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专题04 期中预测模拟卷02
考试范围：第1-4章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
2．若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．在一个不透明的袋子中装有个小球，小球除颜色外完全相同，其中黑球个，红球个，从中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红色的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（ ）
A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8
6．如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点，且经过点，上沿经过点且与相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．某厂家2024年1月份生产口罩产量为100万只，3月份生产口罩的产量为144万只，设从1月份到3月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，将一张三角形纸片的三角折叠，使点落在的处折痕为，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（ ）
A．cm B．2（﹣1）cm C．4（﹣1）cm D．6（﹣1）cm
10．如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．在中，，，点为的中点，则的长为 ．
12．确定一个的值为 ，使一元二次方程无实数根.
13．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 ．
14．已知，，，则 ．
15．如图，平行四边形中，在上截取，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于，若，，则的长为 ．
16．如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点．则为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．用因式分解法解方程．
18．在中，，，，将沿射线向下平移得到，边交于点，连接．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)当四边形为正方形时，求线段的长．
19．微信拼手气红包是由发红包者自行设置红包总金额和红包个数，系统会随机分配红包金额并发送给其他用户．小李在家庭群里（群成员为爸爸、妈妈、小李，共三人）发了一个如图所示的新年拼手气红包，将三个随机红包记为，分别代表钱数最多，钱数居中，钱数最少，三个红包均被抢走．
(1)爸爸抢到红包的概率为_________；
(2)请你利用画树状图求妈妈抢到红包，同时小李抢到红包的概率．
20．如图，在中，D是边上一点．
(1)请用尺规作图，在上找一点E，作，保留作图痕迹．
(2)若，求与四边形的面积比．
21．如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，AG//DB交的延长线于．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，则四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．
22．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩．
(1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率．
(2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？
23．【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或有关运算．
例如：对于．（1）用配方法分解因式；（2）当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？
解：（1）原式
．
（2）由（1）得：，
，
，
当时，代数式有最小值，最小值是．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：；
(2)试说明不论为何值，代数式恒为负数；
(3)若已知且，求的值．
24．已知正方形的边长为4，点E是边的中点，，交对角线于点F．
(1)如图1，取的中点G，连接、、，求证：；
(2)如图2，是由沿射线平移得到的，点与点A重合，点M是的中点，连接、，交于点H．
①求证：；
②求的长．
25．如图1，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝AC，点E在线段AD上，点F在线段AC上，连接EF，且EF∥CD．
(1)连接BE，若AE＝3，AB＝3，求线段BE的长．
(2)将△AFE绕A点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接BF、CF，CF交AE边于点P，延长BF交AE于M，且M为AE的中点，求证：AE+BF＝2AP．
(3)如图3，将△AEF绕A点沿逆时针方向旋转，连接CF，N为CF的中点，连接BN、AN，若，在旋转的过程中，当线段BN的长最大时，请直接写出的值．
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专题04 期中预测模拟卷02
考试范围：第1-4章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的解
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，把代入方程求出，再解一元二次方程即可求解，掌握一元二次方程根的定义和解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
∴一元二次方程为，
∴，
∴，，
∴这个方程的另一个根是，
故选：．
2．若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】成比例线段
【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．根据、、、是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出的值即可．
【详解】解：，，，成比例，
，
，，，
，
．
故选：A．
3．在一个不透明的袋子中装有个小球，小球除颜色外完全相同，其中黑球个，红球个，从中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】本题考查了概率，用红球数除以球的总个数即可得到摸出的小球是红色的概率，掌握概率的计算公式是解题的关键．
【详解】解：从中摸出一个小球，共有种可能，其中摸出的小球是红色的情况有种，
故摸出的小球是红色的概率是，
故选：．
4．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【分析】把化成，再把代入，进行计算即可得出答案．
【详解】解： ，
．
故选：A．
【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是把化成，属于较简单运算．
5．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（ ）
