第一章《有理数》提升卷—冀教版（2024）数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2022七上·华容月考）如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，A、B、C、D哪个球最接近标准（ ）
A．－3.5 B．＋0.7 C．－2.5 D．－0.6
【答案】D
【知识点】绝对值的概念与意义；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：通过求五个排球的绝对值得：|-0.6|=0.6，|+0.7|=0.7，|-2.5|=2.5，|-3.5|=3.5，|5|=5，
-0.6的绝对值最小．
所以最后一个球是接近标准的球．
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的意义，分别求出5个数的绝对值，然后找出这5个数中绝对值最小的那个，最小的那个就是最接近标准的排球。
2．（2025七上·镇海区期末）某一天，哈尔滨，北京，杭州，宁波四个城市的最低气温分别是 ，其中气温最低的城市是（ ）
A．哈尔滨 B．北京 C．杭州 D．宁波
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：
∴最低气温是
∴气温最低的城市是哈尔滨，
故答案为： A.
【分析】根据负数小于0小于正数，两个负数比较，绝对值大的反而小，进行比较即可.
3．（2024七上·保山月考） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，
∴ 的倒数是．
故答案为：C．
【分析】根据“乘积为1的两个数互为倒数”，用 计算即可得到 的倒数．
4．（2024七上·会泽月考）点A在数轴上距原点3个单位长度，将点A向左移动2个单位长度至B点，此时点B表示的数是（ ）
A．1 B．5 C．或5 D．1或
【答案】D
【知识点】有理数的减法法则；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵点A在数轴上距原点3个单位长度，
∴点A表示的数可能是3或，
当点A表示的数是3时，将点A向左移动2个单位长度至B点，此时点B表示的数是．
当点A表示的数是3时，将点A向左移动2个单位长度至B点，此时点B表示的数是，
综上，点B表示的数是1或者，
故答案为：D．
【分析】
根据题意先确定点A表示的数，再根据点在数轴上移动的规律，左减右加，列出算式，计算即可解答．
5．（2019七上·江都月考） 一定是（ ）
A．正数 B．负数
C． D．以上选项都不正确
【答案】D
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：∵a可正、可负、也可能是0，∴-a可正、可负、也可能是0.
故答案为：D.
【分析】由于a代表的是全体实数，故a的相反数也是全体实数.
6．下列各组数中，相等的是 （ ）
A．-33和 B． 和 C．43和34 D． 和
【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、，符合题意；
B、，=-16，不符合题意；
C、43=64，34=81，不符合题意；
D、，，不符合题意；
故答案为： A
【分析】根据有理数的乘方结合题意对选项逐一运算，进而比较大小即可求解。
7．（2024七上·义乌月考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：A、-1-9=-10，原计算错误，不符合题意；
B、7.8+(-1.2)-(-0.2)=7.8-1.2+0.2=6.8，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据有理数的运算法则进行计算即可.
8．（2025七上·龙岗期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若|a-c|=10，|a-d|=12，|b-d|=9，则|b-c|的值是（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．10
【答案】C
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：由条件可知，|a-c|=10，|a-d|=12，|b-d|=9，
由数轴可知，|c-d|=|a-d|-|a-c|=12-10=2
∴|b-c|=|b-d|-|c-d|=9-2=7
故答案为：C.
【分析】将条件转化成各线段的长度，根据数轴中各线段的关系计算即可.
9．（2024七上·青山湖月考）已两点在数轴上表示的数分别是和，若在数轴上找一点，使得和之间的距离是，使得之的距离是，则之间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：如图所示，
∴间的距离可能是，
∴之间的距离不可能是，
故答案为：．
【分析】先结合数轴求出间的距离可能是，再利用两点之间的距离公式求出CD之间的距离即可.
10．（2024七上·杭州月考）现定义两种同级运算“”“”。对于任意两个整数，，，则的结果是（ ）
A．39 B．90 C．12 D．
【答案】D
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解： ==13*（-3）=13×（-3）-1=-40.
