【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练 2 整式与因式分解（含解析）
文档属性
| 名称 | 【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练 2 整式与因式分解（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-31 23:03:21 | ||
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文档简介
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【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练2整式与因式分解
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共14小题）
（2025 广安）下列各式运算结果为a6的是（ ）
A．a3 a3 B．（a2）4 C．a3+a3 D．a10÷a3
（2025 河北）若a＝﹣3，则（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．6
（2025 广西）因式分解：a2﹣1＝（ ）
A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1）
C．（a+1）2 D．（a﹣1）2
（2025 德阳）下列各式计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．﹣（a+3）＝﹣a+3
C．﹣2×3a＝﹣6a D．2abab
（2025 上海）下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（ ）
A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y2
（2025 内江）下列计算正确的是（ ）
A．x2 x4＝x8 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x+2x2＝3x2 D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
（2025 云南）按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a， ，第n个代数式是（ ）
A．（2n﹣1）a B．（2n+1）a C．（n+1）a D．2025a
（2025 青海）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2 B．x2 x3＝x6 C．（2x）3＝6x3 D．x6÷x2＝x4
（2025 长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m＞1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ）
A．6m B．m+10 C．60m D．10m
（2025 乐山）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，〇代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
（2025 重庆）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
（2025 江西）如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1，再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2，…依此类推，则△AnBn n的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2025 台湾）已知a、b、c皆为正整数，且a、b两数的最大公因数与最小公倍数分别为11与88．关于a、b、c三数的最大公因数与最小公倍数，甲、乙两人分别提出看法如下：
甲：a、b、c三数的最大公因式可能比11大
乙：a、b、c三数的最小公倍数可能比88小
对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？（ ）
A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
（2025 重庆）已知整式M：a0+a1x+a2x2+ +anxn，其中a0为自然数，n，a1，a2， ，an为正整数，且a0+a1+ +an＝4．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，
②当n＝3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1，
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2 、填空题（本大题共24小题）
（2025 广东）因式分解：a2b+ab2＝ ．
（2025 甘肃）因式分解：x2﹣6x+9＝ ．
（2025 乐山）已知am＝3，an＝2，则am+2n＝ ．
（2025 天津）计算3x﹣x﹣5x的结果为 ．
（2025 常州）计算（a2）3＝ ．
（2025 河北）计算：2a2+4a2＝ ．
（2025 河南）观察2x，4x2，6x3，8x4， ，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为 ．
（2025 长春）写出ab的一个同类项： ．
（2025 南通）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是5：3：1．如果B面向下放在地上，地面所受压强为a Pa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为 Pa．
（2025 威海）若2x﹣3y＝2，则6y﹣4x+1＝ ．
（2025 内蒙古）冰糖葫芦是我国传统小吃．若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
（2025 成都）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
（2025 苏州）若y＝x+1，则代数式2y﹣2x+3的值为 ．
（2025 山西）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）．
（2025 南充）计算：a（a﹣3）﹣a2＝ ．
（2025 徐州）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 （用含n的代数式表示）．
（2025 宁夏）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行n步后右转15°，沿转后方向直行n步后右转15°，再沿转后方向直行n步后右转15°…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步．
（2025 浙江）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
【应用体验】
已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 ．
（2025 绥化）观察如图，图（1）有2个三角形，记作a1＝2，图（2）有3个三角形，记作a2＝3，图（3）有6个三角形，记作a3＝6，图（4）有11个三角形，记作a4＝11，按此方法继续下去，则an＝ （结果用含n的代数式表示）．
（2025 陕西）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
（2025 甘肃）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形．
（2025 成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ，一般地，对于任意奇数k（k＞2），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ．
（2025 新疆）对多项式A，B，定义新运算“ ”：A B＝2A+B，对正整数k和多项式A，定义新运算“ ”：k A（按从左到右的顺序依次做“ ”运算）．已知正整数m，n为常数，记M＝m （x2+31xy），N＝n （y2﹣14xy），若M N不含xy项，则mn＝ ．
（2025 安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m，若余数为0，则m，若余数为1，则m＝2n，若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9，根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ，
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
3 、解答题（本大题共11小题）
（2025 兰州）计算：（a+2）（a﹣2）+a（3﹣a）．
（2025 湖南）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x＝6．
（2025 常州）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）2，其中．
（2025 长春）先化简，再求值：（1+x）2﹣2x，其中．
（2025 浙江）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．
（2025 广西）（1）计算：（﹣2）×（﹣1）+3，
（2）化简：a（a﹣1）+a．
（2025 河南）（1）计算：（π﹣1）0，
（2）化简：（x+1）2﹣x（x+2）．
（2025 潍坊）（1）先化简，再求值：x（5x﹣8y）﹣4（x﹣y）2，其中x，y满足x+2y＝0．
（2）解方程组：．
（2025 南通）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明，如果是假命题，举出反例．
（1）若a2＝b2，则a＝b，
（2）对于任意实数x，y，一定有x2+y2＞2xy，
（3）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数，
（4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．
（2025 福建）阅读材料，回答问题．
【主题】两个正数的积与商的位数探究．
