
核心依据：圆的参数方程将横纵坐标转化为三角函数，线性表达式可化为“”的形式，其值域为。
解题策略：
①用圆的参数方程代入线性表达式；
②整理为的形式（为常数）；
③利用三角函数值域求最值：最大值，最小值。
（3）圆上点的非线性表达式最值（如、等）
类型1：斜率型（，表示圆上点与定点连线的斜率）
核心依据：斜率最值对应“定点与圆上点的连线为圆的切线”时的斜率。
解题策略：
①设斜率为，得直线方程（整理为标准式）；
②由“直线与圆相切”得圆心到直线的距离等于半径，列方程求的最值。
类型2：距离平方型（，表示圆上点与定点距离的平方）
核心依据：距离平方的最值与距离的最值同步，无需额外计算。
解题策略：先求圆上点到定点的距离最值（见“点与圆的距离最值”），再平方即得结果。
4.圆的面积最值（本质是半径最值）
核心依据：圆的面积，面积最值等价于半径的最值。
解题策略：
①根据题目条件（如圆过定点、圆心在某直线上），将半径转化为“圆心到定点的距离”（如过定点的圆，）；
②求半径的最值（即求圆心到定点的距离最值，结合圆心的约束条件，如圆心在某直线上时，距离最值为“定点到直线的距离”）；
③代入面积公式得最值。
三、通用关键注意点
1.几何优先：所有最值问题先尝试“找圆心、算距离、结合半径”，避免直接用代数法（如联立方程、求导）增加计算量；
2.极端位置：圆上点的极端位置必在“圆心与关联点（定点、直线垂足）的连线上”，无需遍历所有点；
3.公式记忆：核心公式（点到直线距离、两圆圆心距与半径的组合）需熟练，避免混淆最值的加减关系。
一、单选题
1．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2006·湖南·高考真题）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）
A．36 B．18 C． D．
5．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2017·全国·高考真题）已知点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·重庆·三模）已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（24-25高三上·北京·期中）已知定点，，若点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2025·陕西汉中·二模）设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ．
10．（2025·安徽·模拟预测）已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为 .
11．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
12．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
13．（2025·湖北十堰·三模）定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ．
14．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则【圆的方程】
【知识梳理】
一、圆的定义
平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合（轨迹）叫做圆。
核心要素：圆心（确定圆的位置）、半径（确定圆的大小），二者缺一不可。
教材例题关联：常通过定义推导圆的标准方程，如人教版必修2中“根据两点间距离公式推导圆心为、半径为的圆的方程”。
高考真题体现：2023年全国乙卷文科第6题，通过圆上点到定点的距离为定长，间接求圆心坐标。
二、圆的三种方程形式
1.标准方程（最常用，优先用于已知圆心和半径的场景）
形式：（）
其中，圆心为，半径为；若圆心在原点，方程简化为。
关键应用：
直接书写：已知圆心、半径，方程为（常考符号细节）。
求圆心/半径：由方程，得圆心、半径（注意圆心坐标符号与方程相反）。
高考真题示例：2022年新高考I卷第14题，已知圆过两点且圆心在某直线上，先设标准方程，列方程求解圆心和半径。
2.一般方程（适用于已知圆上三点或方程含二次项的场景）