故答案为：D.
【分析】先计算括号里的，再从左向右进行同级运算，根据新运算定义列出算式计算即可.
11．在数轴上任取一条长度为1999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）.
A．1998 B．1999 C．2000 D．2001
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵199919992000
∴线段在这条数轴上最多能盖住的整数点含有0，1，2，3……，1999，共2000个
故答案为：C.
【分析】掌握结论当数轴的一端恰好为整点时，覆盖的整数点个数最多，由此即可解答.
12．（2024七上·东莞月考）当温度每上升时，某种金属丝伸长；反之，当温度下降时，金属丝就缩短．把的这种金属丝加热到，再使它冷却降温到．金属丝最后的长度比原来的长度伸长（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：因为当温度每上升时，某种金属丝伸长；
所以把的这种金属丝加热到时，金属丝伸长的长度为：
0.002×（60-15）=0.09mm，
再使它冷却降温到时，
金属丝缩短的长度为：0.002×（60-5）=0.11mm，
所以金属丝最后的长度比原来的长度伸长0.09-0.11=-0.02mm，
即金属丝最后的长度比原来的长度伸长.
故答案为：B．
【分析】根据题意可求出把的这种金属丝加热到时金属丝伸长的长度，以及使它冷却降温到时金属丝缩短的长度，然后用金属丝伸长的长度减去金属丝缩短的长度即可求解.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．（2024七上·通川期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为 ．
【答案】3
【知识点】绝对值的非负性；相反数的意义与性质
【解析】【解答】∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，
∴|a﹣1|+|b﹣2|=0，
∴a-1=0，b-2=0，
解得：a=1，b=2，
∴a+b=1+2=3，
故答案为：3.
【分析】利用相反数的性质可得|a﹣1|+|b﹣2|=0，再利用绝对值的非负性求出a、b的值，最后将a、b的值代入a+b计算即可.
14．已知四个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这四个有理数中，正数有 个.
【答案】1或3
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：根据题意得：
∵4个有理数相乘，积的符号是负号，
∴这4个有理数中，负数的个数为1个或3个，
∴正数有3个或1个，
故答案为：1或3.
【分析】利用几个非零有理数相乘，积的符号是负数的个数决定，当负数的个数为奇数个时，积为负，当负数的个数为偶数个数时，积为正，即可求解.
15．（2024七上·恩平期中）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程的值是 ．
【答案】
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，图2表示的计算过程是：
故答案为：．
【分析】根据图示可直接得出答案。
16．（2024七上·佛山期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．请问捏合到第 次后可拉出约8千多根面条．
【答案】13
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：第一次捏合为2根，
第二次捏合为4根，，
第三次捏合为8根，，
…，
所以，第n次捏合为根，
∵当时，，
∴捏合到第13次时，可拉出约8千多根面条．
故答案为：13．
【分析】根据有理数的乘方，然后再根据图形中实际情况，列出表示第n次捏合后的根数，然后再进行求解即可。
三、解答题：本大题8小题，共72分.
17．计算下列各题：
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
8+10=15；
（4）解：原式=70×0.25+0.25×12.5+17.5×0.25
=0.25×(70+12.5+17.5)
=0.25×100
=25.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加、减混合运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【分析】(1)先把有理数的减法转化为加法，然后利用加法交换律和结合律进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算除法，后算加减，即可解答；
(3)利用乘法分配律进行计算，即可解答；
(4)利用乘法分配律进行计算，即可解答.
18．计算：
【答案】解：设
则 a-b=1，
∴原式
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】认真观察数据特征，利用“换元”思想进行计算.