【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据提出算式“46×2＝92，35×21＝735，663×11＝7293，186×362＝67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（m+n﹣1）位的正整数．
【分析探究】问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明，否则，请举出反例．
【推广延伸】
小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n+1，数字是a．
借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．
命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，当c≥a且c≥b时，p＝m+n﹣1，当c＜a且c＜b时，p＝m+n．
证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均为正数．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1，
即．（*）
当c≥a且c≥b时，1，所以b＜10，又，所以10．由（*）知，1，所以p＝m+n﹣1，
当c≥a且c＜b时，，所以，所以110，与（*）矛盾，不合题意，
当c＜a且c≥b时，① ，
当c＜a且c＜b时，② ．
综上所述，命题成立．
【拓展迁移】问题2 若正数A、B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论．
（1）解决问题1，
（2）请把①②所缺的证明过程补充完整，
（3）解决问题2．
（2025 宁夏）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3﹣1＝2，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数265是否为“极差数”？ ．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为 ，
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
答案解析
1 、选择题
【考点】同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方
【分析】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方法则计算各式后进行判断即可．
解：a3 a3＝a6，则A符合题意，
（a2）4＝a8，则B不符合题意，
a3+a3＝2a3，则C不符合题意，
a10÷a3＝a7，则D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】代数式求值
【分析】先化简再求值即可．
解：原式
当a＝﹣3时，原式1．
故选：B．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
【考点】因式分解﹣运用公式法
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查公式法分解因式，掌握平方差公式是正确解答的关键．
【考点】去括号与添括号，合并同类项
【分析】利用去括号，合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式法则逐项判断即可．
解：2a与3b不是同类项，无法合并，则A不符合题意，
﹣（a+3）＝﹣a﹣3，则B不符合题意，
﹣2×3a＝﹣6a，则C符合题意，
2ab4ab，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查去括号，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】列代数式
【分析】先列出前半部分“x与y的差”，即x﹣y，再列后半部分“的平方”，即可得出答案．
解：根据题目可列出（x﹣y）2，
故选B．
【点评】本题考查的是根据题意列出代数式．
【考点】平方差公式，合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式
【分析】利用平方差公式，完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法法则逐项判断即可．
解：x2 x4＝x6，则A不符合题意，
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，则B不符合题意，
x与2x2不是同类项，无法合并，则C不符合题意，
（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查平方差公式，完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】规律型：数字的变化类，单项式
【分析】观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可．
解：第1个代数式为a，
第2个代数式为3a，
第3个代数式为5a，
第4个代数式为7a，
第5个代数式为9a，
…，
以此类推，可知，第n个代数式是 （2n﹣1）a，
故选：A．
【点评】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，正确找出规律是解题的关键．
【考点】同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方
【分析】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，积的乘方法则逐项判断即可．
解：2x+3x＝5x，则A不符合题意，
x2 x3＝x5，则B不符合题意，
（2x）3＝8x3，则C不符合题意，
x6÷x2＝x4，则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】列代数式
【分析】根据每个机械手摘的数量乘机械手的数量，即可求出m（m＞1）个机械手平均每分钟可以采摘的苹果数．
解：m（m＞1）个机械手每分钟采摘苹果：10m，
故选：D．
【点评】本题考查了代数式，解题的关键是理解题意，根据数量关系列代数式．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】根据题意，依次求出化合物的分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
解：由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2+2，
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2+2，
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2+2，
…，
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n+2）个．
当n＝9时，
2n+2＝2×9+2＝20（个），
即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为20个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数变化的规律是解题的关键．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入n＝6计算即可．
解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
…，
则第n个图案中有4n个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是4×6＝24个，
故选：C．
【点评】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律．
【考点】规律型：图形的变化类，有理数的乘方,相似三角形是判定和性质
【分析】根据所给变换方式，依次求出所得三角形的面积，发现规律即可解决问题．
解：由题知，
因为点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，
所以A1B1∥AB，B1C1∥AC，A1C1∥BC，，
所以△A1B1C1∽△BAC，
则．
又因为△ABC的面积为1，
所以△A1B1C1的面积为．
同理可得，△A2B2C2的面积为，△A3B3C3的面积为，…，
所以△AnBn n的面积可表示为．
故选：C．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律及有理数的乘方，能根据题意发现所得三角形面积变化的规律是解题的关键．
【考点】公因式
【分析】由题可设设a＝11m，b＝11n（m、n互质），进而推出mn＝8，进而得到a、b为11、88或88、11．据此求解即可．
解：∵a、b最大公因数为11，
∴设a＝11m，b＝11n（m、n互质），
∵a、b最小公倍数为88，
∴11mn＝88，即mn＝8，
所以（m，n）可能为（1，8）或（2，4）（舍去，因需互质）或（8，1），
故a、b为11、88或88、11．
甲的看法：a、b的最大公因数为11，则a、b、c的最大公因数必为11的因数，不可能大于11，
故甲看法错误．
乙的看法：若c为11的因数（如11），则a、b、c的最小公倍数仍为88，若c与88有更小公倍数（如c＝88，最小公倍数不变），无法比88小，
故乙看法错误．
综上，甲乙皆错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【考点】规律型：数字的变化类，整式的加减
【分析】根据题意逐项分析，对a0进行分类讨论，即可求解．
解：当n＝1时，a0+a1＝4，
当a0＝0，a1＝4时，整式M为4x，
当a0＞0时，整式M不可能为单项式，
当n＞1时，
∵a1，a2，…，an为正整数，
∴整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确，
当n＝3时，a0+a1+a2+a3＝4，
当a0＝0时，a1+a2+a3＝4，
则a1，a2，a3中有一个可能为2，故会有三种情况，对应的整式M为x+x2+2x3，x+2x2+x3，2x+x2+x3，
当a0＝1时，a1+a2+a3＝3，
则a1＝a2＝a3＝1，故会有一种情况，对应的整式M为1+x+x2+x3，
当a0＞1时，a1+a2+a3＜3，与a1，a2，…，an为正整数矛盾，故不存在，
∴满足条件的所有整式M的和为5x3+5x2+5x+1，故②错误，
∵多项式为二次三项式，
∴n＝2，
∴a0+a1+a2＝4，
因为多项式为三项式，故a0≠0，
