【直线与圆，圆与圆的位置关系】
【知识梳理】
一、直线与圆的位置关系（高频考点，高考选填、解答题均涉及）
1.三种位置关系定义（基于直线与圆的公共点个数）
相离：直线与圆无公共点（公共点个数=0）；
相切：直线与圆有且仅有一个公共点（公共点个数=1，此时直线称为圆的切线，公共点称为切点）；
相交：直线与圆有两个公共点（公共点个数=2，此时直线称为圆的割线）。
2.核心判定方法（两种方法，优先用几何法）
（1）几何法（最常用，依托圆心到直线的距离与半径的关系）
判定依据：设圆的圆心为，半径为，直线（修正：原表述中直线常数项与圆心坐标字母冲突，此处统一为），计算圆心到直线的距离，通过与的大小比较判定位置关系：
相离：（教材例题核心判定方式，如人教版必修2“判断直线与圆的位置关系”）；
相切：（高考真题高频场景，如2023年新高考II卷第13题，已知直线与圆相切求参数）；
相交：（常考“求直线被圆截得的弦长”，需结合此条件）。
（2）代数法（联立方程，基于判别式）
判定步骤：
①联立圆的方程（标准式或一般式）与直线方程，消去或，得到关于单个变量的一元二次方程（或）；
②计算判别式；
③判定：相离（）、相切（）、相交（）。
适用场景：需求直线与圆的公共点坐标时（如求交点、弦的端点），高考解答题中“求切线方程”“求弦长”常辅助使用。
3.重要衍生问题（高考高频考查）
（1）圆的切线方程（核心应用，分“过圆上一点”和“过圆外一点”）
过圆上一点的切线方程：
若圆为标准方程，切线方程为（教材推导结论，直接套用）；
若圆为（圆心在原点），切线方程简化为（2022年全国甲卷文科第15题曾考查）。
过圆外一点的切线方程：
步骤：设切线斜率为，写切线方程（点斜式，非斜截式，修正原表述），利用“圆心到切线距离=半径”列方程求；若斜率不存在，需单独验证直线是否为切线（避免漏解，模拟题高频易错点）。
重要结论1（切线性质）：圆的切线垂直于过切点的半径（教材核心性质，可用于快速判断切线斜率：若切点与圆心连线斜率为，则切线斜率，；若，切线垂直于x轴，斜率不存在）。
重要结论2（过圆外一点的切线长）：设圆外点，圆心，半径，则切线长（2021年全国新课标III卷理科第16题曾考查，可直接用勾股定理推导，无需求切线方程）。
（2）直线被圆截得的弦长（高考解答题常考）
核心公式：弦长（几何法推导，为圆心到直线的距离，为圆半径）；
应用场景：已知直线与圆相交，求弦长（如2024年浙江模拟题，已知直线方程和圆方程，求弦长），无需联立方程求交点，直接用公式计算更高效。
重要结论3（特殊弦：直径）：若直线过圆心，则直线被圆截得的弦长为直径（），反之，若弦长为直径，则直线必过圆心（可用于证明“某点为圆心”或“直线过圆心”，如2023年北京高考文科第19题）。
重要结论4（弦的中点性质）：圆心与弦的中点的连线垂直于弦（教材性质，可用于“已知弦中点求弦所在直线方程”：先求圆心与中点连线的斜率，则弦的斜率，再用点斜式写方程）。
二、圆与圆的位置关系（高考选填题高频，侧重判定与距离计算）
1.五种位置关系定义（基于两圆公共点个数与圆心距）
设两圆的圆心分别为、，半径分别为、（不妨设），圆心距，五种位置关系如下：
外离：无公共点，且一个圆在另一个圆外部（）；
外切：有且仅有一个公共点（外切点），两圆在公共点外侧（，教材重点，如人教版必修2“两圆外切的判定”）；
相交：有两个公共点（，高考真题常考“求两圆公共弦长”）；
内切：有且仅有一个公共点（内切点），一个圆在另一个圆内部（）；
内含：无公共点，且一个圆在另一个圆内部（，特殊情况：时两圆同心）。
2.核心判定方法（仅几何法，代数法复杂不常用）
步骤：
①求两圆的圆心坐标、和半径、；
②计算圆心距；
③对比与、的大小，判定位置关系（高考真题如2021年全国乙卷理科第11题，通过判定两圆位置关系求参数范围）。
重要结论5（位置关系与半径、圆心距的特殊关联）：
两圆外切时，圆心、两圆的切点三点共线（且圆心在切点两侧）；
两圆内切时，圆心、两圆的切点三点共线（且圆心在切点同侧）；
两圆相交时，圆心距、两圆半径满足“三角形三边关系”（），公共弦垂直平分两圆心的连线（2022年江苏模拟题曾考查公共弦与圆心连线的位置关系）。
3.重要衍生问题（常考模拟题与高考选填）
（1）两圆的公共弦方程与弦长
公共弦方程：联立两圆的一般方程，消去二次项（、项），得到的二元一次方程即为公共弦方程（推导依据：两圆公共点坐标同时满足两圆方程，相减后仍成立）；
示例：圆与圆，公共弦方程为。
公共弦长：利用“弦长公式”计算，以其中一个圆为基准，圆心到公共弦的距离为d'，半径为，则弦长（2023年北京模拟题曾考查）。
重要结论6（无公共弦的情况）：当两圆外离、内含或内切时，无公共弦（外离、内含无公共点，内切仅有一个公共点，均无法形成弦）；仅当两圆相交时，存在公共弦。
重要结论7（同心两圆的公共弦）：若两圆同心（），则联立方程消去二次项后，若得到“矛盾等式”（如），说明两圆无公共弦；若得到“恒等式”（如），说明两圆重合（此时任意直线与圆的交线均为公共弦）。
（2）两圆的公切线（选填题低频，侧重条数判断）
公切线条数与位置关系对应：
外离：4条（2条外公切线，2条内公切线）；
外切：3条（2条外公切线，1条内公切线，切点在两圆圆心连线上）；
相交：2条（仅外公切线）；
内切：1条（公切线，切点在两圆圆心连线上）；
内含：0条；
应用场景：已知两圆位置关系，判断公切线条数（如2022年江苏模拟题），或已知公切线条数，求两圆参数范围。
重要结论8（公切线的对称性）：两圆的外公切线（或内公切线）关于两圆心的连线对称（可用于求公切线方程：先求一条公切线，再利用对称性求另一条，减少计算量）。
三、核心总结（结合教材与真题的高频要点）
1.直线与圆：优先用“圆心到直线的距离与半径”判定位置关系，切线方程需分“圆上点”“圆外点”，弦长用计算；牢记切线垂直于过切点的半径、切线长公式、弦中点与圆心连线垂直于弦等核心结论，可快速解题。
2.圆与圆：仅用“圆心距与、”判定位置关系，公共弦方程通过两圆方程相减得到，公切线条数与位置关系直接对应；关注“圆心与切点共线”“公共弦垂直平分圆心连线”等结论，避免易错点。
3.高考高频场景：直线与圆相切求参数（用）、切线长计算（用勾股定理）、直线被圆截得的弦长（用）、两圆位置关系判定求范围（对比与），需熟练掌握核心公式与重要结论的结合应用。
【考点一：直线与圆的位置关系】
【角度1：直线与圆的位置关系的判断】
【例题】【多选题】1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆，点，则（ ）
A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离
C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离
2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【针对训练】3．（2025高三·全国·专题练习）向量，，与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．由的值确定