形式：（，此为“圆的条件”，若等于0为点圆，小于0无轨迹）
与标准方程的转化：通过“配方”实现
配方过程：
即
由此得：圆心，半径（高频计算点，易漏负号和系数）。
常考模拟题场景：已知圆过、、三点，代入一般方程列方程组求，再判断是否满足圆的条件。
3.参数方程（适用于求圆上点的最值、轨迹问题，高考选填题高频）
形式：若圆的标准方程为，则参数方程为：
（为参数，几何意义：圆心到圆上点的连线与x轴正方向的夹角）
核心应用：求圆上点到定点的距离最值。
例：圆上的点到点的距离最大值，用参数方程设圆上点为，距离公式化简后结合三角函数最值（最大值为“圆心到定点距离+半径”）。
教材例题关联：人教版必修2“用参数方程表示圆上点的坐标，求最值”，高考2021年浙江卷第10题曾用此方法求解范围问题。
三、确定圆的方程的方法（解题核心：“两要素法”——求圆心和半径）
1.定义法（已知定点到圆上点的距离为定长）
步骤：①确定圆心（如定点、线段垂直平分线的交点）；②计算半径（圆心到圆上某点的距离）；③代入标准方程。
示例：已知圆的圆心在x轴上，且过点和，先求两点垂直平分线方程（），与x轴交点（圆心），再算半径，方程为。
2.待定系数法（最通用，分“设标准方程”和“设一般方程”）
设标准方程：已知圆心在某直线上（如y=x）、或已知半径，设，代入已知条件列方程求解（a,b,r）。
高考真题：2020年全国III卷文科第11题，已知圆与y轴相切且过两点，设标准方程后利用“与y轴相切则半径等于圆心横坐标绝对值”列方程。
设一般方程：已知圆上三点、或方程中含多个未知系数，设，代入三点坐标得三元一次方程组，求解（D,E,F），最后验证。
四、点与圆的位置关系（基础考点，常结合最值、存在性问题）
设点，圆，计算点到圆心的距离，则：
1.点在圆内：（等价于）；
常考场景：若点在圆内，代入得，且满足圆的条件，联立求m范围（模拟题高频）。
2.点在圆上：（等价于）；
应用：已知点在圆上，代入方程求参数，如2024年北京模拟题，点在圆上，代入得，求k值。
3.点在圆外：（等价于）；
【考点一：圆的方程】
【例题】1．（25-26高二上·全国·随堂练习）过且与两坐标轴都相切的圆的方程为 ．
【答案】或
【分析】先根据已知确定圆心坐标，设圆的标准方程为，将点代入求解即可得圆的方程．
【详解】因为圆过且与两坐标轴都相切，可设圆心为
则圆的标准方程为，
则，
解得或，
所以圆的标准方程为或．
故答案为： 或．
2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知圆经过，两点，圆心在轴上，则圆的标准方程是 ．
【答案】
【分析】利用两点距离公式，即可求解圆心和半径得解，或者利用圆的几何性质，根据弦的垂直平分线经过圆心可得圆心，即可由两点距离求解半径得解.
【详解】方法一：圆心在轴上，设圆心坐标为，半径为，
则，解得，
所以圆的标准方程为．
方法二：弦的中点为，且直线平行于轴，
则弦的垂直平分线为直线，即圆心．
所以半径，
则圆的标准方程为．
故答案为：
【针对训练】3．（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程：
(1)圆心在点，且过点；
(2)过点和点，半径为；
(3)过三点.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用两点的距离公式及圆的标准方程即可求解；
（2）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解；
（3）首先设出圆的标准方程，再代入三点坐标，即可求解.
【小题1】所求圆的半径.
又因为圆心为，
所以所求圆的方程为.
【小题2】设圆心坐标为，则圆的方程为.
因为是圆上的点，
所以解得或，
因此，所求圆的方程为或.
【小题3】设圆的标准方程为，
得，得，
所以圆的标准方程是.
4．（2025高三·全国·专题练习）到两定点和的距离的比等于2（即），求动点的轨迹方程．
【答案】
【分析】根据题设建立方程求解即可.
【详解】，，
代入，得，
化简得，
则动点的轨迹方程为．
5．（2025高三·全国·专题练习）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 ．
【答案】或
【分析】设圆心坐标为，半径为，由题意可得，求解即可.
【详解】设圆心坐标为，半径为，则，解得或.
所以圆的标准方程为或.
故答案为：或.