当a0＝1时，a1+a2＝3，
则有1+x+2x2，1+2x+x2两种，
∵1+x+2x2＝2（x，1+2x+x2＝（x+1）2＞0，
∴1+x+2x2，1+2x+x2两种都满足条件，
当a0＝2时，a1+a2＝2，
则有2+x+x2一种，
∵，
∴2+x+x2满足条件，
当a0＞2时，a1+a2＜2与a1，a2，…，an为正整数矛盾，故不存在，
所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，
其中正确的个数是2个，
故选：C．
【点评】本题综合考查了整式与配方法理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键．
2 、填空题
【考点】因式分解﹣提公因式法
【分析】观察发现多项式的各项有公因式ab，直接提取公因式ab即可．
解：a2b+ab2＝ab a+ab b＝ab（a+b），
故答案为：ab（a+b）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：①系数应取各项系数的最大公约数，②字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，③取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
【考点】因式分解﹣运用公式法
【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可．
解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键．
【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法的逆运算计算即可．
解：am+2n＝am a2n＝3×4＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，同底数幂的除法，底数不变，指数相减，幂的乘方，底数不变，指数相乘，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．
【考点】合并同类项
【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
解：3x﹣x﹣5x＝（3﹣1﹣5）x＝﹣3x．
故答案为：﹣3x．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）
解：（a2）3＝a2×3＝a6．
故答案为：a6
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
【考点】合并同类项
【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
解：2a2+4a2＝（2+4）a2＝6a2．
故答案为：6a2．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【考点】规律型：数字的变化类，单项式
【分析】已知式子，得到第n个式子为2n xn，即可得到答案．
解：第1个式子：2x＝1×2 x1，
第2个式子：4x2＝2×2 x2，
第3个式子：6x3＝3×2 x3，
第4个式子：8x4＝4×2 x4，
…，
观察发现，第n个式子为2nxn，
故答案为：2nxn．
【点评】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．
【考点】同类项
【分析】根据同类项的定义解答即可．
解：答案不唯一，如7ab．
故答案为：7ab（答案不唯一）．
【点评】本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键．
【考点】列代数式
【分析】根据题意：设该砖的质量为m，其为定值，且有P S＝mg，即P与S成反比例关系，且B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，则把砖的C面向下放在地上时，地面所受压强是3a帕．
解：设该砖的质量为m，则P S＝mg，
即P与S成反比例关系，
∵B的面积：C的面积＝3：1，
B面向下放在地上，地面所受压强为a Pa，
∴把砖的C面向下放在地上时，地面所受压强为：3a帕．
故答案为：3a．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键根据压强的关系式来进行解答．
【考点】代数式求值
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
解：∵6y﹣4x+1＝﹣4x+6y+1，
∴当2x﹣3y＝2时，原式＝﹣4x+6y+1＝﹣2（2x﹣3y）+1＝﹣2×2+1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
【考点】列代数式
【分析】分别用m、n表示出大串冰糖葫芦和小串冰糖葫芦山楂的数量，再相加即可．
解：需要的山楂总个数为：（5m+3n）个，
故答案为：（5m+3n）个．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是根据数量关系来列代数式．
【考点】完全平方式，整式的加减
【分析】根据完全平方公式进行解答即可．
解：∵4x2+4x+1＝（2x+1）2，
∴加上的单项式是：4x，
故答案为：4x（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握灵活运用完全平方公式．
【考点】代数式求值
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
解：∵2y﹣2x+3＝﹣2x+2y+3，
∵y＝x+1，
∴y﹣x＝1，
∴当y﹣x＝1时，原式＝﹣2x+2y+3＝2（y﹣x）+3＝2×1+3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
【考点】列代数式
【分析】先求出每个布老虎利润增加的钱数，再乘a即是答案．
解：（80﹣20）a＝60a（元），
故答案为：60a．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题中的数量关系来列代数式．
【考点】单项式乘多项式，合并同类项
【分析】利用单项式乘多项式法则计算后再合并同类项即可．
解：原式＝a2﹣3a﹣a2＝﹣3a，
故答案为：﹣3a．
【点评】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】规律型：图形的变化类，列代数式
【分析】根所给图形，依次求出图形中黑色棋子的个数，发现规律即可解决问题．
解：由所给图形可知，
第1个图形中黑色棋子的个数为：4＝1×3+1，
第2个图形中黑色棋子的个数为：7＝2×3+1，
第3个图形中黑色棋子的个数为：10＝3×3+1，
…，
所以第n个图形中黑色棋子的个数为3n+1．
故答案为：3n+1．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现黑色棋子的个数依次增加3是解题的关键．
【考点】列代数式，多边形内角与外角
【分析】由题意可得机器人正好走了一个正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
解：∵由题意可得机器人正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为：360°÷15°＝24，
则第一次回到出发点时，该机器人共走了24n步，
故答案为：24n．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接让360°除以一个外角度数即可．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据题干中所得系数规律得到关于m的方程，解得m的值即可．
解：∵（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，
∴mx3＝4x3×2，
∴m＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查数式规律问题，理解题意并得出规律是解题的关键．
【考点】规律型：图形的变化类，列代数式
【分析】观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．
解：图（1）有2个三角形，记作a1＝02+2＝2，
图（2）有3个三角形，记作a2＝12+2＝3，
图（3）有6个三角形，记作a3＝22+2＝6，
图（4）有11个三角形，记作a4＝32+2＝11，
按此方法继续下去，则an＝（n﹣1）2+2＝n2﹣2n+3．
故答案为：n2﹣2n+3．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键．
【考点】规律型：图形的变化类，全等图形
【分析】根据图形的变化情况得出规律，即可解决问题．
解：观察图形可知，第1个图案用了3个矩形，即3＝2×1+1，
第2个图案用了5个矩形，即5＝2×2+1，
第3个图案用了7个矩形，即7＝2×3+1，
…
第n个图案用了（2n+1）个矩形，
∴第10个图案需要用矩形的个数为2×10+1＝21（个），
故答案为：21．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，观察图形的变化，找出规律是解题的关键．
【考点】规律型：图形的变化类，勾股定理
【分析】观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有1+21＝3个正方形，第3个图形有1+21+22＝7个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可．
解：由图可知：第一个图形有1个正方形，
第2个图形有1+21＝3个正方形，
第3个图形有1+21+22＝7个正方形，
∴第5个图形中共有1+21+22+23+24＝31个正方形，
故答案为：31．
【点评】本题考查图形类规律探究，正确找出规律是解题的关键．
【考点】规律型：数字的变化类，分式的加减法，真分数、假分数和带分数，分数的加减法
【分析】先根据题中定义，结合题干例子可求解第一空分别求得k＝3、5、7…2n+1对应等式，由此得到等式左右两边代数式的变化规律，进而可得答案．
解：，
由题意，
当k＝3＝2×1+1时，，
当k＝5＝2×2+1时，，
当k＝7＝2×3+1时，，
…，
当k＝2n+1时，，
又∵n，
∴对于任意奇数k（k＞2），，
故答案为：，．
【点评】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键．
【考点】整式的加减，有理数的混合运算
【分析】先根据k A，令k＝1，2，3…，求出相应的结果，进而推导出当k＝m时的结果，利用新定义，求出M，N，再根据新定义求出M N，根据M N不含xy项，得到xy项的系数为0，进行求解即可．