19．（2024七上·高明期中）计算：
小高的解题过程如下： 解：原式 第①步 第②步 第 ③步 小明的解题过程如下： 解：原式 第①步 第②步 第③步
（1）两位同学的解答过程都有错误，小高的解答过程错在第________步，小明的解答过程错在第________步（填序号）；
（2）请写出正确的解题过程．
【答案】（1）②， ①
（2）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】（1）解：小高解题过程中第二步计算有错误，小王解题过程中第一步有错误，
故答案为：②， ①；
【分析】（1） 小高的解题 过程中第二步计算乘除混合运算时，应从左到右依次计算；小明 的解题过程 第一步计算应该先计算括号里面的；
（2）按照有理数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，然后把除法转化为乘法计算即可．
（1）解：小高解题过程中第二步计算有错误，小王解题过程中第一步有错误，
故答案为：②， ①；
（2）解：
．
20．对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=a(a+b)-1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算.例如，2⊙5=2×(2+5)-1=13.
（1）求(1⊙2)⊙3
（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“ ”，使得5 3=20，写出你定义的运算：m n= .(用含m，n的式子表示)
【答案】（1）解：
（2）m(n+1)(答案不唯一)
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：
故答案为： m(n+1) .(答案不唯一)
【分析】(1)根据 可以求得题目中所求式子的值；
(2)根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一.
21．（2024七上·临平开学考）如图，若点A表示0.2，的结果请用点B表示在图中；若点A表示1，的结果请用点C表示在图中；若点A表示0.1，那么点D表示的数，请写在图中．
【答案】解：若点A表示0.2，，由于A距离原点2个单位，那么一个单位为0.1，点B表示在图中应该距离原点右边3个单位；
若点A表示1，，由于A距离原点2个单位，那么一个单位为0.5，点C大概在A左边的一个单位里面；
若点A表示0.1，由于A距离原点2个单位，那么一个单位为0.05，那么点D在原点的左边的一个单位，应该是-0.05．
答案如图所示：
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数在数轴上的表示
【解析】【分析】分别根据点A表示的数，确定单位长度，在根据点B在图中表示距离原点右边3个单位的数；点C在图中表示距离点A左边的一个单位的数；点D表示的数应该是-0.05，即可求解.
22．（2024七上·柳州期末）阅读下列材料：
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数5678可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．三进制数转换为十进制数为
根据上述材料，解答下列问题：
（1）二进制数转换为十进制数为：__________；
（2）若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，请判断与是否互为“久久数”，并说明理由．
【答案】（1）11
（2）解：与互为“久久数”，理由如下：因为转换为十进制数为；
转换为十进制数为，
，
所以与互为“久久数”．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解得】解：（1）二进制数转换为十进制数为，
故答案为：11；
【分析】（1）根据题，结合题干二进制数转换为十进制数的方法，即可得到二进制数转换为十进制的数，得到答案．
（2）根据题意，分别求得与互十进制的数，结合“久久数”的定义，进行判断，即可的对答案．
（1）解：二进制数转换为十进制数为，
故答案为：11；
（2）解：与互为“久久数”，理由如下：
因为转换为十进制数为；
转换为十进制数为，
，
所以与互为“久久数”．
23．（2025七上·椒江期末）自2014年至2024年（除2020年外），《》系列电影每年均安排在春节档，至今已上映了十部．下表将这十部《》的电影票房与当年动画票房冠军的票房作比较：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2021 2022 2023 2024
《》的票房 2.5 2.9 5.2 6.1 7.2 6.0 10.0 15.0 20.1
动画票房冠军的票房 2.5 10.0 15.3 6.1 50.4 6.0 10.0 15.0 20.1
票房差 0 0 0 0 0
注：票房单位均为“亿元”，票房差指《》的电影票房与当年动画票房冠军的票房之差．
（1）上表中__________，__________，__________；
（2）《》系列电影最高票房出现在哪一年？并指出《》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份；
（3）据统计这十部《》电影总票房为78.4亿元，求这十年动画票房冠军的总票房．
【答案】（1）；；0
（2）解：由表格中的数据可知，《》系列电影最高票房出现在2024年，《》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份有2014年，2018年，2021年，2022年，2023年，2024年；
（3）解：亿元，∴这十年动画票房冠军的总票房为亿元 ．
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，，，
∴；
故答案为：；；0；
【分析】（1）根据有理数的减法法则解题即可；
（2）根系表格中数据解题即可；
（3）运用《》电影总票房加上所有票房差的绝对值解题即可．
（1）解：由题意得，，，，
∴；
（2）解：由表格中的数据可知，《》系列电影最高票房出现在2024年，《》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份有2014年，2018年，2021年，2022年，2023年，2024年；
（3）解：亿元，
∴这十年动画票房冠军的总票房为亿元 ．
24．阅读下列素材：
如何设计“非对称加密算法”
素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密.