【解题策略】
一、“已知圆心与半径”类题型解题策略
1.方程形式选择：优先选用圆的标准方程，直接代入圆心与半径即可，无需额外复杂计算。
2.关键注意点：若圆心坐标含负号，代入方程时需注意符号转换（如圆心，方程中应为）；半径需确保为正数，若题目给出“直径”，需先换算为半径（半径=直径/2）。
二、“已知圆上点”类题型解题策略
1.已知圆上三点
方程形式选择：选用一般方程，避免标准方程中多个未知量（）的复杂求解。
核心步骤：将三点坐标分别代入一般方程，得到关于的三元一次方程组，解方程组求出；最后必须验证，确保方程表示圆（非点圆或无轨迹）。
2.已知圆上两点且附加条件（如圆心在某直线上、圆与某轴相切等）
方程形式选择：优先设标准方程，利用“两点在圆上”列方程（两点代入标准方程得两个等式），再结合附加条件列第三个方程，联立求解。
附加条件转化技巧：
若“圆心在直线”上，直接将代入方程组；
若“圆与x轴相切”，则半径（圆心纵坐标的绝对值）；若“圆与y轴相切”，则半径（圆心横坐标的绝对值）。
【考点二：圆的对称性】
【例题】1．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于直线对称，则 ．
【答案】3
【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可．
【详解】由题意得直线过圆心，代入直线方程有，
解得，
故答案为：3．
2．（24-25高二上·北京·期中）过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 .
【答案】
【分析】根据圆的对称性先判定直线过圆心，利用两点式计算直线方程即可.
【详解】因为直线将的面积分为相等的两部分，
所以该直线过圆心，由两点式知该直线方程为.
故答案为：
【针对训练】1．（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 .
【答案】4
【分析】先求出圆的圆心，然后由题意可知直线过圆心，则可得所以，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】由，得，
所以曲线表示的是以为圆心的圆，
因为直线是曲线的一条对称轴，
所以直线过点，
所以，即
所以
（当且仅当时，等号成立）
故答案为：4
2．（23-24高二上·宁夏银川·期末）若圆（，）被直线平分，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】先求出圆心，再将圆心代入直线方程，再利用基本不等式求最值.
【详解】圆，即，圆心为，半径为，
因为圆（，）被直线平分，
则直线过圆心，即，
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
3．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）圆 关于直线对称的圆的方程为 .
【答案】
【分析】先求出圆心的对称点，然后求解对称圆的方程即可.
【详解】圆的圆心为，
则关于对称的点设为：，故.
与的中点为：，
中点在直线上，所以.
解得：，所以对称圆的圆心为：.
所以圆 关于直线对称的圆的方程为：
.
故答案为：.
【解题策略】
一、“利用圆的中心对称（关于圆心对称）”类题型解题策略
1.核心特性依托：圆是中心对称图形，对称中心为圆心；圆上任意一点关于圆心的对称点必在圆上。
2.常见题型适配策略：
求圆上点的对称点：直接套用对称点公式，无需额外计算，只需明确圆心坐标即可；若已知圆的方程，先通过方程（标准/一般式）求出圆心，再代入公式。
利用中心对称求圆的方程：若已知圆与圆C'关于某点（非圆心）中心对称，先求已知圆圆心关于该对称点的对称点（即所求圆圆心），半径与已知圆相等，再代入标准方程；若圆上两点关于圆心对称，可直接通过两点坐标求圆心（圆心为两点中点）。
3.关键注意点：中心对称问题中，“半径不变”是隐含条件，无需额外推导，只需聚焦“圆心的对称转化”。
二、“利用圆的轴对称（关于直径所在直线对称）”类题型解题策略
1.核心特性依托：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是对称轴；过圆心的直线必为圆的对称轴，且圆上任意一点关于对称轴的对称点仍在圆上。
2.常见题型适配策略：
判断直线是否为圆的对称轴：只需验证“直线是否过圆心”，若直线方程满足圆心坐标（代入直线方程等式成立），则为对称轴；若已知圆的方程，先求圆心，再代入直线方程判断。
已知圆的对称轴求参数（如圆方程中含参数）：根据“对称轴过圆心”，将圆心坐标代入对称轴直线方程，列方程求解参数；若对称轴为坐标轴（如x轴、y轴），则圆心对应坐标为0（x轴为对称轴时，圆心纵坐标；y轴为对称轴时，圆心横坐标）。