4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切
5．（24-25高一下·上海·期末）已知圆和直线．下面四个命题：
①对任意实数与，直线和圆相切；
②对任意实数与，直线和圆有公共点；
③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切；
④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切．
其中真命题的序号是 ．(写出所有真命题的序号)
【角度2：弦长问题】
【例题】1．（北京市2025一2026学年上学期新高三入学定位考试数学试题）直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B．2
C． D．4
2．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知直线与圆交于两点，写出满足“面积为”的的一个值 ．
【针对训练】1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆．
(1)若直线是圆的一条对称轴，求的值；
(2)从①若直线被圆截得的弦长为4，②若直线被圆截得的弦长最短这两个条件中选择一个作为已知，求直线的方程．
注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（22-23高二上·广东肇庆·期中）设直线与圆相交于两点，且，则为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【多选题】3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆必相交
C．圆截轴所得弦长为
D．直线被圆截得的最短弦长为
【解题策略】
一、核心原则：几何法优先，代数法辅助
直线与圆的位置关系问题，优先利用“圆心到直线的距离与半径的关系”（几何法）解题，减少联立方程的复杂运算；仅当需要求公共点坐标时，辅助使用代数法（判别式）。
二、分题型解题策略
1.直线与圆的位置判定题型（高考选填基础题）
（1）已知直线与圆的方程，判定位置关系
优先方法：几何法（最快）
解题步骤：
①从圆的方程（标准式/一般式）中提取圆心和半径（一般式需配方：圆心，半径）；
②用点到直线距离公式计算（直线）；
③对比与：（相离）、（相切）、（相交）。
避坑要点：若圆为一般式，需先验证（确保是圆），再求圆心和半径。
（2）已知位置关系，求直线/圆中参数范围（高考选填高频）
优先方法：几何法（列不等式/等式）
解题步骤：
①确定圆心、半径，写出直线方程（含参数，如）；
②根据位置关系列条件：
相离：（列不等式，解参数范围）；
相切：（列等式，解参数值，注意斜率不存在的情况）；
相交：（列不等式，解参数范围）；
③若直线含斜率参数，需单独验证“斜率不存在的直线”是否满足位置关系（避免漏解，如直线）。
示例场景：已知直线与圆相切，求，用列方程，直接解。
2.圆的切线方程求解题型（高考选填/解答题高频）
（1）过圆上一点的切线方程（教材重点，直接套用结论）
优先方法：结论法（无需算距离）
解题步骤：
①若圆为标准式，且切点在圆上，切线方程为；
②若圆为原点圆，切线方程简化为（高频简化形式，2022年全国甲卷曾考）。
验证技巧：可通过“圆心到切线距离=半径”快速验证方程正确性，避免公式记错。
（2）过圆外一点的切线方程（易错点，需防漏解）
优先方法：几何法（设斜率，列距离等式）
解题步骤：
①设圆外点，圆的圆心、半径；
②分情况讨论：
情况1：切线斜率存在，设切线方程为（点斜式），整理为标准式；
用列方程，解（可能有2个解）；
情况2：切线斜率不存在，验证直线是否为切线（代入圆方程，看是否有唯一解）；
③综合两种情况，写出所有切线方程。
避坑要点：必须单独验证斜率不存在的情况，否则易漏1条切线（如过圆外一点作圆的切线，斜率不存在的不是切线，需排除，但过作圆的切线，是切线，需保留）。
3.直线被圆截得的弦长计算题型（高考解答题核心）
（1）已知直线与圆的方程，求弦长（最常见）
优先方法：几何法（弦长公式）
解题步骤：
①求圆心到直线的距离（用点到直线距离公式）；
②确认直线与圆相交（，若题目未说明，需先判定）；
③代入弦长公式（核心公式，几何意义：半弦长、、构成直角三角形）。
优势对比：无需联立方程求交点，比代数法（求交点后用距离公式）节省50%计算量，2024年浙江模拟题直接用此方法求解。
（2）已知弦长，求直线/圆中参数（高考解答题中档）
优先方法：几何法（逆用弦长公式）
解题步骤：
①设参数（如直线斜率、圆半径），写出圆心和；
②计算（含参数，如直线，）；
③逆用弦长公式：，两边平方得，代入列方程求解参数；
④验证：若直线含斜率，需验证参数对应的直线是否与圆相交（），排除增解。
4.弦的中点相关题型（高考解答题拓展）
已知弦的中点，求弦所在直线方程（或参数）
优先方法：利用“弦中点性质”（几何法）
解题依据：圆心与弦中点的连线垂直于弦（教材核心性质），即（为圆心，为弦中点）。
解题步骤：
①从圆方程中得圆心，已知弦中点；
②计算（若，则垂直x轴，弦平行x轴，斜率为0）；
③求弦的斜率：（）；
④用点斜式写弦的方程：。
避坑要点：若弦中点与圆心连线斜率不存在（），弦的斜率为0，方程为；反之，若，弦的斜率不存在，方程为。
三、高频易错点总结
1.斜率漏解：求切线方程时，必须单独验证“斜率不存在的直线”，尤其是直线过圆外点时；
2.公式记错：弦长公式是（非），圆的一般式求圆心时注意负号（）；
3.忽略圆的条件：若圆为一般式，先验证，再进行后续计算，避免处理“点圆”或“无轨迹”情况。
【角度3：切线问题】
【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）圆过点的切线方程为 ．
2．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ．
【针对训练】1．（2025高三·全国·专题练习）过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ．
3.（25-26高二上·全国·单元测试）圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差．在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴．已知圆与圆，则圆与圆的根轴的方程为 ．已知点为根轴上的一动点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当最小时，点的坐标为 ．
【考点二：圆与圆的位置关系】
【例题】【多选题】1．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【多选题】2．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．两圆相交 B．直线的方程为