素材 2 3×1 001=3003；13×1 001=13 013；213×1 001=213 213……
素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对1000 以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记(公钥，私钥)为(a，b)(其中a，b均为两位正整数)，则 例：当明文为123(a，b)取(13，77)时，加密解密的过程如下：
结合上述素材，完成以下问题：
【模型理解】
（1）设是一个三位数， 是一个六位数，则 请说明理由.
（2）设是一个三位数， 是一个四位数，则 被1 000 除的余数为 请说明理由.
（3）【初步应用】
若公钥a为69，设计匹配的私钥b.
（4）【解决问题】
请再设计一对匹配的钥匙：( ， ).
【答案】（1）解：左边=×1001=(100x+10y+z)×1 001=100100x+10010y+1001z，
右边： 10 000y+1 000z+100x+10y+z=100 100x+10 010y+1 001z，
∵左边 = 右边，
∴ 等式成立， 即
（2）解： ，其中 能被 整除，
被1000 除的余数为 .
（3）解：∵69×29=2001，
∴b=29
（4）11；91
【知识点】有理数的乘法法则；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（4），
对于匹配的钥匙，则有，
，
匹配的钥匙．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】（1）根据结合题意计算即可求解；
（2）先根据题意计算，进而根据被1000除的余数为即可求解；
（3）根据，对于匹配的钥匙，则，再根据当，时可得出的值；
（4）根据，对于匹配的钥匙，则，再根据即可求解。
1 / 1第一章《有理数》提升卷—冀教版（2024）数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．（2022七上·华容月考）如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，A、B、C、D哪个球最接近标准（ ）
A．－3.5 B．＋0.7 C．－2.5 D．－0.6
2．（2025七上·镇海区期末）某一天，哈尔滨，北京，杭州，宁波四个城市的最低气温分别是 ，其中气温最低的城市是（ ）
A．哈尔滨 B．北京 C．杭州 D．宁波
3．（2024七上·保山月考） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七上·会泽月考）点A在数轴上距原点3个单位长度，将点A向左移动2个单位长度至B点，此时点B表示的数是（ ）
A．1 B．5 C．或5 D．1或
5．（2019七上·江都月考） 一定是（ ）
A．正数 B．负数
C． D．以上选项都不正确
6．下列各组数中，相等的是 （ ）
A．-33和 B． 和 C．43和34 D． 和
7．（2024七上·义乌月考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025七上·龙岗期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若|a-c|=10，|a-d|=12，|b-d|=9，则|b-c|的值是（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．10
9．（2024七上·青山湖月考）已两点在数轴上表示的数分别是和，若在数轴上找一点，使得和之间的距离是，使得之的距离是，则之间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024七上·杭州月考）现定义两种同级运算“”“”。对于任意两个整数，，，则的结果是（ ）
A．39 B．90 C．12 D．
11．在数轴上任取一条长度为1999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）.
A．1998 B．1999 C．2000 D．2001
12．（2024七上·东莞月考）当温度每上升时，某种金属丝伸长；反之，当温度下降时，金属丝就缩短．把的这种金属丝加热到，再使它冷却降温到．金属丝最后的长度比原来的长度伸长（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．（2024七上·通川期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为 ．
14．已知四个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这四个有理数中，正数有 个.
15．（2024七上·恩平期中）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程的值是 ．
16．（2024七上·佛山期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．请问捏合到第 次后可拉出约8千多根面条．
三、解答题：本大题8小题，共72分.