利用轴对称求圆上点的最值/轨迹：若所求问题与轴对称相关（如“圆上点到两条对称直线的距离之和”），可利用对称性将其中一条直线上的距离转化为另一条直线上的距离，简化计算；若圆上两点关于某直线对称，则该直线必过圆心，可通过此条件求圆心或直线参数。
3.关键转化技巧：轴对称问题的核心是“对称轴过圆心”，所有条件均可围绕这一特性转化为“圆心与直线的位置关系”，避免复杂的点对称计算。
三、“圆与对称图形（如轴对称函数、中心对称图形）结合”类题型解题策略
1.核心思路：先明确对称图形的对称中心/对称轴，再结合圆的对称性，找到“圆的圆心与对称图形的对称元素”的关联，建立方程求解。
2.常见场景适配策略：
圆与轴对称函数（如二次函数、绝对值函数）结合：先求函数的对称轴，根据“圆与函数图像有对称关系”（如圆上点关于函数对称轴对称后仍在圆上），得出“函数的对称轴必为圆的对称轴”，进而推导圆心在函数对称轴上，列方程求圆心参数。
圆与中心对称图形（如反比例函数、奇函数图像）结合：先求图形的对称中心，根据“圆与图形有中心对称关系”，得出“图形的对称中心必为圆的对称中心（圆心）”，直接确定圆心坐标，再结合其他条件（如圆过某点）求半径。
3.关键注意点：此类题型需先独立分析非圆图形的对称性，再与圆的对称性建立联系，避免混淆两种图形的对称特性；若题目未明确对称关系，可通过“圆上任意一点的对称点仍在圆上”反向推导对称元素与圆心的关系。
【考点三：与圆有关的最值问题】
【例题】1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆，表示该圆上的点与原点的连线的斜率，表示圆上的点到直线的距离，从而由直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】方法一 可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆．
设，则直线与圆有公共点（将所求问题转化为直线与圆有公共点进行求解是解题的关键），
所以，解得，所以的最大值为．
表示圆上的点到直线的距离，
因为圆心到直线的距离为，
所以，即．
方法二 可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆，
所以可以看作是圆：上一点与原点连线的斜率，
如图所示，OA，OB与圆分别相切于A，B，所以，连接MA，OM，
所以，所以，
所以圆上一点与原点连线的斜率的最大值为．设
所以
且，
所以．
故答案为：，.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，，与的交点为，为原点，当在实数范围内变化时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由交轨法得点在上运动，用圆的参数方程设出的坐标，结合两点间距离公式、辅助角公式即可求解.
【详解】由题意，联立两直线方程，利用消元法，消去得，
即点在上运动，
设，
则，
由辅助角公式可知，存在使得，
因为的取值范围是，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【针对训练】1．（2025高二·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】解法1：求出圆心和半径，，其中可看作圆上的点到直线的距离，数形结合得到圆上的点到直线的距离的最小值为，得到答案；
解法2：先得到，所以，令，，得到，由三角函数有界性得到最值.
【详解】解法1：因为，所以，
即圆心为，半径为，因为，
可看作圆上的点到直线的距离，如图，
所以圆上的点到直线的距离的最小值为
圆心到直线的距离减去半径，即，
因为，
所以圆上的点到直线的距离的最小值为，
所以的最小值为．
解法2：因为，所以，
即圆心为，半径为，
其中，且到直线的距离为，
故，所以，
令，，
则，其中为辅助角，
当时，最小值为．
故答案为：
2．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 .
【答案】4
【分析】首先确定圆的圆心坐标和圆的半径，然后确定直线与圆的位置关系，进而可求出圆上的点到直线的距离的最大值.
【详解】因为，
所以圆心坐标为，半径.
所以圆上的点到的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即的长度.
所以.
故答案为：4.
3．（24-25高一下·广东·期中）在圆心在原点的单位圆上，有三个不同的点A，B，C，AB为直径，，点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先由几何图形，结合向量的线性运算，化简，转化为隐圆问题，求圆上的点与圆外的点的连线的取值范围.