C．两圆有两条公切线 D．线段的长为
【针对训练】1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ．
2．（2025高二·全国·专题练习）已知，，圆上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（ ）
A．1或3 B．2 C．3 D．1或5
【多选题】3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则
C．若圆和圆共有2条公切线，则
D．当时，圆与圆相交弦的弦长为
【解题策略】
一、核心原则：几何法唯一主导，聚焦“圆心距与半径关系”
圆与圆的位置关系仅需通过“两圆圆心距与两圆半径（设）的大小对比”判定，无需联立方程（代数法复杂且无必要），所有题型均围绕此核心关系展开。
二、分题型解题策略
1.圆与圆的位置判定题型（高考选填基础题，教材重点）
（1）已知两圆方程，判定位置关系
解题步骤：
①拆求两圆核心要素：从每个圆的方程（标准式/一般式）中提取圆心、和半径（一般式需先配方：圆心，半径，且需验证，确保是圆）；
②计算圆心距：用两点间距离公式；
③对比判定：（外离）、（外切）、（相交）、（内切）、（内含，时为同心）。
教材关联：对应人教版必修2中“两圆位置关系的判定”思路，高考中常作为基础题单独考查或结合其他知识点（如公切线、公共弦）。
（2）已知位置关系，求圆中参数范围（高考选填高频）
解题步骤：
①确定已知圆的圆心、半径，含参数圆的圆心、半径（参数通常在圆心坐标或半径中，如、）；
②计算圆心距（含参数，需化简表达式）；
③根据目标位置关系列不等式/等式：
外离：（列不等式，注意半径为正数的隐含条件，如）；
外切/内切：或（列等式，解参数值，无需限定，避免漏解）；
相交：（列双向不等式，解参数范围）；
内含：（列不等式，注意）；
④结合半径正数、圆心距非负等隐含条件，最终确定参数范围（避免增解）。
2.两圆公共弦相关题型（高考选填/解答题中档）
（1）求两圆公共弦方程
解题步骤：
①确保两圆方程为一般式（若为标准式，先展开为形式）；
②两圆方程相减，消去二次项（项），得到的二元一次方程即为公共弦方程（推导依据：公共点坐标同时满足两圆方程，相减后仍成立）；
③特殊情况：若两圆外离、内含或内切，相减后虽得直线方程，但无实际公共弦（需结合位置关系判断，避免无意义求解）。
高考关联：2023年北京模拟题、2021年浙江选考均曾考查，常与“公共弦长”结合。
（2）求两圆公共弦长
解题步骤：
①先求公共弦方程（按上述步骤）；
②选择其中一个圆（优先选半径已知、圆心坐标简单的圆），确定其圆心、半径；
③计算圆心到公共弦的距离d'（用点到直线距离公式，其中直线为，圆心）；
④代入弦长公式（与直线被圆截得的弦长公式一致，几何意义：半弦长、d'、构成直角三角形）；
避坑要点：无需联立两圆方程求公共点坐标，直接用几何法计算，效率更高；若两圆相交，公共弦长唯一，选择任意一个圆计算结果一致。
3.两圆公切线相关题型（高考选填低频，侧重条数与方程）
（1）判断公切线条数（基础应用）
解题步骤：
①先判定两圆位置关系（按“位置判定题型”步骤）；
②直接对应公切线条数：外离（4条）、外切（3条）、相交（2条）、内切（1条）、内含（0条）；
高考关联：常作为选择题选项或解题中间步骤，如“已知两圆有3条公切线，求参数”，本质是判定外切关系。
（2）求公切线方程（选填难点，教材拓展）
解题步骤（以外公切线为例，内公切线类似）：
①设公切线方程：斜率存在时设为（整理为），斜率不存在时设为；
②利用“公切线到两圆圆心的距离均等于对应半径”列方程组：
对圆1（圆心，半径）：；
对圆2（圆心，半径）：；
③解方程组求参数k、m：若方程组有解，对应斜率存在的公切线；若无解，需验证斜率不存在的直线（代入“到两圆心距离等于半径”，判断是否为切线）；
④结合位置关系筛选：外离时需区分外公切线（两圆在切线同侧）和内公切线（两圆在切线异侧，此时方程组中绝对值符号需变号，如与）；外切/内切时公切线过切点，可结合“圆心、切点共线”简化计算。
避坑要点：斜率不存在的公切线易漏解，需单独验证；内公切线方程求解时，通过绝对值符号变号体现“两圆在切线异侧”，避免符号错误。
4.两圆相切的特殊题型（高考选填/解答题高频，含外切与内切）
解题步骤：
①明确相切类型：题目未说明时需分“外切”和“内切”两种情况讨论；
②列核心等式：外切时，内切时（用绝对值统一表述，无需限定半径大小）；
③处理特殊场景：
若为“动圆与定圆相切”（如动圆过定点且与定圆相切）：设动圆圆心为，半径为，则“过定点”得，“与定圆相切”得，消去可得动圆圆心轨迹方程（外切时为椭圆，内切时为双曲线一支，教材拓展内容）；
若“相切且过某点”：联立“相切条件”与“圆过点条件”，解圆心坐标或半径参数；
高考关联：2022年全国乙卷、2021年新高考I卷均曾考查“动圆与定圆相切”，核心是利用“圆心距=半径和/差”建立关系。
三、高频易错点总结
1.半径符号忽略：计算含参数的半径时，需确保半径为正数（如则），否则会出现无效解；
2.内切条件混淆：内切时圆心距为“半径差的绝对值”，需分和两种情况，避免漏解；
3.公共弦存在性：仅当两圆相交时，公共弦才存在，外离、内含、内切时无需计算公共弦长；
4.公切线斜率漏解：求公切线方程时，必须单独验证“斜率不存在的直线”（如），尤其是两圆圆心横坐标相同时（易漏此类切线）；
5.公式符号错误：点到直线距离公式、弦长公式中，根号内表达式需为非负数（如弦长公式中），需提前验证。
一、单选题
1．（2025·福建·模拟预测）已知直线与圆相交于，两点，，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2025·湖北·三模）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（ ）．
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
3．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5 B． C． D．10
4．（2025·江西新余·模拟预测）过直线上的任意一点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2025·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（2025·广西北海·模拟预测）已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（ ）
A．若直线与圆相切，则
B．若，则圆上到直线的距离等于的点恰有3个
C．若圆与圆恰有三条公切线，则
D．若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则可能为
三、填空题
11．（2025·江西·模拟预测）直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 .