A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、利用菱形的性质求面积
【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质．设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，即的两根为，
由题意得：，
∵菱形面积为20，
∴，解得：，
∴一元二次方程为，
整理得，
解得，
∴该菱形两对角线长分别为4与10，
故选：B．
6．如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点，且经过点，上沿经过点且与相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了正多边形的内角和问题以及平行线的性质及垂线定义．熟记公式是解题关键．根据正多边形的内角和公式可求出正五边形的每个内角度数，在四边形中求出即可求解．
【详解】解：∵
∴
正五边形的每个内角度数为：，
在四边形中，
，
∵
∴
故选：B
7．某厂家2024年1月份生产口罩产量为100万只，3月份生产口罩的产量为144万只，设从1月份到3月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从1月份到3月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据等量关系列出方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：设从1月份到3月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，
依题意得：，
故选B．
8．如图，将一张三角形纸片的三角折叠，使点落在的处折痕为，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】折叠问题、三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查三角形的外角性质，折叠的性质．熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．设，交于点，由折叠可知，根据三角形外角性质得：，，再结合，即可求解．
【详解】解：如图，设，交于点，
由折叠可知，
，
，
，
故选：B．
9．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（ ）
A．cm B．2（﹣1）cm C．4（﹣1）cm D．6（﹣1）cm
【答案】C
【知识点】比例线段
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【详解】解：根据黄金分割点的概念得：．
故选：C．
【点睛】考查了黄金分割点的概念，解题的关键是掌握黄金比的值．
10．如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】利用矩形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、全等三角形综合问题
【分析】由矩形的性质可得，，得出，由等腰三角形的性质得出，故①正确；由得，由线段垂直平分线的性质可得②正确；由，，得不可能是等边三角形，得，故③错误；由等腰三角形的性质可判断④；由全等三角形的性质及长方形的性质可得为等腰直角三角形，求出，再根据平行线的性质可得，可判定⑤正确．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，故①正确；
，，，
，
在的垂直平分线上，
在和中，
，
，
，
点在的垂直平分线上，
垂直且平分，故②正确；
平分，
，
，
，
又，
不可能是等边三角形，
，
错误；故③错误；
，，
，
，
，
，故④错误；
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
故⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．在中，，，点为的中点，则的长为 ．
【答案】
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题主要考查直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得的长．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：在中，，点为的中点，
∴是斜边上的中线，
又∵，
∴，
故答案为：．
12．确定一个的值为 ，使一元二次方程无实数根.
【答案】
【分析】根据方程无实数根求出b的取值范围，再确定b的值即可.
【详解】∵一元二次方程x2+2bx+1=0无实数根，
∴4b2-4<0
∴-1因此，b可以取等满足条件的值.
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题难度不大，解题的关键是掌握当△<0时，一元二次方程没有实数根．
13．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 ．
【答案】15
【知识点】由频率估计概率、已知概率求数量
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，从而估计出概率，再根据概率公式列出方程求解．
【详解】解：由题意可得
，
解得，．
经检验，是原方程的解，
∴a的值约为15．
故答案为：15．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的概率计算公式列出方程．
14．已知，，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理的应用、利用相似三角形的性质求解
【分析】根据三角形的内角和，相似三角形的性质，即可．
【详解】∵，，
∴在中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的知识，相似三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和，相似三角形的性质．
15．如图，平行四边形中，在上截取，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于，若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、根据三线合一证明、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查作图—基本作图，等腰三角形三线合一性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理．连接，设，交于点，证明四边形是菱形，可得，，，由勾股定理，即可求的长．
【详解】解：连接，设，交于点，
由尺规作图的过程可知：直线平分，，
∴，，点为的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
在中，，
∴，
即的长为．
故答案为：．
16．如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点．则为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】设正方形的边长为，由勾股定理求得，易证，得到，进而求得，再证 ，利用相似三角形的性质求得 于是，最后进一步求比值即可．
【详解】设正方形的边长为，
∵四边形为正方形，
，
∵点为边的中点，
，
在中,，
∵,
，
，
又
，
，
，
，
，
， 即，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，找出合适的相似三角形，利用相似三角形的性质得出相关线段之间的关系式解题关键.