【详解】如图，取的中点，取的中点，
，
由条件可知，，，所以，，
则，所以点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，
的最大值为，最小值为，
的最大值为，最小值是.
故答案为：
4．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先求得圆关于直线对称的圆为圆，将原问题转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题求解.
【详解】圆，即，
圆心为，半径
圆，即，
圆心为，半径，
设点关于直线对称的点为 ，
则 ，解得：，
圆关于直线对称的圆为圆，
其圆心为，半径，
则其方程为，
设圆上的点与圆上点对称，则有，
原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，
如图所示：
连接，与直线交于点，
此时点是满足最小的点，
此时，
即的最小值为，
故答案为：
【解题策略】
一、核心原则：几何优先，聚焦“圆心、半径与距离”
圆的最值问题本质是“圆上点的极端位置”问题，优先利用圆的几何性质（圆心到点/直线的距离、两圆圆心距）求解，避免复杂代数运算；若几何法受限，再用参数方程、函数等代数方法辅助。
二、分类型解题策略
1.点与圆的距离最值（含定点到圆上点、圆上点到圆上点）
（1）定点到圆上点的距离最值
核心依据：圆上点到定点的距离的极端位置，在“定点与圆心的连线与圆的交点”上（近点为连线靠近定点的交点，远点为远离定点的交点）。
解题策略：
①设圆的圆心为、半径为，定点为；
②计算圆心到定点的距离；
③距离最大值：（远点距离），最小值：（近点距离，若在圆内，最小值为）。
关键注意点：无需列函数或参数方程，直接用“与的组合”计算，效率最高。
（2）两圆上点的距离最值（跨圆距离）
核心依据：两圆上点的距离极端位置，在“两圆圆心的连线与两圆的交点”上。
解题策略：
①设两圆的圆心为，半径为，圆心距为；
②分情况求最值：
外离/外切/相交/内切：最大值均为（两圆外侧交点距离）；
外离：最小值为（两圆内侧交点距离）；
外切/相交/内切：最小值为（两圆有公共点）；
内含：最小值为（大圆内侧与小圆外侧交点距离）。
2.直线与圆的距离最值（含圆心到直线、圆上点到直线）
（1）圆心到直线的距离（基础参考量）
核心依据：圆心到直线的距离是圆与直线位置关系的判断标准，也是后续求圆上点到直线距离最值的基础。
解题策略：直接用点到直线的距离公式（直线，圆心），无需额外转化。
（2）圆上点到直线的距离最值
核心依据：圆上点到直线的距离的极端位置，在“圆心到直线的垂线段与圆的交点”上（近点为垂线段靠近直线的交点，远点为远离直线的交点）。
解题策略：
①计算圆心到直线的距离；
②距离最大值：（远点距离），最小值：（近点距离，若直线与圆相交，最小值为）。
关键注意点：无需联立直线与圆的方程求交点，直接用“与的组合”，避免代数运算冗余。
3.圆上点的坐标及表达式最值（横纵坐标、线性/非线性表达式）
（1）圆上点的横/纵坐标最值
核心依据：圆上点的横/纵坐标的极端值，在圆与x轴/y轴的交点，或圆心横/纵坐标与半径的组合。
解题策略：
①设圆心为，半径为；
②横坐标：最大值，最小值；
③纵坐标：最大值，最小值。
（2）圆上点的线性表达式最值（如、等）
方法1：几何法（推荐，更快捷）
核心依据：线性表达式表示斜率固定的直线，的最值对应直线与圆有公共点时的“截距极端值”，此时直线与圆相切（截距最大/最小）。
解题策略：
①设，整理为直线方程；
②由“直线与圆相切”得圆心到直线的距离等于半径，即；
③解绝对值方程得的两个值，即最大值与最小值。
方法2：参数方程法（辅助，适合三角函数熟悉者）
核心依据：圆的参数方程将横纵坐标转化为三角函数，线性表达式可化为“”的形式，其值域为。
解题策略：
①用圆的参数方程代入线性表达式；
②整理为的形式（为常数）；
③利用三角函数值域求最值：最大值，最小值。
（3）圆上点的非线性表达式最值（如、等）
类型1：斜率型（，表示圆上点与定点连线的斜率）
核心依据：斜率最值对应“定点与圆上点的连线为圆的切线”时的斜率。
解题策略：
①设斜率为，得直线方程（整理为标准式）；
②由“直线与圆相切”得圆心到直线的距离等于半径，列方程求的最值。
类型2：距离平方型（，表示圆上点与定点距离的平方）
核心依据：距离平方的最值与距离的最值同步，无需额外计算。
解题策略：先求圆上点到定点的距离最值（见“点与圆的距离最值”），再平方即得结果。
4.圆的面积最值（本质是半径最值）
核心依据：圆的面积，面积最值等价于半径的最值。
解题策略：
①根据题目条件（如圆过定点、圆心在某直线上），将半径转化为“圆心到定点的距离”（如过定点的圆，）；
②求半径的最值（即求圆心到定点的距离最值，结合圆心的约束条件，如圆心在某直线上时，距离最值为“定点到直线的距离”）；
③代入面积公式得最值。
三、通用关键注意点
1.几何优先：所有最值问题先尝试“找圆心、算距离、结合半径”，避免直接用代数法（如联立方程、求导）增加计算量；
2.极端位置：圆上点的极端位置必在“圆心与关联点（定点、直线垂足）的连线上”，无需遍历所有点；
3.公式记忆：核心公式（点到直线距离、两圆圆心距与半径的组合）需熟练，避免混淆最值的加减关系。
一、单选题
1．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2006·湖南·高考真题）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）