12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
13．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
15．（2002·北京·高考真题）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ．
16．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．【直线与圆，圆与圆的位置关系】
【知识梳理】
一、直线与圆的位置关系（高频考点，高考选填、解答题均涉及）
1.三种位置关系定义（基于直线与圆的公共点个数）
相离：直线与圆无公共点（公共点个数=0）；
相切：直线与圆有且仅有一个公共点（公共点个数=1，此时直线称为圆的切线，公共点称为切点）；
相交：直线与圆有两个公共点（公共点个数=2，此时直线称为圆的割线）。
2.核心判定方法（两种方法，优先用几何法）
（1）几何法（最常用，依托圆心到直线的距离与半径的关系）
判定依据：设圆的圆心为，半径为，直线（修正：原表述中直线常数项与圆心坐标字母冲突，此处统一为），计算圆心到直线的距离，通过与的大小比较判定位置关系：
相离：（教材例题核心判定方式，如人教版必修2“判断直线与圆的位置关系”）；
相切：（高考真题高频场景，如2023年新高考II卷第13题，已知直线与圆相切求参数）；
相交：（常考“求直线被圆截得的弦长”，需结合此条件）。
（2）代数法（联立方程，基于判别式）
判定步骤：
①联立圆的方程（标准式或一般式）与直线方程，消去或，得到关于单个变量的一元二次方程（或）；
②计算判别式；
③判定：相离（）、相切（）、相交（）。
适用场景：需求直线与圆的公共点坐标时（如求交点、弦的端点），高考解答题中“求切线方程”“求弦长”常辅助使用。
3.重要衍生问题（高考高频考查）
（1）圆的切线方程（核心应用，分“过圆上一点”和“过圆外一点”）
过圆上一点的切线方程：
若圆为标准方程，切线方程为（教材推导结论，直接套用）；
若圆为（圆心在原点），切线方程简化为（2022年全国甲卷文科第15题曾考查）。
过圆外一点的切线方程：
步骤：设切线斜率为，写切线方程（点斜式，非斜截式，修正原表述），利用“圆心到切线距离=半径”列方程求；若斜率不存在，需单独验证直线是否为切线（避免漏解，模拟题高频易错点）。
重要结论1（切线性质）：圆的切线垂直于过切点的半径（教材核心性质，可用于快速判断切线斜率：若切点与圆心连线斜率为，则切线斜率，；若，切线垂直于x轴，斜率不存在）。
重要结论2（过圆外一点的切线长）：设圆外点，圆心，半径，则切线长（2021年全国新课标III卷理科第16题曾考查，可直接用勾股定理推导，无需求切线方程）。
（2）直线被圆截得的弦长（高考解答题常考）
核心公式：弦长（几何法推导，为圆心到直线的距离，为圆半径）；
应用场景：已知直线与圆相交，求弦长（如2024年浙江模拟题，已知直线方程和圆方程，求弦长），无需联立方程求交点，直接用公式计算更高效。
重要结论3（特殊弦：直径）：若直线过圆心，则直线被圆截得的弦长为直径（），反之，若弦长为直径，则直线必过圆心（可用于证明“某点为圆心”或“直线过圆心”，如2023年北京高考文科第19题）。
重要结论4（弦的中点性质）：圆心与弦的中点的连线垂直于弦（教材性质，可用于“已知弦中点求弦所在直线方程”：先求圆心与中点连线的斜率，则弦的斜率，再用点斜式写方程）。
二、圆与圆的位置关系（高考选填题高频，侧重判定与距离计算）
1.五种位置关系定义（基于两圆公共点个数与圆心距）
设两圆的圆心分别为、，半径分别为、（不妨设），圆心距，五种位置关系如下：
外离：无公共点，且一个圆在另一个圆外部（）；
外切：有且仅有一个公共点（外切点），两圆在公共点外侧（，教材重点，如人教版必修2“两圆外切的判定”）；
相交：有两个公共点（，高考真题常考“求两圆公共弦长”）；
内切：有且仅有一个公共点（内切点），一个圆在另一个圆内部（）；
内含：无公共点，且一个圆在另一个圆内部（，特殊情况：时两圆同心）。
2.核心判定方法（仅几何法，代数法复杂不常用）
步骤：
①求两圆的圆心坐标、和半径、；
②计算圆心距；
③对比与、的大小，判定位置关系（高考真题如2021年全国乙卷理科第11题，通过判定两圆位置关系求参数范围）。
重要结论5（位置关系与半径、圆心距的特殊关联）：
两圆外切时，圆心、两圆的切点三点共线（且圆心在切点两侧）；
两圆内切时，圆心、两圆的切点三点共线（且圆心在切点同侧）；
两圆相交时，圆心距、两圆半径满足“三角形三边关系”（），公共弦垂直平分两圆心的连线（2022年江苏模拟题曾考查公共弦与圆心连线的位置关系）。
3.重要衍生问题（常考模拟题与高考选填）
（1）两圆的公共弦方程与弦长
公共弦方程：联立两圆的一般方程，消去二次项（、项），得到的二元一次方程即为公共弦方程（推导依据：两圆公共点坐标同时满足两圆方程，相减后仍成立）；
示例：圆与圆，公共弦方程为。
公共弦长：利用“弦长公式”计算，以其中一个圆为基准，圆心到公共弦的距离为d'，半径为，则弦长（2023年北京模拟题曾考查）。
重要结论6（无公共弦的情况）：当两圆外离、内含或内切时，无公共弦（外离、内含无公共点，内切仅有一个公共点，均无法形成弦）；仅当两圆相交时，存在公共弦。
重要结论7（同心两圆的公共弦）：若两圆同心（），则联立方程消去二次项后，若得到“矛盾等式”（如），说明两圆无公共弦；若得到“恒等式”（如），说明两圆重合（此时任意直线与圆的交线均为公共弦）。
（2）两圆的公切线（选填题低频，侧重条数判断）
公切线条数与位置关系对应：
外离：4条（2条外公切线，2条内公切线）；
外切：3条（2条外公切线，1条内公切线，切点在两圆圆心连线上）；
相交：2条（仅外公切线）；
内切：1条（公切线，切点在两圆圆心连线上）；
内含：0条；
应用场景：已知两圆位置关系，判断公切线条数（如2022年江苏模拟题），或已知公切线条数，求两圆参数范围。
重要结论8（公切线的对称性）：两圆的外公切线（或内公切线）关于两圆心的连线对称（可用于求公切线方程：先求一条公切线，再利用对称性求另一条，减少计算量）。
三、核心总结（结合教材与真题的高频要点）
1.直线与圆：优先用“圆心到直线的距离与半径”判定位置关系，切线方程需分“圆上点”“圆外点”，弦长用计算；牢记切线垂直于过切点的半径、切线长公式、弦中点与圆心连线垂直于弦等核心结论，可快速解题。
2.圆与圆：仅用“圆心距与、”判定位置关系，公共弦方程通过两圆方程相减得到，公切线条数与位置关系直接对应；关注“圆心与切点共线”“公共弦垂直平分圆心连线”等结论，避免易错点。
3.高考高频场景：直线与圆相切求参数（用）、切线长计算（用勾股定理）、直线被圆截得的弦长（用）、两圆位置关系判定求范围（对比与），需熟练掌握核心公式与重要结论的结合应用。
【考点一：直线与圆的位置关系】
【角度1：直线与圆的位置关系的判断】
【例题】【多选题】1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆，点，则（ ）
A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离