解：∵k A，
∴当k＝1时，1 A＝A＝（21﹣1）A，
当k＝2时，2 A＝A A＝2A+A＝3A＝（22﹣1）A，
当k＝3时，3 A＝A A A＝3A A＝2×3A+A＝7A＝（23﹣1）A，
当k＝4时，3 A＝A A A A＝3A A A＝7A A＝15A＝（24﹣1）A，
…，
∴当k＝m时，m A＝（2m﹣1）A，当k＝n时，n A＝（2n﹣1）A，
∴M＝m （x2+31xy）＝（2m﹣1）（x2+31xy），N＝（2n﹣1）（y2﹣14xy），
∴M N＝2M+N＝2（2m﹣1）（x2+31xy）+（2n﹣1）（y2﹣14xy）
＝（2m+1﹣2）x2+（2n﹣1）y2+[62 （2m﹣1）﹣14（2n﹣1）]xy，
∵M N不含xy项，
∴62 （2m﹣1）﹣14（2n﹣1）＝0，
∴31（2m﹣1）﹣7（2n﹣1）＝0．
设2m＝a，2n＝b，
则：3la﹣7b＝24，
∴，
∵a，b均为2的整数幂，为偶数，
∴，
∴2m＝8，2n＝32，
∴，
∴mn＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，掌握数字规律是解题的关键．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】（1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数，
（2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或0，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案．
解：（1）∵15÷3＝5…0，
∴15进行一次变换后得到的数为，
∵5÷3＝1…2，
∴15进行二次变换后得到的数为5+1＝6，
∵6÷3＝2…0，
∴15进行三次变换后得到的数为2，
故答案为：2，
（2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3＝3，此时符合题意，
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意，
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1﹣1＝0，此时不符合题意，
综上所述，第一次变换后所得的数为3，
当n除以3的余数为0时，则n＝3×3＝9，符合题意，
当n除以3的余数为1时，则，不符合题意，
当n除以3的余数为2时，则n＝3﹣1＝2，符合题意，
∴符合题意的n的值是9或2，
∴所有满足条件的n的值之和为2+9＝11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键．
3 、解答题
【考点】平方差公式，单项式乘多项式
【分析】利用平方差公式，单项式乘多项式法则展开后再合并同类项即可．
解：原式＝a2﹣4+3a﹣a2
＝3a﹣4．
【点评】本题考查平方差公式，单项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】整式的混合运算—化简求值，平方差公式
【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
解：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x）
＝x2﹣4+x﹣x2
＝x﹣4，
当x＝6时，原式＝6﹣4＝2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案．
解：原式＝x2+2x+x2﹣2x+1
＝2x2+1，
当时，原式．
【点评】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】根据整式的混合运算法则先化简，然后再把x的值代入化简后是式子进行计算即可．
解：（1+x）2﹣2x
＝1+2x+x2﹣2x
＝x2+1．
当时，
原式＝（）2+1＝4．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则进行计算．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则去掉括号，再合并同类项进行化简，最后将数值代入求出结果．
解：x（5﹣x）+x2+3
＝5x﹣x2+x2+3
＝5x+3，
当x＝2时，
原式＝5×2+3＝13．
【点评】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是根据运算法则来计算．
【考点】整式的混合运算，实数的运算
【分析】（1）先算乘法，再算加法即可，
（2）先根据单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．
解：（1）（﹣2）×（﹣1）+3
＝2+3
＝5，
（2）a（a﹣1）+a
＝a2﹣a+a
＝a2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【考点】整式的混合运算，实数的运算
【分析】（1）利用立方根的定义，零指数幂，二次根式的乘法法则计算后再算加减即可，
（2）利用完全平方公式，单项式乘单项式法则展开，然后去括号并合并同类项即可．
解：（1）原式＝2+1﹣3
＝3﹣3
＝0，
（2）原式＝x2+2x+1﹣（x2+2x）
＝x2+2x+1﹣x2﹣2x
＝1．
【点评】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】整式的混合运算—化简求值，解二元一次方程组
【分析】（1）先对整式进行化简，再把x+2y＝0整体代入求出结果，
（2）按照二元一次方程组的方法进行解答即可．
解：（1）x（5x﹣8y）﹣4（x﹣y）2
＝5x2﹣8xy﹣4（x2﹣2xy+y2）
＝5x2﹣8xy﹣4x2+8xy﹣4y2
＝x2﹣4y2，
因为x+2y＝0，
所以x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝0×（x﹣2y）＝0．
（2），
由①，得 x＝y+2，③
将③代入②，得：
2（y+2）+3y＝﹣1，
解得 y＝﹣1，
将 y＝﹣1代入③，
得x＝1，
所以
【点评】本题考查了整式的混合运算和解二元一次方程组，解题的关键是根据运算法则来计算．
【考点】因式分解的应用，平行四边形的判定，命题与定理
【分析】（1）因为a2＝b2，所以a2＝b2＝0，即（a+b）（a﹣b）＝0，所以a+b＝0或a﹣b＝0，得a＝﹣b或a＝b，举个例子即可，
（2）因为（x﹣y）2≥0，所以x2+y2﹣2xy≥0，所以x2+y2≥2xy，举例判断本题错误，
（3）设两个连续的正奇数为2k﹣1，2k+l（k为正整数），（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，据此可得本题正确，
（4）梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但并不是平行四边形，据此解答．
解：（1）（2）（4）都是假命题．（3）是真命题．
（1）是假命题，反例：当a＝2，b＝﹣2时，结论不成立，
（2）是假命题，反例：当x＝y时结论不成立，
（3）是真命题，证明如下：
设两个连续的正奇数为2k﹣1，2k+l（k为正整数），
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2
＝4k2+4k+1﹣（4k2﹣4k+1）
＝8k，
∵k为正整数，
∴8k是8的倍数，
∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍敛．
（4）是假命题，反例：当四边形为等腰梯形时结论不成立．
【点评】本题考查了因式分解的应用、平行四边形的判定、命题与定理，解决本题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式解决问题．
【考点】因式分解的应用，不等式的性质，命题与定理
【分析】（1）举反例即可，
（2）①当c＜a且c≥b时，可得，得，不合题意，
②当c＜a且c＜b时，可得，可得，得，即得 p＝m+n，
（3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C＝A．当a≥b时，必有a≥c，m＝n+x﹣1，即x＝m﹣n+1，当a＜b时，必有a＜c，m＝n+x，即x＝m﹣n．
解：（1）小明的猜想不正确，
反例：3×4＝12，
（2）①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意，
②所以，又，所以，
由（*）知所以 p＝m+n，
（3）当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1，
当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n．
证明如下：由已知，A，B的位数分别为m，n，
设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C＝A，
由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c，
此时，m＝n+x﹣1，所以x＝m﹣n+1，
当a＜b时，必有a＜c，
此时，m＝n+x，所以x＝m﹣n，
综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1，
当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n．
【点评】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键．
【考点】整式的加减
【分析】若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”，因为6﹣5＝1，1≠2，所以这个三位数不是“极差数”．
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，更具“极差数”的定义，可得b﹣c＝a．
（2）设一个“极差数”为（a、b、c为正整数），b﹣c＝a，b＝a+c，100a+10b+c＝11（10a+c），因为11（10a+c）能被11整除，即任意一个“极差数”都能被11整除．
解：6﹣5＝1，1≠2，所以这个三位数不是“极差数”．
故答案为：不是．
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为：b﹣c＝a．
故答案为：b﹣c＝a．
（2）设一个“极差数”为（a、b、c为正整数），
所以b﹣c＝a，b＝a+c，
所以100a+10b+c
＝100a+10（a+c）+c
＝100a+10a+10c+c
＝110a+11c
＝11（10a+c），
因为a、b、c为正整数，