17．计算下列各题：
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
18．计算：
19．（2024七上·高明期中）计算：
小高的解题过程如下： 解：原式 第①步 第②步 第 ③步 小明的解题过程如下： 解：原式 第①步 第②步 第③步
（1）两位同学的解答过程都有错误，小高的解答过程错在第________步，小明的解答过程错在第________步（填序号）；
（2）请写出正确的解题过程．
20．对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=a(a+b)-1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算.例如，2⊙5=2×(2+5)-1=13.
（1）求(1⊙2)⊙3
（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“ ”，使得5 3=20，写出你定义的运算：m n= .(用含m，n的式子表示)
21．（2024七上·临平开学考）如图，若点A表示0.2，的结果请用点B表示在图中；若点A表示1，的结果请用点C表示在图中；若点A表示0.1，那么点D表示的数，请写在图中．
22．（2024七上·柳州期末）阅读下列材料：
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数5678可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．三进制数转换为十进制数为
根据上述材料，解答下列问题：
（1）二进制数转换为十进制数为：__________；
（2）若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，请判断与是否互为“久久数”，并说明理由．
23．（2025七上·椒江期末）自2014年至2024年（除2020年外），《》系列电影每年均安排在春节档，至今已上映了十部．下表将这十部《》的电影票房与当年动画票房冠军的票房作比较：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2021 2022 2023 2024
《》的票房 2.5 2.9 5.2 6.1 7.2 6.0 10.0 15.0 20.1
动画票房冠军的票房 2.5 10.0 15.3 6.1 50.4 6.0 10.0 15.0 20.1
票房差 0 0 0 0 0
注：票房单位均为“亿元”，票房差指《》的电影票房与当年动画票房冠军的票房之差．
（1）上表中__________，__________，__________；
（2）《》系列电影最高票房出现在哪一年？并指出《》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份；
（3）据统计这十部《》电影总票房为78.4亿元，求这十年动画票房冠军的总票房．
24．阅读下列素材：
如何设计“非对称加密算法”
素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密.
素材 2 3×1 001=3003；13×1 001=13 013；213×1 001=213 213……
素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对1000 以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记(公钥，私钥)为(a，b)(其中a，b均为两位正整数)，则 例：当明文为123(a，b)取(13，77)时，加密解密的过程如下：
结合上述素材，完成以下问题：
【模型理解】
（1）设是一个三位数， 是一个六位数，则 请说明理由.
（2）设是一个三位数， 是一个四位数，则 被1 000 除的余数为 请说明理由.
（3）【初步应用】
若公钥a为69，设计匹配的私钥b.
（4）【解决问题】
请再设计一对匹配的钥匙：( ， ).
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】绝对值的概念与意义；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：通过求五个排球的绝对值得：|-0.6|=0.6，|+0.7|=0.7，|-2.5|=2.5，|-3.5|=3.5，|5|=5，
-0.6的绝对值最小．
所以最后一个球是接近标准的球．
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的意义，分别求出5个数的绝对值，然后找出这5个数中绝对值最小的那个，最小的那个就是最接近标准的排球。
2．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：
∴最低气温是
∴气温最低的城市是哈尔滨，
故答案为： A.
【分析】根据负数小于0小于正数，两个负数比较，绝对值大的反而小，进行比较即可.
3．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，
∴ 的倒数是．
故答案为：C．
【分析】根据“乘积为1的两个数互为倒数”，用 计算即可得到 的倒数．
4．【答案】D
【知识点】有理数的减法法则；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵点A在数轴上距原点3个单位长度，
∴点A表示的数可能是3或，
当点A表示的数是3时，将点A向左移动2个单位长度至B点，此时点B表示的数是．
当点A表示的数是3时，将点A向左移动2个单位长度至B点，此时点B表示的数是，
综上，点B表示的数是1或者，
故答案为：D．
【分析】
根据题意先确定点A表示的数，再根据点在数轴上移动的规律，左减右加，列出算式，计算即可解答．
5．【答案】D
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：∵a可正、可负、也可能是0，∴-a可正、可负、也可能是0.