C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离
【答案】BC
【分析】根据点与圆的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项．
【详解】由圆，得圆心，半径．
对于A，若在圆上，则，
圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误．
对于B，若在圆内，则，
圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确．
对于C，若在圆外，则，
圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确．
对于D，若在直线上，则，
圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误．
故选：BC.
2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，计算圆心到直线的距离并判断直线和圆的位置关系，再结合半径，判断到直线的距离为1的两条直线与圆的位置关系即可.
【详解】易知圆的圆心为，半径为2，
圆心到的距离，
所以直线与圆相交，结合圆半径为2，到直线的距离为1的直线有两条，
可得一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1.
故选：C.
【针对训练】3．（2025高三·全国·专题练习）向量，，与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．由的值确定
【答案】C
【分析】由两向量夹角得，再由点到直线距离作出判断.
【详解】由题设得
知，即．
又圆心到直线的距离
即圆心到直线的距离是，大于半径，故直线和圆相离．
故选：C.
4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】化简直线方程可得直线过定点，点在圆上，进而即得.
【详解】由可得，
直线的方程整理为，
则直线恒过点，又点在圆上，
故直线与圆相交或相切．
故选：D
5．（24-25高一下·上海·期末）已知圆和直线．下面四个命题：
①对任意实数与，直线和圆相切；
②对任意实数与，直线和圆有公共点；
③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切；
④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切．
其中真命题的序号是 ．(写出所有真命题的序号)
【答案】②④
【分析】写出圆心和半径，应用点线距离公式判断圆心到直线距离与半径大小，即可判断.
【详解】由题设，圆心，半径，
所以到的距离，且，
对任意实数与，直线和圆有公共点，②对；
对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切，④对.
故答案为：②④
【角度2：弦长问题】
【例题】1．（北京市2025一2026学年上学期新高三入学定位考试数学试题）直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B．2
C． D．4
【答案】C
【分析】先把圆的一般方程化成标准方程，求出圆心和半径，再结合点到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系，可求弦长.
【详解】由，
可得圆的圆心为，半径为.
因圆心到直线的距离为：，则直线经过圆心.
所以直线被圆所截得的弦长为圆的直径，为.
故选：C
2．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知直线与圆交于两点，写出满足“面积为”的的一个值 ．
【答案】（从中任选一个即可）
【分析】由圆心坐标得到圆心到直线距离。由垂径定理得到弦长与圆心到之间距离的关系，利用三角形面积建立方程，从而解得圆心到直线距离，然后即可解得的值.
【详解】圆心到直线的距离、
由于弦长，所以，解得或，
故或，解得或．因此，从中任选一个即可．
故答案为：（从中任选一个即可）.
【针对训练】1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆．
(1)若直线是圆的一条对称轴，求的值；
(2)从①若直线被圆截得的弦长为4，②若直线被圆截得的弦长最短这两个条件中选择一个作为已知，求直线的方程．
注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意直线过圆的圆心，将代入直线的方程，计算得．
（2）根据题意直线恒过定点．代入圆的方程判断在圆内部，可得直线与圆恒相交．①三角形中勾股定理计算得到点到直线AB的距离，再根据点到直线距离公式计算的结果；②设定点为点，依题意当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短，利用两直线斜率之积为，计算可得直线的结果；
【详解】（1）因为直线是圆的一条对称轴，
所以直线过圆的圆心（圆是轴对称图形，直径所在直线都是对称轴），
将代入直线的方程，得，解得．
（2）直线，即，则直线恒过定点．
因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交．
若选①．
如图1，设直线与圆交于两点，连接，则．
过点作于点，则，
所以，即点到直线AB的距离．
由，得，
所以直线的方程为．
若选②．
设定点为点，则直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短（如图2），
此时，故，
直线的方程为．
2．（22-23高二上·广东肇庆·期中）设直线与圆相交于两点，且，则为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】作出图象，求出和的长，利用勾股定理即可求出的值.
【详解】由题意，
在中，
在中，，半径为，
直线与圆相交于两点，且，
设中点为C，连接，，
由几何知识得，，，
在Rt中，，
由勾股定理得，，即，解得，
故选：B.
【多选题】3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆必相交
C．圆截轴所得弦长为
D．直线被圆截得的最短弦长为
【答案】BCD
【分析】由直线过定点判断A，由定点在圆内判断B，由弦长的计算判断CD即可.
【详解】对于A，由直线，整理可得，
令解得则直线过定点，所以A错误；
对于B，圆的圆心为，半径，由定点到圆心的距离为，得直线与圆必相交（当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切），所以B正确；
对于C，由圆心为，得圆心到轴的距离为1，所以圆截轴所得弦长为，所以C正确；
对于D，当定点与圆心的连线垂直于直线时，截得的弦是最短的，
此时最短弦对应的弦心距为，
所以最短弦长为，所以D正确.