所以10a+c为正整数，
所以11（10a+c）能被11整除，
即任意一个“极差数”都能被11整除．
【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是根据“极差数”的定义列式解答．
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【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练2整式与因式分解
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共14小题）
（2025 广安）下列各式运算结果为a6的是（ ）
A．a3 a3 B．（a2）4 C．a3+a3 D．a10÷a3
（2025 河北）若a＝﹣3，则（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．6
（2025 广西）因式分解：a2﹣1＝（ ）
A．（a+1）（a﹣1） B．a（a+1）
C．（a+1）2 D．（a﹣1）2
（2025 德阳）下列各式计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．﹣（a+3）＝﹣a+3
C．﹣2×3a＝﹣6a D．2abab
（2025 上海）下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（ ）
A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y2
（2025 内江）下列计算正确的是（ ）
A．x2 x4＝x8 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x+2x2＝3x2 D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
（2025 云南）按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a， ，第n个代数式是（ ）
A．（2n﹣1）a B．（2n+1）a C．（n+1）a D．2025a
（2025 青海）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2 B．x2 x3＝x6 C．（2x）3＝6x3 D．x6÷x2＝x4
（2025 长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m＞1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ）
A．6m B．m+10 C．60m D．10m
（2025 乐山）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，〇代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
（2025 重庆）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
（2025 江西）如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1，再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2，…依此类推，则△AnBn n的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2025 台湾）已知a、b、c皆为正整数，且a、b两数的最大公因数与最小公倍数分别为11与88．关于a、b、c三数的最大公因数与最小公倍数，甲、乙两人分别提出看法如下：
甲：a、b、c三数的最大公因式可能比11大
乙：a、b、c三数的最小公倍数可能比88小
对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？（ ）
A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
（2025 重庆）已知整式M：a0+a1x+a2x2+ +anxn，其中a0为自然数，n，a1，a2， ，an为正整数，且a0+a1+ +an＝4．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，
②当n＝3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1，
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2 、填空题（本大题共24小题）
（2025 广东）因式分解：a2b+ab2＝ ．
（2025 甘肃）因式分解：x2﹣6x+9＝ ．
（2025 乐山）已知am＝3，an＝2，则am+2n＝ ．
（2025 天津）计算3x﹣x﹣5x的结果为 ．
（2025 常州）计算（a2）3＝ ．
（2025 河北）计算：2a2+4a2＝ ．
（2025 河南）观察2x，4x2，6x3，8x4， ，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为 ．
（2025 长春）写出ab的一个同类项： ．
（2025 南通）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是5：3：1．如果B面向下放在地上，地面所受压强为a Pa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为 Pa．
（2025 威海）若2x﹣3y＝2，则6y﹣4x+1＝ ．
（2025 内蒙古）冰糖葫芦是我国传统小吃．若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
（2025 成都）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
（2025 苏州）若y＝x+1，则代数式2y﹣2x+3的值为 ．
（2025 山西）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）．
（2025 南充）计算：a（a﹣3）﹣a2＝ ．
（2025 徐州）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 （用含n的代数式表示）．
（2025 宁夏）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行n步后右转15°，沿转后方向直行n步后右转15°，再沿转后方向直行n步后右转15°…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步．
（2025 浙江）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
【应用体验】
已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 ．
（2025 绥化）观察如图，图（1）有2个三角形，记作a1＝2，图（2）有3个三角形，记作a2＝3，图（3）有6个三角形，记作a3＝6，图（4）有11个三角形，记作a4＝11，按此方法继续下去，则an＝ （结果用含n的代数式表示）．
（2025 陕西）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
（2025 甘肃）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形．
（2025 成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ，一般地，对于任意奇数k（k＞2），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ．
（2025 新疆）对多项式A，B，定义新运算“ ”：A B＝2A+B，对正整数k和多项式A，定义新运算“ ”：k A（按从左到右的顺序依次做“ ”运算）．已知正整数m，n为常数，记M＝m （x2+31xy），N＝n （y2﹣14xy），若M N不含xy项，则mn＝ ．
（2025 安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m，若余数为0，则m，若余数为1，则m＝2n，若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9，根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ，
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
3 、解答题（本大题共11小题）
（2025 兰州）计算：（a+2）（a﹣2）+a（3﹣a）．
（2025 湖南）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x＝6．
（2025 常州）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）2，其中．
（2025 长春）先化简，再求值：（1+x）2﹣2x，其中．
（2025 浙江）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．
（2025 广西）（1）计算：（﹣2）×（﹣1）+3，
（2）化简：a（a﹣1）+a．
（2025 河南）（1）计算：（π﹣1）0，
（2）化简：（x+1）2﹣x（x+2）．
（2025 潍坊）（1）先化简，再求值：x（5x﹣8y）﹣4（x﹣y）2，其中x，y满足x+2y＝0．
（2）解方程组：．
（2025 南通）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明，如果是假命题，举出反例．
（1）若a2＝b2，则a＝b，
（2）对于任意实数x，y，一定有x2+y2＞2xy，
（3）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数，
（4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．
（2025 福建）阅读材料，回答问题．
【主题】两个正数的积与商的位数探究．
【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据提出算式“46×2＝92，35×21＝735，663×11＝7293，186×362＝67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（m+n﹣1）位的正整数．
【分析探究】问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明，否则，请举出反例．
