辽宁省名校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（含答案）

辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）
1.已知直线的方向向量为，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，则下列向量中与成角的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线与，若，则的值是（ ）
A.3 B.5 C.3或5 D.1或2
4.直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于（ ）
A. B. C. D.
5.过点的直线与曲线相交于A，B两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6.若与相交于A，B两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则实数的值是（ ）
A. B. C.5 D.
7.已知双曲线的两个焦点分别为，点到其中一条渐近线的距离为3，点是双曲线上一点，且，则（ ）
A.12 B.18 C.24 D.36
8.在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，分别取BC，AD，AB的中点E，F，G，连接EF，CG，则直线EF与CG所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分.）
9.已知点，过点的直线交圆于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小值为1 B.满足的弦有且只有2条
C.当最小时，圆上的点到直线AB的距离最小值为0
D.当最小时，圆上的点到直线AB的距离最大值为
10.如图，在棱长为2的正方体中，为BC的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（ ）
A.与CD的距离为 B.当点在的中点时，
C.当点在的中点时，点到平面的距离为
D.点到直线的距离的最小值为
11.已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，离心率为.过且垂直于的直线与交于D，E两点，为DE的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.DE的直线方程是
C.直线OP的斜率为 D.的周长是8
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.已知平行直线，则与的距离是______________.
13.如图，二面角的大小是，线段，AB与所成的角为，则AB与平面所成角的正弦值是_____________.
13.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于A、B两点（点A在第一象限），M为AB的中点，双曲线的离心率为，若点到四边形的四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为_____________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（13分）
已知三点.
（1）求过A，B，C三点的圆的一般方程;
（2）过点C的直线与圆交于点，且，求直线CD的方程.
16.（15分）
在四棱锥中，侧面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD，底面ABCD是菱形，为PC上一点，且平面BDM.
（1）求证：M为PC中点;
（2）求直线AM与平面BDM成角的正弦值.
17.（15分）
已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与左支相交于A，B两点.
（1）若，求双曲线的方程；
（2）若直线AB的斜率为，且，求双曲线的离心率.
18.（17分）
在如图所示的几何体中，平面平面，是棱AB上一点.
（1）求证;
（2）是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，当二面角的平面角为锐角时，求点到直线DC的距离.
19.（17分）
设A，B分别是直线和上的动点，且，设为坐标原点，动点满足.
（1）求动点的轨迹方程;
（2）设E，F分别为轨迹上的两个动点，且.
（i）求证：为定值；（ii）求面积的取值范围.
1.A 2.B 3.A 4.C 5.A 6.B 7.D 8.B 9.BCD 10.BC 11.ACD
12. 13. 14.
8.提示：方法一：选择为基向量，将，用基向量表示.
方法二：将其放在正方体中，然后建系做.
11.提示:D选项，的周长等于的周长，都为4a.
14.提示：点即为直线AB与的交点，若不然，根据三角形两边之和大于第三边，能证明其它点都不符合题意.
15.（1）设所求圆的一般方程为，将A，B，C三点代入，
得解得，（3分）
所以过A，B，C三点的圆的一般方程是.（5分）
（2）由，得，
所以圆心为，半径为，（6分）
由垂径定理得到圆心到直线CD的距离为1.（7分）
当直线CD的斜率不存在时，，符合题意；（9分）
当直线CD的斜率存在时，设为，则，即，由，解得，所以，（12分）
综上所述:直线CD的方程是或.（13分）
16.（1）连接AC交BD于点，连接MN，
因为平面平面PAC，平面平面，所以，（3分）
又因为底面ABCD是菱形，所以为AC的中点，所以为PC中点.（4分）
（2）取AD的中点，因为侧面PAD是正三角形，所以，又因为侧面PAD垂直于底面ABCD，且侧面底面平面PAD，所以底面ABCD，（7分）
以为坐标原点，的正方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系如图:
设，则分）
则（9分）
设平面BDM的法向量为，
由取，（12分）
设直线AM与平面BDM成角为，
则.（15分）
17.（1）由双曲线的定义，得
，所以，因为，所以.（4分）
由知，，所以，（5分）
所以双曲线的方程是.（6分）
（2）方法一:因为直线AB的斜率为，所以，设，由，得，（7分）
在中，应用余弦定定理，得，①
在中，应用余弦定定理，得，②
由①②两式互为相反数，整理，得（11分）
代入①式，得出，所以，即双曲线的离心率为.（15分）
方法二:由题故直线AB的方程为，设联立消得（8分）
故，，又
则（11分）
易得，整理得即.（15分）
18.（1）因为平面平面ABC，所以，（1分）
又因为平面AEC，所以平面AEC，（4分）
又因为平面AEC，所以.（5分）
（2）过点作，则平面ABC，以点为原点，的正方向分别为x，y，z轴的正方向建立平面直角坐标系如图:由，得，设则，解得（6分）
设平面CED的法向量为，且，
由，取分）
设平面CME的法向量为，且，
由取（10分）
设二面角的平面角为，则，解得或（12分）
（3）由题意，得，此时，连接，
所以（15分）
设点到直线DC的距离为，则.（17分）
19.（1）设，由，得，由，得，所以，即.（4分）
（2）当直线OE与OF斜率都存在时，设直线OE的斜率为，
则，解得，（6分）
同理：，用换上式中的，得，（7分）
所以（9分）
当直线OE与OF斜率有一个不存在时，另一个斜率为0，此时
，综上（10分）
（3）方法一:由（2）知，，设，
因为，所以，同理，
于是.（12分）
所以，（5分）
当且仅当或时，取得最大值;
当且仅当时，取得最小值.（17分）
（3）方法二：因为，所以，，令，则，因为，所以，（13分）
所以，（16分）
所以.（17分）
（3）方法三：由（2）知，当直线OE与OF斜率都存在时，设直线OE的斜率为，因为
，令，（13分）
则原式，令，得
原式（16分）
当直线OE与OF斜率有一个不存在时，另一个斜率为0，此时，
综上，.（17分）