第一章 空间向量与立体几何 全章综合测试（含答案）
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何 全章综合测试（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 771.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-01 11:01:52 | ||
图片预览
文档简介
空间向量与立体几何全章综合测试
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1.已知a =（1，0,1），b =（x，1,2），且a·b =3，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是（ ）
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1) C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
3.在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4.如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝，N为BC中点，则为（ ）
A.a－b＋c B．－a＋b＋c C.a＋b－c D.a＋b－c
5.已知向量和在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若＝，则向量在基底{a，b，c}下的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别是BC，A'D'的中点，则平面B'EDF与平面ABCD所成角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
8.已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为3，E为棱AB上的靠近点B的三等分点，点P在侧面CC'D'D上运动，当平面B'EP与平面ABCD和平面CC'D'D所成的角相等时，则D'P的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知a =（6x2 +x，-1，3），b =（-2，-2，-6），若a //b，则x的值为（ ）
A. - B. C.- D.
10.如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E是DD1的中点，则（ ）
A B1C⊥BD1 B. 点E到直线B1C的距离为3
C. 直线B1E与平面B1C1C所成的角的正弦值为 D. 点C1到平面B1CE的距离为
11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AC=BC=AA1=2，∠ACB=120o，D，E分别为AC，AB的中点，点M是直三棱柱ABC-A1B1C1表面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若M是线段BC上一点，则三棱锥M-A1DE的体积为定值
B．若平面BCM∥平面A1DE，则点M的轨迹长度为 1++
C．若M是A1C1的中点，则B1M与平面A1DE所成角的正弦值为
D．若点M是线段AB上一点，则A1M+CM的最小值为2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，P为B1C1的中点，则直线BP与平面ACC1A1所成角的正弦值为_______________.
13.已知{a，b，c}是空间的一组单位正交基底，若向量在基底{a，b，c}下用有序实数组表示为（3,2，1），则与向量同向的单位向量在基底{a ，b + c ，b - c}下用有序实数组表示为_______________
14.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D．若点F为线段B1C1上的动点（不包括端点），锐二面角F-BD-E余弦值的取值范围为________________.
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，AA1＝6，AB=4，且
，设.
（1）试用表示；
（2）已知O是B1D的中点，求DO的长.
（15分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．
证明：AC=AB1；
若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值．
17.（15分）如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥AD，AB⊥AD．
证明：平面PAB⊥平面PAD；
若PA=AB= ，AD= +1，BC=2，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O．
证明：O在平面ABCD上；
求直线AC与直线PO所成角的余弦值
18.（17分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=2，AB=4，现将△ADC沿AC翻折成直二面角P-AC-B．
证明：CB⊥PA；
（2）记△APB的重心为G，若异面直线PC与AB所成角的余弦值为，在侧面PBC内是否存在一点M，使得GM⊥平面PBC，若存在，求出点M到平面PAC的距离；若不存在，请说明理由．
19.（17分）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=4，BC=2，AC⊥BC，PA=PB=PC，M，E，F分别是AB，PA，PB的中点．
求证：PM⊥平面ABC；
若四面体BCEF的体积为1，求|PM|；
（3）若 =λ（0<λ<1）求直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值．
答案
D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 8.A
9.CD 10.AC 11.ABD
12. 13.. 14.（，）
15.
16.
17.
18.
19.
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1.已知a =（1，0,1），b =（x，1,2），且a·b =3，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是（ ）
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1) C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
3.在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4.如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝，N为BC中点，则为（ ）
A.a－b＋c B．－a＋b＋c C.a＋b－c D.a＋b－c
5.已知向量和在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若＝，则向量在基底{a，b，c}下的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别是BC，A'D'的中点，则平面B'EDF与平面ABCD所成角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
8.已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为3，E为棱AB上的靠近点B的三等分点，点P在侧面CC'D'D上运动，当平面B'EP与平面ABCD和平面CC'D'D所成的角相等时，则D'P的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知a =（6x2 +x，-1，3），b =（-2，-2，-6），若a //b，则x的值为（ ）
A. - B. C.- D.
10.如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E是DD1的中点，则（ ）
A B1C⊥BD1 B. 点E到直线B1C的距离为3
C. 直线B1E与平面B1C1C所成的角的正弦值为 D. 点C1到平面B1CE的距离为
11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AC=BC=AA1=2，∠ACB=120o，D，E分别为AC，AB的中点，点M是直三棱柱ABC-A1B1C1表面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若M是线段BC上一点，则三棱锥M-A1DE的体积为定值
B．若平面BCM∥平面A1DE，则点M的轨迹长度为 1++
C．若M是A1C1的中点，则B1M与平面A1DE所成角的正弦值为
D．若点M是线段AB上一点，则A1M+CM的最小值为2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，P为B1C1的中点，则直线BP与平面ACC1A1所成角的正弦值为_______________.
13.已知{a，b，c}是空间的一组单位正交基底，若向量在基底{a，b，c}下用有序实数组表示为（3,2，1），则与向量同向的单位向量在基底{a ，b + c ，b - c}下用有序实数组表示为_______________
14.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D．若点F为线段B1C1上的动点（不包括端点），锐二面角F-BD-E余弦值的取值范围为________________.
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，AA1＝6，AB=4，且
，设.
（1）试用表示；
（2）已知O是B1D的中点，求DO的长.
（15分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．
证明：AC=AB1；
若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值．
17.（15分）如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥AD，AB⊥AD．
证明：平面PAB⊥平面PAD；
若PA=AB= ，AD= +1，BC=2，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O．
证明：O在平面ABCD上；
求直线AC与直线PO所成角的余弦值
18.（17分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=2，AB=4，现将△ADC沿AC翻折成直二面角P-AC-B．
证明：CB⊥PA；
（2）记△APB的重心为G，若异面直线PC与AB所成角的余弦值为，在侧面PBC内是否存在一点M，使得GM⊥平面PBC，若存在，求出点M到平面PAC的距离；若不存在，请说明理由．
19.（17分）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=4，BC=2，AC⊥BC，PA=PB=PC，M，E，F分别是AB，PA，PB的中点．
求证：PM⊥平面ABC；
若四面体BCEF的体积为1，求|PM|；
（3）若 =λ（0<λ<1）求直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值．
答案
D 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 8.A
9.CD 10.AC 11.ABD
12. 13.. 14.（，）
15.
16.
17.
18.
19.