故选：BCD.
【解题策略】
一、核心原则：几何法优先，代数法辅助
直线与圆的位置关系问题，优先利用“圆心到直线的距离与半径的关系”（几何法）解题，减少联立方程的复杂运算；仅当需要求公共点坐标时，辅助使用代数法（判别式）。
二、分题型解题策略
1.直线与圆的位置判定题型（高考选填基础题）
（1）已知直线与圆的方程，判定位置关系
优先方法：几何法（最快）
解题步骤：
①从圆的方程（标准式/一般式）中提取圆心和半径（一般式需配方：圆心，半径）；
②用点到直线距离公式计算（直线）；
③对比与：（相离）、（相切）、（相交）。
避坑要点：若圆为一般式，需先验证（确保是圆），再求圆心和半径。
（2）已知位置关系，求直线/圆中参数范围（高考选填高频）
优先方法：几何法（列不等式/等式）
解题步骤：
①确定圆心、半径，写出直线方程（含参数，如）；
②根据位置关系列条件：
相离：（列不等式，解参数范围）；
相切：（列等式，解参数值，注意斜率不存在的情况）；
相交：（列不等式，解参数范围）；
③若直线含斜率参数，需单独验证“斜率不存在的直线”是否满足位置关系（避免漏解，如直线）。
示例场景：已知直线与圆相切，求，用列方程，直接解。
2.圆的切线方程求解题型（高考选填/解答题高频）
（1）过圆上一点的切线方程（教材重点，直接套用结论）
优先方法：结论法（无需算距离）
解题步骤：
①若圆为标准式，且切点在圆上，切线方程为；
②若圆为原点圆，切线方程简化为（高频简化形式，2022年全国甲卷曾考）。
验证技巧：可通过“圆心到切线距离=半径”快速验证方程正确性，避免公式记错。
（2）过圆外一点的切线方程（易错点，需防漏解）
优先方法：几何法（设斜率，列距离等式）
解题步骤：
①设圆外点，圆的圆心、半径；
②分情况讨论：
情况1：切线斜率存在，设切线方程为（点斜式），整理为标准式；
用列方程，解（可能有2个解）；
情况2：切线斜率不存在，验证直线是否为切线（代入圆方程，看是否有唯一解）；
③综合两种情况，写出所有切线方程。
避坑要点：必须单独验证斜率不存在的情况，否则易漏1条切线（如过圆外一点作圆的切线，斜率不存在的不是切线，需排除，但过作圆的切线，是切线，需保留）。
3.直线被圆截得的弦长计算题型（高考解答题核心）
（1）已知直线与圆的方程，求弦长（最常见）
优先方法：几何法（弦长公式）
解题步骤：
①求圆心到直线的距离（用点到直线距离公式）；
②确认直线与圆相交（，若题目未说明，需先判定）；
③代入弦长公式（核心公式，几何意义：半弦长、、构成直角三角形）。
优势对比：无需联立方程求交点，比代数法（求交点后用距离公式）节省50%计算量，2024年浙江模拟题直接用此方法求解。
（2）已知弦长，求直线/圆中参数（高考解答题中档）
优先方法：几何法（逆用弦长公式）
解题步骤：
①设参数（如直线斜率、圆半径），写出圆心和；
②计算（含参数，如直线，）；
③逆用弦长公式：，两边平方得，代入列方程求解参数；
④验证：若直线含斜率，需验证参数对应的直线是否与圆相交（），排除增解。
4.弦的中点相关题型（高考解答题拓展）
已知弦的中点，求弦所在直线方程（或参数）
优先方法：利用“弦中点性质”（几何法）
解题依据：圆心与弦中点的连线垂直于弦（教材核心性质），即（为圆心，为弦中点）。
解题步骤：
①从圆方程中得圆心，已知弦中点；
②计算（若，则垂直x轴，弦平行x轴，斜率为0）；
③求弦的斜率：（）；
④用点斜式写弦的方程：。
避坑要点：若弦中点与圆心连线斜率不存在（），弦的斜率为0，方程为；反之，若，弦的斜率不存在，方程为。
三、高频易错点总结
1.斜率漏解：求切线方程时，必须单独验证“斜率不存在的直线”，尤其是直线过圆外点时；
2.公式记错：弦长公式是（非），圆的一般式求圆心时注意负号（）；
3.忽略圆的条件：若圆为一般式，先验证，再进行后续计算，避免处理“点圆”或“无轨迹”情况。
【角度3：切线问题】
【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）圆过点的切线方程为 ．
【答案】
【分析】解法一先判断点与圆的位置关系，利用即可求直线的斜率，利用点斜式即可求解；
解法二先判断点与圆的位置关系，利用切线方程为即可求解.
【详解】解法一由知点在圆上，连接，
设切线为，则，如图，，则，
则切线的斜率为，所以切线方程为，
整理得．
故答案为：.
解法二 由知点在圆上，
则所求切线的方程为，
整理得．
故答案为：.
2．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ．
【答案】/
【分析】先确定圆的圆心坐标和半径，根据图形上的几何关系和等面积法求出.
【详解】，即，故圆心为，半径为．
如图，连接，因为，所以，
故切线长．
连接，由（等面积法），
解得．
故答案为：.
【针对训练】1．（2025高三·全国·专题练习）过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最大有且圆心到直线l的距离最短，利用圆的切线性质得，再应用点线距离公式列方程求参数值.
【详解】当时，圆心到直线l的距离最短，最大，
因为的最大值为，
在，中，，，所以，
当最大时，圆心M到直线l的距离为4，即，解得（舍）或．
故选：C
2．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ．
【答案】
【分析】方法一：可得四点共圆，求出以为直径的圆，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法二：求出以为圆心，为半径的圆方程，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法三：对于圆 ，若点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则切点弦所在直线的方程为 ，直接用结论写出直线的方程，进而可求出定点的坐标.