【推广延伸】
小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n+1，数字是a．
借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．
命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，当c≥a且c≥b时，p＝m+n﹣1，当c＜a且c＜b时，p＝m+n．
证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均为正数．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1，
即．（*）
当c≥a且c≥b时，1，所以b＜10，又，所以10．由（*）知，1，所以p＝m+n﹣1，
当c≥a且c＜b时，，所以，所以110，与（*）矛盾，不合题意，
当c＜a且c≥b时，① ，
当c＜a且c＜b时，② ．
综上所述，命题成立．
【拓展迁移】问题2 若正数A、B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论．
（1）解决问题1，
（2）请把①②所缺的证明过程补充完整，
（3）解决问题2．
（2025 宁夏）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3﹣1＝2，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数265是否为“极差数”？ ．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为 ，
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
答案解析
1 、选择题
【考点】同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方
【分析】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方法则计算各式后进行判断即可．
解：a3 a3＝a6，则A符合题意，
（a2）4＝a8，则B不符合题意，
a3+a3＝2a3，则C不符合题意，
a10÷a3＝a7，则D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】代数式求值
【分析】先化简再求值即可．
解：原式
当a＝﹣3时，原式1．
故选：B．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
【考点】因式分解﹣运用公式法
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查公式法分解因式，掌握平方差公式是正确解答的关键．
【考点】去括号与添括号，合并同类项
【分析】利用去括号，合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式法则逐项判断即可．
解：2a与3b不是同类项，无法合并，则A不符合题意，
﹣（a+3）＝﹣a﹣3，则B不符合题意，
﹣2×3a＝﹣6a，则C符合题意，
2ab4ab，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查去括号，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】列代数式
【分析】先列出前半部分“x与y的差”，即x﹣y，再列后半部分“的平方”，即可得出答案．
解：根据题目可列出（x﹣y）2，
故选B．
【点评】本题考查的是根据题意列出代数式．
【考点】平方差公式，合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式
【分析】利用平方差公式，完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法法则逐项判断即可．
解：x2 x4＝x6，则A不符合题意，
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，则B不符合题意，
x与2x2不是同类项，无法合并，则C不符合题意，
（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查平方差公式，完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】规律型：数字的变化类，单项式
【分析】观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可．
解：第1个代数式为a，
第2个代数式为3a，
第3个代数式为5a，
第4个代数式为7a，
第5个代数式为9a，
…，
以此类推，可知，第n个代数式是 （2n﹣1）a，
故选：A．
【点评】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，正确找出规律是解题的关键．
【考点】同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方
【分析】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，积的乘方法则逐项判断即可．
解：2x+3x＝5x，则A不符合题意，
x2 x3＝x5，则B不符合题意，
（2x）3＝8x3，则C不符合题意，
x6÷x2＝x4，则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】列代数式
【分析】根据每个机械手摘的数量乘机械手的数量，即可求出m（m＞1）个机械手平均每分钟可以采摘的苹果数．
解：m（m＞1）个机械手每分钟采摘苹果：10m，
故选：D．
【点评】本题考查了代数式，解题的关键是理解题意，根据数量关系列代数式．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】根据题意，依次求出化合物的分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
解：由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2+2，
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2+2，
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2+2，
…，
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n+2）个．
当n＝9时，
2n+2＝2×9+2＝20（个），
即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为20个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数变化的规律是解题的关键．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入n＝6计算即可．
解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
…，
则第n个图案中有4n个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是4×6＝24个，
故选：C．
【点评】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律．
【考点】规律型：图形的变化类，有理数的乘方,相似三角形是判定和性质
【分析】根据所给变换方式，依次求出所得三角形的面积，发现规律即可解决问题．
解：由题知，
因为点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，
所以A1B1∥AB，B1C1∥AC，A1C1∥BC，，
所以△A1B1C1∽△BAC，
则．
又因为△ABC的面积为1，
所以△A1B1C1的面积为．
同理可得，△A2B2C2的面积为，△A3B3C3的面积为，…，
所以△AnBn n的面积可表示为．
故选：C．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律及有理数的乘方，能根据题意发现所得三角形面积变化的规律是解题的关键．
【考点】公因式
【分析】由题可设设a＝11m，b＝11n（m、n互质），进而推出mn＝8，进而得到a、b为11、88或88、11．据此求解即可．
解：∵a、b最大公因数为11，
∴设a＝11m，b＝11n（m、n互质），
∵a、b最小公倍数为88，
∴11mn＝88，即mn＝8，
所以（m，n）可能为（1，8）或（2，4）（舍去，因需互质）或（8，1），
故a、b为11、88或88、11．
甲的看法：a、b的最大公因数为11，则a、b、c的最大公因数必为11的因数，不可能大于11，
故甲看法错误．
乙的看法：若c为11的因数（如11），则a、b、c的最小公倍数仍为88，若c与88有更小公倍数（如c＝88，最小公倍数不变），无法比88小，
故乙看法错误．
综上，甲乙皆错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【考点】规律型：数字的变化类，整式的加减
【分析】根据题意逐项分析，对a0进行分类讨论，即可求解．
解：当n＝1时，a0+a1＝4，
当a0＝0，a1＝4时，整式M为4x，
当a0＞0时，整式M不可能为单项式，
当n＞1时，
∵a1，a2，…，an为正整数，
∴整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确，
当n＝3时，a0+a1+a2+a3＝4，
当a0＝0时，a1+a2+a3＝4，
则a1，a2，a3中有一个可能为2，故会有三种情况，对应的整式M为x+x2+2x3，x+2x2+x3，2x+x2+x3，
当a0＝1时，a1+a2+a3＝3，
则a1＝a2＝a3＝1，故会有一种情况，对应的整式M为1+x+x2+x3，
当a0＞1时，a1+a2+a3＜3，与a1，a2，…，an为正整数矛盾，故不存在，
∴满足条件的所有整式M的和为5x3+5x2+5x+1，故②错误，
∵多项式为二次三项式，
∴n＝2，
∴a0+a1+a2＝4，
因为多项式为三项式，故a0≠0，
当a0＝1时，a1+a2＝3，
则有1+x+2x2，1+2x+x2两种，
∵1+x+2x2＝2（x，1+2x+x2＝（x+1）2＞0，
∴1+x+2x2，1+2x+x2两种都满足条件，
当a0＝2时，a1+a2＝2，
则有2+x+x2一种，
∵，
∴2+x+x2满足条件，
当a0＞2时，a1+a2＜2与a1，a2，…，an为正整数矛盾，故不存在，