A．36 B．18 C． D．
5．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2017·全国·高考真题）已知点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·重庆·三模）已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（24-25高三上·北京·期中）已知定点，，若点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2025·陕西汉中·二模）设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ．
10．（2025·安徽·模拟预测）已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为 .
11．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
12．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
13．（2025·湖北十堰·三模）定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ．
14．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D D A B B A
1．B
【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.
【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.
故选：B.
2．D
【分析】确定的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解.
【详解】设，
由题意可得：，
设的中点坐标为，则，
所以，即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
圆心到的距离为：，
所以线段的中点到直线距离的最大值为，
故选：D
3．D
【分析】根据圆的一般方程可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】若方程表示圆，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
4．D
【分析】求出圆的圆心坐标及半径，判断直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】解：因为圆，即，
所以圆心坐标为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，
所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为，
故选：D.
5．A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
6．B
【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可.
【详解】设中点为O，则，即，
设圆半径为r，则，
则以为直径的圆的方程为.
故选：B.
7．B
【分析】由得到点的轨迹方程，再由圆心到原点的距离减去半径可得.
【详解】因为所以点在以为直径的圆上，
圆的方程为，
所以的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即.
故选：B.
8．A
【分析】设点，且，由此可求得，利用三角形两边之和大于第三边的性质可确定当三点共线时取得最小值.
【详解】设点，则，
设点，且，，
解得：，存在点，使得，
（当且仅当三点共线时取等号），
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查圆的问题中的线段长度和最值的求解问题，解题关键是能够根据阿波罗尼斯圆的性质，将所求线段进行长度转化，进而利用几何关系来进行求解.
9．
【分析】求出的值，即可得出的最大值.
【详解】圆的圆心为，半径为，
因为，所以的最大值为．
故答案为：.
10．
【分析】依题意，得直线过圆心，即可求解．
【详解】因为圆上存在两点关于直线对称，
所以直线过圆心，
从而，解得，
则圆的方程为，
故圆的半径为．
故答案为：
11．或或或．
【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
12．
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
13．
【分析】记为坐标原点，作出图形，求出的取值范围，即可得出的取值范围.
【详解】记为坐标原点，圆的圆心为原点，圆的半径为，
由圆的几何性质可知，，
且，即，即，
当且仅当点时，取最小值，当且仅当点时，取最大值，
故.
故答案为：.
14．
【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解.
【详解】圆化为标准方程为：，
圆的面积为，圆的半径为，
，解得．
故答案为：