故答案为：D.
【分析】由于a代表的是全体实数，故a的相反数也是全体实数.
6．【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A、，符合题意；
B、，=-16，不符合题意；
C、43=64，34=81，不符合题意；
D、，，不符合题意；
故答案为： A
【分析】根据有理数的乘方结合题意对选项逐一运算，进而比较大小即可求解。
7．【答案】C
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：A、-1-9=-10，原计算错误，不符合题意；
B、7.8+(-1.2)-(-0.2)=7.8-1.2+0.2=6.8，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据有理数的运算法则进行计算即可.
8．【答案】C
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：由条件可知，|a-c|=10，|a-d|=12，|b-d|=9，
由数轴可知，|c-d|=|a-d|-|a-c|=12-10=2
∴|b-c|=|b-d|-|c-d|=9-2=7
故答案为：C.
【分析】将条件转化成各线段的长度，根据数轴中各线段的关系计算即可.
9．【答案】D
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：如图所示，
∴间的距离可能是，
∴之间的距离不可能是，
故答案为：．
【分析】先结合数轴求出间的距离可能是，再利用两点之间的距离公式求出CD之间的距离即可.
10．【答案】D
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解： ==13*（-3）=13×（-3）-1=-40.
故答案为：D.
【分析】先计算括号里的，再从左向右进行同级运算，根据新运算定义列出算式计算即可.
11．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵199919992000
∴线段在这条数轴上最多能盖住的整数点含有0，1，2，3……，1999，共2000个
故答案为：C.
【分析】掌握结论当数轴的一端恰好为整点时，覆盖的整数点个数最多，由此即可解答.
12．【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：因为当温度每上升时，某种金属丝伸长；
所以把的这种金属丝加热到时，金属丝伸长的长度为：
0.002×（60-15）=0.09mm，
再使它冷却降温到时，
金属丝缩短的长度为：0.002×（60-5）=0.11mm，
所以金属丝最后的长度比原来的长度伸长0.09-0.11=-0.02mm，
即金属丝最后的长度比原来的长度伸长.
故答案为：B．
【分析】根据题意可求出把的这种金属丝加热到时金属丝伸长的长度，以及使它冷却降温到时金属丝缩短的长度，然后用金属丝伸长的长度减去金属丝缩短的长度即可求解.
13．【答案】3
【知识点】绝对值的非负性；相反数的意义与性质
【解析】【解答】∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，
∴|a﹣1|+|b﹣2|=0，
∴a-1=0，b-2=0，
解得：a=1，b=2，
∴a+b=1+2=3，
故答案为：3.
【分析】利用相反数的性质可得|a﹣1|+|b﹣2|=0，再利用绝对值的非负性求出a、b的值，最后将a、b的值代入a+b计算即可.
14．【答案】1或3
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：根据题意得：
∵4个有理数相乘，积的符号是负号，
∴这4个有理数中，负数的个数为1个或3个，
∴正数有3个或1个，
故答案为：1或3.
【分析】利用几个非零有理数相乘，积的符号是负数的个数决定，当负数的个数为奇数个时，积为负，当负数的个数为偶数个数时，积为正，即可求解.
15．【答案】
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，图2表示的计算过程是：
故答案为：．
【分析】根据图示可直接得出答案。
16．【答案】13
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：第一次捏合为2根，
第二次捏合为4根，，
第三次捏合为8根，，
…，
所以，第n次捏合为根，
∵当时，，
∴捏合到第13次时，可拉出约8千多根面条．
故答案为：13．
【分析】根据有理数的乘方，然后再根据图形中实际情况，列出表示第n次捏合后的根数，然后再进行求解即可。
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
8+10=15；
（4）解：原式=70×0.25+0.25×12.5+17.5×0.25
=0.25×(70+12.5+17.5)
=0.25×100
=25.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加、减混合运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【分析】(1)先把有理数的减法转化为加法，然后利用加法交换律和结合律进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算除法，后算加减，即可解答；
(3)利用乘法分配律进行计算，即可解答；
(4)利用乘法分配律进行计算，即可解答.