所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，
其中正确的个数是2个，
故选：C．
【点评】本题综合考查了整式与配方法理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键．
2 、填空题
【考点】因式分解﹣提公因式法
【分析】观察发现多项式的各项有公因式ab，直接提取公因式ab即可．
解：a2b+ab2＝ab a+ab b＝ab（a+b），
故答案为：ab（a+b）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：①系数应取各项系数的最大公约数，②字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，③取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
【考点】因式分解﹣运用公式法
【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可．
解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键．
【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法的逆运算计算即可．
解：am+2n＝am a2n＝3×4＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，同底数幂的除法，底数不变，指数相减，幂的乘方，底数不变，指数相乘，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．
【考点】合并同类项
【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
解：3x﹣x﹣5x＝（3﹣1﹣5）x＝﹣3x．
故答案为：﹣3x．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）
解：（a2）3＝a2×3＝a6．
故答案为：a6
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
【考点】合并同类项
【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
解：2a2+4a2＝（2+4）a2＝6a2．
故答案为：6a2．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【考点】规律型：数字的变化类，单项式
【分析】已知式子，得到第n个式子为2n xn，即可得到答案．
解：第1个式子：2x＝1×2 x1，
第2个式子：4x2＝2×2 x2，
第3个式子：6x3＝3×2 x3，
第4个式子：8x4＝4×2 x4，
…，
观察发现，第n个式子为2nxn，
故答案为：2nxn．
【点评】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．
【考点】同类项
【分析】根据同类项的定义解答即可．
解：答案不唯一，如7ab．
故答案为：7ab（答案不唯一）．
【点评】本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键．
【考点】列代数式
【分析】根据题意：设该砖的质量为m，其为定值，且有P S＝mg，即P与S成反比例关系，且B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，则把砖的C面向下放在地上时，地面所受压强是3a帕．
解：设该砖的质量为m，则P S＝mg，
即P与S成反比例关系，
∵B的面积：C的面积＝3：1，
B面向下放在地上，地面所受压强为a Pa，
∴把砖的C面向下放在地上时，地面所受压强为：3a帕．
故答案为：3a．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键根据压强的关系式来进行解答．
【考点】代数式求值
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
解：∵6y﹣4x+1＝﹣4x+6y+1，
∴当2x﹣3y＝2时，原式＝﹣4x+6y+1＝﹣2（2x﹣3y）+1＝﹣2×2+1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
【考点】列代数式
【分析】分别用m、n表示出大串冰糖葫芦和小串冰糖葫芦山楂的数量，再相加即可．
解：需要的山楂总个数为：（5m+3n）个，
故答案为：（5m+3n）个．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是根据数量关系来列代数式．
【考点】完全平方式，整式的加减
【分析】根据完全平方公式进行解答即可．
解：∵4x2+4x+1＝（2x+1）2，
∴加上的单项式是：4x，
故答案为：4x（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握灵活运用完全平方公式．
【考点】代数式求值
【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．
解：∵2y﹣2x+3＝﹣2x+2y+3，
∵y＝x+1，
∴y﹣x＝1，
∴当y﹣x＝1时，原式＝﹣2x+2y+3＝2（y﹣x）+3＝2×1+3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
【考点】列代数式
【分析】先求出每个布老虎利润增加的钱数，再乘a即是答案．
解：（80﹣20）a＝60a（元），
故答案为：60a．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是根据题中的数量关系来列代数式．
【考点】单项式乘多项式，合并同类项
【分析】利用单项式乘多项式法则计算后再合并同类项即可．
解：原式＝a2﹣3a﹣a2＝﹣3a，
故答案为：﹣3a．
【点评】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】规律型：图形的变化类，列代数式
【分析】根所给图形，依次求出图形中黑色棋子的个数，发现规律即可解决问题．
解：由所给图形可知，
第1个图形中黑色棋子的个数为：4＝1×3+1，
第2个图形中黑色棋子的个数为：7＝2×3+1，
第3个图形中黑色棋子的个数为：10＝3×3+1，
…，
所以第n个图形中黑色棋子的个数为3n+1．
故答案为：3n+1．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现黑色棋子的个数依次增加3是解题的关键．
【考点】列代数式，多边形内角与外角
【分析】由题意可得机器人正好走了一个正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
解：∵由题意可得机器人正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为：360°÷15°＝24，
则第一次回到出发点时，该机器人共走了24n步，
故答案为：24n．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接让360°除以一个外角度数即可．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据题干中所得系数规律得到关于m的方程，解得m的值即可．
解：∵（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，
∴mx3＝4x3×2，
∴m＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查数式规律问题，理解题意并得出规律是解题的关键．
【考点】规律型：图形的变化类，列代数式
【分析】观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．
解：图（1）有2个三角形，记作a1＝02+2＝2，
图（2）有3个三角形，记作a2＝12+2＝3，
图（3）有6个三角形，记作a3＝22+2＝6，
图（4）有11个三角形，记作a4＝32+2＝11，
按此方法继续下去，则an＝（n﹣1）2+2＝n2﹣2n+3．
故答案为：n2﹣2n+3．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键．
【考点】规律型：图形的变化类，全等图形
【分析】根据图形的变化情况得出规律，即可解决问题．
解：观察图形可知，第1个图案用了3个矩形，即3＝2×1+1，
第2个图案用了5个矩形，即5＝2×2+1，
第3个图案用了7个矩形，即7＝2×3+1，
…
第n个图案用了（2n+1）个矩形，
∴第10个图案需要用矩形的个数为2×10+1＝21（个），
故答案为：21．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，观察图形的变化，找出规律是解题的关键．
【考点】规律型：图形的变化类，勾股定理
【分析】观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有1+21＝3个正方形，第3个图形有1+21+22＝7个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可．
解：由图可知：第一个图形有1个正方形，
第2个图形有1+21＝3个正方形，
第3个图形有1+21+22＝7个正方形，
∴第5个图形中共有1+21+22+23+24＝31个正方形，
故答案为：31．
【点评】本题考查图形类规律探究，正确找出规律是解题的关键．
【考点】规律型：数字的变化类，分式的加减法，真分数、假分数和带分数，分数的加减法
【分析】先根据题中定义，结合题干例子可求解第一空分别求得k＝3、5、7…2n+1对应等式，由此得到等式左右两边代数式的变化规律，进而可得答案．
解：，
由题意，
当k＝3＝2×1+1时，，
当k＝5＝2×2+1时，，
当k＝7＝2×3+1时，，
…，
当k＝2n+1时，，
又∵n，
∴对于任意奇数k（k＞2），，
故答案为：，．
【点评】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键．
【考点】整式的加减，有理数的混合运算
【分析】先根据k A，令k＝1，2，3…，求出相应的结果，进而推导出当k＝m时的结果，利用新定义，求出M，N，再根据新定义求出M N，根据M N不含xy项，得到xy项的系数为0，进行求解即可．
解：∵k A，
∴当k＝1时，1 A＝A＝（21﹣1）A，
当k＝2时，2 A＝A A＝2A+A＝3A＝（22﹣1）A，
当k＝3时，3 A＝A A A＝3A A＝2×3A+A＝7A＝（23﹣1）A，
当k＝4时，3 A＝A A A A＝3A A A＝7A A＝15A＝（24﹣1）A，
…，