【详解】如图，连接，
方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆，
且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦，
则以为直径的圆的圆心为，半径为，
故以为直径的圆的方程为，
两圆方程相减得直线的方程为，
令，则，所以直线过定点．
方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦．
，，所以，
在中，，
所以以为圆心，为半径的圆的方程为，
两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为，
即，令，则，所以直线过定点．
方法三：直线的方程为，即，
令，得，所以直线过定点．
故答案为：；
3.（25-26高二上·全国·单元测试）圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差．在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴．已知圆与圆，则圆与圆的根轴的方程为 ．已知点为根轴上的一动点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当最小时，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】第一空：先求出圆和圆的圆心和以及半径和，接着设为根轴上任意一点，由列式化简即可得根轴的方程．
第二空：先由题意求得，进而结合，可得取得最小值亦即｜PC｜取得最小值，此时，接着可求出直线PC的方程，联立PC与直线的方程即可得点的坐标．
【详解】由题意，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，
半径为．设点为圆与圆的根轴上的任意一点，
则由题可得，即，
整理得，即圆与圆的根轴的方程为．
如图，连接CA，CB，由题意可知且，，
设PC与AB相交于点，
则，
又，
所以，所以取得最小值即｜PA｜取得最小值．
又，所以取得最小值亦即｜PC｜取得最小值，
而｜PC｜取得最小值时，此时直线PC的斜率为1，
又直线PC过点，所以，即，
联立,即．
【考点二：圆与圆的位置关系】
【例题】【多选题】1．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可.
【详解】由题知，两圆半径，
所以，
故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图，
的中点为两圆外切切点，
当公切线过的中点，且与垂直时，
因为，所以公切线的方程为，即；
当公切线与平行，且到公切线的距离为时，
设公切线的方程为，
所以，解得或，
所以公切线的方程为或．
综上所述，公切线的方程为或或.
故选：BCD．
【多选题】2．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．两圆相交 B．直线的方程为
C．两圆有两条公切线 D．线段的长为
【答案】ACD
【分析】对于AC，由两圆圆心距与两圆半径关系可得两圆位置关系；对于B，两圆方程相减可得直线的方程；对于D，由B分析可得到直线的距离，据此可得线段长度.
【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1，
圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确；
对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确；
对于D，点到直线的距离为，
所以．故D正确.
故选：ACD
【针对训练】1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题可得两圆相交，据此可得答案.
【详解】得的圆心，半径．
将化为标准方程得，
易知的圆心，半径．
又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然，
则，即，
解得．
故答案为：.
2．（2025高二·全国·专题练习）已知，，圆上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（ ）
A．1或3 B．2 C．3 D．1或5
【答案】A
【分析】点在阿波罗尼斯圆上，且是圆上唯一一点，可知两圆相切，求参问题需求出阿波罗尼斯圆的圆心和半径.
【详解】设，由，两边平方得，
整理得，圆心为，半径为2．
圆的圆心为，半径为，
由题意知，两圆相切，圆心距为1，当两圆外切时无解，
所以只能是两圆内切，即，
解得或1．
时圆在内，时圆在外
故选：A
【多选题】3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则
C．若圆和圆共有2条公切线，则
D．当时，圆与圆相交弦的弦长为
【答案】ABD
【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D.
【详解】对于A，由圆，，
可知，故直线的方程为，
即，即得直线恒过定点，A正确；
对于B，即，
当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则，
解得，
当时，如图示，当共线时,；
同理求得当时，，B正确；
对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交，
则，即，解得，C错误
对于D，当时，两圆相交，
，，
将两方程相减可得公共弦方程，
则到的距离为，
则圆与圆相交弦的弦长为，D正确，
故选：ABD.
【解题策略】
一、核心原则：几何法唯一主导，聚焦“圆心距与半径关系”
圆与圆的位置关系仅需通过“两圆圆心距与两圆半径（设）的大小对比”判定，无需联立方程（代数法复杂且无必要），所有题型均围绕此核心关系展开。
二、分题型解题策略
1.圆与圆的位置判定题型（高考选填基础题，教材重点）
（1）已知两圆方程，判定位置关系
解题步骤：
①拆求两圆核心要素：从每个圆的方程（标准式/一般式）中提取圆心、和半径（一般式需先配方：圆心，半径，且需验证，确保是圆）；
②计算圆心距：用两点间距离公式；
③对比判定：（外离）、（外切）、（相交）、（内切）、（内含，时为同心）。
教材关联：对应人教版必修2中“两圆位置关系的判定”思路，高考中常作为基础题单独考查或结合其他知识点（如公切线、公共弦）。
（2）已知位置关系，求圆中参数范围（高考选填高频）
解题步骤：
①确定已知圆的圆心、半径，含参数圆的圆心、半径（参数通常在圆心坐标或半径中，如、）；
②计算圆心距（含参数，需化简表达式）；
③根据目标位置关系列不等式/等式：
外离：（列不等式，注意半径为正数的隐含条件，如）；
外切/内切：或（列等式，解参数值，无需限定，避免漏解）；
相交：（列双向不等式，解参数范围）；
内含：（列不等式，注意）；
④结合半径正数、圆心距非负等隐含条件，最终确定参数范围（避免增解）。
2.两圆公共弦相关题型（高考选填/解答题中档）
（1）求两圆公共弦方程
解题步骤：
①确保两圆方程为一般式（若为标准式，先展开为形式）；
②两圆方程相减，消去二次项（项），得到的二元一次方程即为公共弦方程（推导依据：公共点坐标同时满足两圆方程，相减后仍成立）；
③特殊情况：若两圆外离、内含或内切，相减后虽得直线方程，但无实际公共弦（需结合位置关系判断，避免无意义求解）。
高考关联：2023年北京模拟题、2021年浙江选考均曾考查，常与“公共弦长”结合。
（2）求两圆公共弦长
解题步骤：
①先求公共弦方程（按上述步骤）；
②选择其中一个圆（优先选半径已知、圆心坐标简单的圆），确定其圆心、半径；
③计算圆心到公共弦的距离d'（用点到直线距离公式，其中直线为，圆心）；
④代入弦长公式（与直线被圆截得的弦长公式一致，几何意义：半弦长、d'、构成直角三角形）；
避坑要点：无需联立两圆方程求公共点坐标，直接用几何法计算，效率更高；若两圆相交，公共弦长唯一，选择任意一个圆计算结果一致。
3.两圆公切线相关题型（高考选填低频，侧重条数与方程）
（1）判断公切线条数（基础应用）
解题步骤：
①先判定两圆位置关系（按“位置判定题型”步骤）；
②直接对应公切线条数：外离（4条）、外切（3条）、相交（2条）、内切（1条）、内含（0条）；
高考关联：常作为选择题选项或解题中间步骤，如“已知两圆有3条公切线，求参数”，本质是判定外切关系。