18．【答案】解：设
则 a-b=1，
∴原式
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】认真观察数据特征，利用“换元”思想进行计算.
19．【答案】（1）②， ①
（2）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】（1）解：小高解题过程中第二步计算有错误，小王解题过程中第一步有错误，
故答案为：②， ①；
【分析】（1） 小高的解题 过程中第二步计算乘除混合运算时，应从左到右依次计算；小明 的解题过程 第一步计算应该先计算括号里面的；
（2）按照有理数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，然后把除法转化为乘法计算即可．
（1）解：小高解题过程中第二步计算有错误，小王解题过程中第一步有错误，
故答案为：②， ①；
（2）解：
．
20．【答案】（1）解：
（2）m(n+1)(答案不唯一)
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：
故答案为： m(n+1) .(答案不唯一)
【分析】(1)根据 可以求得题目中所求式子的值；
(2)根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一.
21．【答案】解：若点A表示0.2，，由于A距离原点2个单位，那么一个单位为0.1，点B表示在图中应该距离原点右边3个单位；
若点A表示1，，由于A距离原点2个单位，那么一个单位为0.5，点C大概在A左边的一个单位里面；
若点A表示0.1，由于A距离原点2个单位，那么一个单位为0.05，那么点D在原点的左边的一个单位，应该是-0.05．
答案如图所示：
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数在数轴上的表示
【解析】【分析】分别根据点A表示的数，确定单位长度，在根据点B在图中表示距离原点右边3个单位的数；点C在图中表示距离点A左边的一个单位的数；点D表示的数应该是-0.05，即可求解.
22．【答案】（1）11
（2）解：与互为“久久数”，理由如下：因为转换为十进制数为；
转换为十进制数为，
，
所以与互为“久久数”．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解得】解：（1）二进制数转换为十进制数为，
故答案为：11；
【分析】（1）根据题，结合题干二进制数转换为十进制数的方法，即可得到二进制数转换为十进制的数，得到答案．
（2）根据题意，分别求得与互十进制的数，结合“久久数”的定义，进行判断，即可的对答案．
（1）解：二进制数转换为十进制数为，
故答案为：11；
（2）解：与互为“久久数”，理由如下：
因为转换为十进制数为；
转换为十进制数为，
，
所以与互为“久久数”．
23．【答案】（1）；；0
（2）解：由表格中的数据可知，《》系列电影最高票房出现在2024年，《》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份有2014年，2018年，2021年，2022年，2023年，2024年；
（3）解：亿元，∴这十年动画票房冠军的总票房为亿元 ．
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，，，
∴；
故答案为：；；0；
【分析】（1）根据有理数的减法法则解题即可；
（2）根系表格中数据解题即可；
（3）运用《》电影总票房加上所有票房差的绝对值解题即可．
（1）解：由题意得，，，，
∴；
（2）解：由表格中的数据可知，《》系列电影最高票房出现在2024年，《》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份有2014年，2018年，2021年，2022年，2023年，2024年；
（3）解：亿元，
∴这十年动画票房冠军的总票房为亿元 ．
24．【答案】（1）解：左边=×1001=(100x+10y+z)×1 001=100100x+10010y+1001z，
右边： 10 000y+1 000z+100x+10y+z=100 100x+10 010y+1 001z，
∵左边 = 右边，
∴ 等式成立， 即
（2）解： ，其中 能被 整除，
被1000 除的余数为 .
（3）解：∵69×29=2001，
∴b=29
（4）11；91
【知识点】有理数的乘法法则；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（4），
对于匹配的钥匙，则有，
，
匹配的钥匙．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】（1）根据结合题意计算即可求解；
（2）先根据题意计算，进而根据被1000除的余数为即可求解；
（3）根据，对于匹配的钥匙，则，再根据当，时可得出的值；
（4）根据，对于匹配的钥匙，则，再根据即可求解。
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