∴当k＝m时，m A＝（2m﹣1）A，当k＝n时，n A＝（2n﹣1）A，
∴M＝m （x2+31xy）＝（2m﹣1）（x2+31xy），N＝（2n﹣1）（y2﹣14xy），
∴M N＝2M+N＝2（2m﹣1）（x2+31xy）+（2n﹣1）（y2﹣14xy）
＝（2m+1﹣2）x2+（2n﹣1）y2+[62 （2m﹣1）﹣14（2n﹣1）]xy，
∵M N不含xy项，
∴62 （2m﹣1）﹣14（2n﹣1）＝0，
∴31（2m﹣1）﹣7（2n﹣1）＝0．
设2m＝a，2n＝b，
则：3la﹣7b＝24，
∴，
∵a，b均为2的整数幂，为偶数，
∴，
∴2m＝8，2n＝32，
∴，
∴mn＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，掌握数字规律是解题的关键．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】（1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数，
（2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或0，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案．
解：（1）∵15÷3＝5…0，
∴15进行一次变换后得到的数为，
∵5÷3＝1…2，
∴15进行二次变换后得到的数为5+1＝6，
∵6÷3＝2…0，
∴15进行三次变换后得到的数为2，
故答案为：2，
（2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3＝3，此时符合题意，
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意，
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1﹣1＝0，此时不符合题意，
综上所述，第一次变换后所得的数为3，
当n除以3的余数为0时，则n＝3×3＝9，符合题意，
当n除以3的余数为1时，则，不符合题意，
当n除以3的余数为2时，则n＝3﹣1＝2，符合题意，
∴符合题意的n的值是9或2，
∴所有满足条件的n的值之和为2+9＝11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键．
3 、解答题
【考点】平方差公式，单项式乘多项式
【分析】利用平方差公式，单项式乘多项式法则展开后再合并同类项即可．
解：原式＝a2﹣4+3a﹣a2
＝3a﹣4．
【点评】本题考查平方差公式，单项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】整式的混合运算—化简求值，平方差公式
【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
解：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x）
＝x2﹣4+x﹣x2
＝x﹣4，
当x＝6时，原式＝6﹣4＝2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案．
解：原式＝x2+2x+x2﹣2x+1
＝2x2+1，
当时，原式．
【点评】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】根据整式的混合运算法则先化简，然后再把x的值代入化简后是式子进行计算即可．
解：（1+x）2﹣2x
＝1+2x+x2﹣2x
＝x2+1．
当时，
原式＝（）2+1＝4．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则进行计算．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则去掉括号，再合并同类项进行化简，最后将数值代入求出结果．
解：x（5﹣x）+x2+3
＝5x﹣x2+x2+3
＝5x+3，
当x＝2时，
原式＝5×2+3＝13．
【点评】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是根据运算法则来计算．
【考点】整式的混合运算，实数的运算
【分析】（1）先算乘法，再算加法即可，
（2）先根据单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．
解：（1）（﹣2）×（﹣1）+3
＝2+3
＝5，
（2）a（a﹣1）+a
＝a2﹣a+a
＝a2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【考点】整式的混合运算，实数的运算
【分析】（1）利用立方根的定义，零指数幂，二次根式的乘法法则计算后再算加减即可，
（2）利用完全平方公式，单项式乘单项式法则展开，然后去括号并合并同类项即可．
解：（1）原式＝2+1﹣3
＝3﹣3
＝0，
（2）原式＝x2+2x+1﹣（x2+2x）
＝x2+2x+1﹣x2﹣2x
＝1．
【点评】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【考点】整式的混合运算—化简求值，解二元一次方程组
【分析】（1）先对整式进行化简，再把x+2y＝0整体代入求出结果，
（2）按照二元一次方程组的方法进行解答即可．
解：（1）x（5x﹣8y）﹣4（x﹣y）2
＝5x2﹣8xy﹣4（x2﹣2xy+y2）
＝5x2﹣8xy﹣4x2+8xy﹣4y2
＝x2﹣4y2，
因为x+2y＝0，
所以x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝0×（x﹣2y）＝0．
（2），
由①，得 x＝y+2，③
将③代入②，得：
2（y+2）+3y＝﹣1，
解得 y＝﹣1，
将 y＝﹣1代入③，
得x＝1，
所以
【点评】本题考查了整式的混合运算和解二元一次方程组，解题的关键是根据运算法则来计算．
【考点】因式分解的应用，平行四边形的判定，命题与定理
【分析】（1）因为a2＝b2，所以a2＝b2＝0，即（a+b）（a﹣b）＝0，所以a+b＝0或a﹣b＝0，得a＝﹣b或a＝b，举个例子即可，
（2）因为（x﹣y）2≥0，所以x2+y2﹣2xy≥0，所以x2+y2≥2xy，举例判断本题错误，
（3）设两个连续的正奇数为2k﹣1，2k+l（k为正整数），（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，据此可得本题正确，
（4）梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但并不是平行四边形，据此解答．
解：（1）（2）（4）都是假命题．（3）是真命题．
（1）是假命题，反例：当a＝2，b＝﹣2时，结论不成立，
（2）是假命题，反例：当x＝y时结论不成立，
（3）是真命题，证明如下：
设两个连续的正奇数为2k﹣1，2k+l（k为正整数），
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2
＝4k2+4k+1﹣（4k2﹣4k+1）
＝8k，
∵k为正整数，
∴8k是8的倍数，
∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍敛．
（4）是假命题，反例：当四边形为等腰梯形时结论不成立．
【点评】本题考查了因式分解的应用、平行四边形的判定、命题与定理，解决本题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式解决问题．
【考点】因式分解的应用，不等式的性质，命题与定理
【分析】（1）举反例即可，
（2）①当c＜a且c≥b时，可得，得，不合题意，
②当c＜a且c＜b时，可得，可得，得，即得 p＝m+n，
（3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C＝A．当a≥b时，必有a≥c，m＝n+x﹣1，即x＝m﹣n+1，当a＜b时，必有a＜c，m＝n+x，即x＝m﹣n．
解：（1）小明的猜想不正确，
反例：3×4＝12，
（2）①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意，
②所以，又，所以，
由（*）知所以 p＝m+n，
（3）当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1，
当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n．
证明如下：由已知，A，B的位数分别为m，n，
设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C＝A，
由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c，
此时，m＝n+x﹣1，所以x＝m﹣n+1，
当a＜b时，必有a＜c，
此时，m＝n+x，所以x＝m﹣n，
综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1，
当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n．
【点评】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键．
【考点】整式的加减
【分析】若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”，因为6﹣5＝1，1≠2，所以这个三位数不是“极差数”．
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，更具“极差数”的定义，可得b﹣c＝a．
（2）设一个“极差数”为（a、b、c为正整数），b﹣c＝a，b＝a+c，100a+10b+c＝11（10a+c），因为11（10a+c）能被11整除，即任意一个“极差数”都能被11整除．
解：6﹣5＝1，1≠2，所以这个三位数不是“极差数”．
故答案为：不是．
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为：b﹣c＝a．
故答案为：b﹣c＝a．
（2）设一个“极差数”为（a、b、c为正整数），
所以b﹣c＝a，b＝a+c，
所以100a+10b+c
＝100a+10（a+c）+c
＝100a+10a+10c+c
＝110a+11c
＝11（10a+c），
因为a、b、c为正整数，
所以10a+c为正整数，
所以11（10a+c）能被11整除，
即任意一个“极差数”都能被11整除．
【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是根据“极差数”的定义列式解答．
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