（2）求公切线方程（选填难点，教材拓展）
解题步骤（以外公切线为例，内公切线类似）：
①设公切线方程：斜率存在时设为（整理为），斜率不存在时设为；
②利用“公切线到两圆圆心的距离均等于对应半径”列方程组：
对圆1（圆心，半径）：；
对圆2（圆心，半径）：；
③解方程组求参数k、m：若方程组有解，对应斜率存在的公切线；若无解，需验证斜率不存在的直线（代入“到两圆心距离等于半径”，判断是否为切线）；
④结合位置关系筛选：外离时需区分外公切线（两圆在切线同侧）和内公切线（两圆在切线异侧，此时方程组中绝对值符号需变号，如与）；外切/内切时公切线过切点，可结合“圆心、切点共线”简化计算。
避坑要点：斜率不存在的公切线易漏解，需单独验证；内公切线方程求解时，通过绝对值符号变号体现“两圆在切线异侧”，避免符号错误。
4.两圆相切的特殊题型（高考选填/解答题高频，含外切与内切）
解题步骤：
①明确相切类型：题目未说明时需分“外切”和“内切”两种情况讨论；
②列核心等式：外切时，内切时（用绝对值统一表述，无需限定半径大小）；
③处理特殊场景：
若为“动圆与定圆相切”（如动圆过定点且与定圆相切）：设动圆圆心为，半径为，则“过定点”得，“与定圆相切”得，消去可得动圆圆心轨迹方程（外切时为椭圆，内切时为双曲线一支，教材拓展内容）；
若“相切且过某点”：联立“相切条件”与“圆过点条件”，解圆心坐标或半径参数；
高考关联：2022年全国乙卷、2021年新高考I卷均曾考查“动圆与定圆相切”，核心是利用“圆心距=半径和/差”建立关系。
三、高频易错点总结
1.半径符号忽略：计算含参数的半径时，需确保半径为正数（如则），否则会出现无效解；
2.内切条件混淆：内切时圆心距为“半径差的绝对值”，需分和两种情况，避免漏解；
3.公共弦存在性：仅当两圆相交时，公共弦才存在，外离、内含、内切时无需计算公共弦长；
4.公切线斜率漏解：求公切线方程时，必须单独验证“斜率不存在的直线”（如），尤其是两圆圆心横坐标相同时（易漏此类切线）；
5.公式符号错误：点到直线距离公式、弦长公式中，根号内表达式需为非负数（如弦长公式中），需提前验证。
一、单选题
1．（2025·福建·模拟预测）已知直线与圆相交于，两点，，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2025·湖北·三模）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（ ）．
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
3．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5 B． C． D．10
4．（2025·江西新余·模拟预测）过直线上的任意一点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2025·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（2025·广西北海·模拟预测）已知圆，圆，直线，下列结论正确的是（ ）
A．若直线与圆相切，则
B．若，则圆上到直线的距离等于的点恰有3个
C．若圆与圆恰有三条公切线，则
D．若为圆上的点，当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则可能为
三、填空题
11．（2025·江西·模拟预测）直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 .
12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
13．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
15．（2002·北京·高考真题）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ．
16．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A C C B C C B ABD
1．D
【分析】由点到直线的距离公式、圆的弦长公式列方程即可求解.
【详解】设圆心到直线的距离为，
则由点到直线的距离公式可得，
因为，圆的半径为，所以，解得.
故选：D.
2．A
【分析】先求出两直线所过的定点，进而确定交点的位置，再结合圆的性质求出的最值.
【详解】对于直线，可变形为.
令，解得，所以直线恒过定点.
对于直线，可变形为.
令，解得，所以直线恒过定点.
因为，所以，已知，，则中点坐标为.
，所以半径.
则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为，
已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为.
的最大值为圆心加上两圆半径，即.
由于轨迹不包含点，故不存在最小值.
故选：A．
3．A
【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案.
【详解】，，，
由，解得，或，
则，
因为，所以四边形的面积为.
故选：A.
4．C
【分析】根据几何性质知M，A，B，C四点在以MC为直径的圆上，与圆相减得直线AB的方程，又是以原点为圆心、1为半径的圆上的点，所求距离转化为原点到直线AB的距离加半径，即，结合二次函数性质求得最值即可.
【详解】设，则，
由几何性质知M，A，B，C四点在以MC为直径的圆上，
即该圆方程为，即，
与圆相减得直线AB的方程为.
又，
故是以原点为圆心、1为半径的圆上的点，
故点到直线AB的距离的最大值为原点到直线AB的距离加半径1，
即，
当且仅当时等号成立，
所以点到直线AB的距离的最大值为.
故选：C.
5．C
【分析】根据当直线与此圆相切时，的值最大，算出此时的，，，利用直角三角形的角的正切公式，算出最大正切值即可.
【详解】因为点是圆上的任意点，
当直线与此圆相切时，的值最大，又，，
则，则.
故选：C．
6．B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.
7．C
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
8．C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，的最小，
此时.
故选：C
9．B
【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，
故由图可知，
当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
10．ABD
【分析】根据直线与圆相切可求得A正确，再根据点的个数计算可求得B正确，利用圆与圆的公切线条数，可解得，即C错误，由可求得两圆关系可知D正确.
【详解】易知圆的圆心的坐标为，半径为1，圆心到直线的距离，
对于A，因为直线与圆相切，所以，解得，A正确；
对于B，当时，圆心到直线的距离，
故圆上到直线的距离为的点恰有3个，B正确；
对于C，圆与圆恰有三条公切线，
则两圆外切，即，解得，C错误；
对于D，如图，
点在位置时，，此时，点在位置时，此时，
所以中间必然有位置使得，故D正确．
故选：ABD
11．
【分析】根据垂径定理可求弦心距，故可求参数的值.
【详解】由，得，
知点到直线的距离为，
所以，得.
故答案为：.
12．
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
13．
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
14．（中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
15．
【分析】确定圆心为，半径，将四边形的面积转化为，计算点到直线的距离得到答案.
【详解】，即，圆心为，半径，
，即最小时，面积最小.
，故四边形面积的最小值为.
故答案为：
16．2
【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可.
【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，
圆的半径为，圆心到直线的距离为，
故，解得；
故答案为：2.