评卷人得分
三、解答题
17．用因式分解法解方程．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．移项后分解因式得出，推出方程，，求出方程的解即可．
【详解】解：移项得：，
分解因式得：，
即，
，，
解得：，．
18．在中，，，，将沿射线向下平移得到，边交于点，连接．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)当四边形为正方形时，求线段的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【知识点】证明四边形是矩形、根据正方形的性质求线段长、利用平移的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）由于沿射线向下平移得，所以与在同一条直线上，由，，，可判断四边形是矩形；
（2）由勾股定理求出，由平移的性质可得出，由正方形的性质可得出，，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出．
【详解】（1）证明沿射线向下平移得△，
与在同一条直线上，
由平移得，，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
（2）∵，，，
∴，
由平移的性质得∶，
∵四边形为正方形，，
∴，，
∴，，
．∵
∴，
∴
即，
∴
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，平移的性质，正方形的性质，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，掌握这次判定以及性质是解题的关键．
19．微信拼手气红包是由发红包者自行设置红包总金额和红包个数，系统会随机分配红包金额并发送给其他用户．小李在家庭群里（群成员为爸爸、妈妈、小李，共三人）发了一个如图所示的新年拼手气红包，将三个随机红包记为，分别代表钱数最多，钱数居中，钱数最少，三个红包均被抢走．
(1)爸爸抢到红包的概率为_________；
(2)请你利用画树状图求妈妈抢到红包，同时小李抢到红包的概率．
【答案】(1)
(2)
【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率
【分析】本题主要考查随机事件的概率，列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键．
（1）根据概率的计算公式即可求解；
（2）列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：共有3种等可能结果，A是其中一种，
∴抢到A的概率为；
（2）解：运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，
共有6种等可能结果，妈妈抢到红包B，同时小李抢到红包C的结果有1种，
∴妈妈抢到红包B，同时小李抢到红包C的概率为．
20．如图，在中，D是边上一点．
(1)请用尺规作图，在上找一点E，作，保留作图痕迹．
(2)若，求与四边形的面积比．
【答案】(1)详见解析
(2)
【知识点】尺规作一个角等于已知角、相似三角形的判定与性质综合
【分析】
（1）根据基本作图，作出等于已知角即可．
（2）利用相似三角形的性质求解．
本题考查作图—基本作图，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题．
【详解】（1）
图形如图所示：
则即为所求．
（2）
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，AG//DB交的延长线于．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，则四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)菱形，见解析
【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、斜边的中线等于斜边的一半、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】（1）根据AD∥BG，AG//DB判定即可．
（2）根据，判定四边形AGBD是矩形，从而得到DE=AE=EB，从而判定四边形是菱形．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BG，
∵AG//DB，
∴四边形为平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，、分别为边、的中点，
∴AB∥CD，DF=CD，EB=AB，AB=CD，
∴DF∥EB，DF=EB，
∴四边形BEDF为平行四边形．
∵，
∴∠AGB=90°，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB=90°，
∵为边的中点，
∴DE=AE=EB，
∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握菱形的判定，勾股定理的逆定理的逆定理是解题的关键．
22．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩．
(1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率．
(2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？
【答案】(1)该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为
(2)销售单价应定位元
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为；
（2）解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：
∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠
∴销售单价应定位元．
23．【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或有关运算．
例如：对于．（1）用配方法分解因式；（2）当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？
解：（1）原式
．
（2）由（1）得：，
，
，
当时，代数式有最小值，最小值是．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：；
(2)试说明不论为何值，代数式恒为负数；
(3)若已知且，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)2
【知识点】配方法的应用、完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、因式分解的应用
【分析】（1）根据题干信息，利用配方法分解因式即可；
（2）先利用配方法将变形为，根据二次方的非负性，求出的值恒为负数；
（3）先将变形为，得出，即可求出．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
，
，
，
不论为何值，代数式恒为负数．
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
24．已知正方形的边长为4，点E是边的中点，，交对角线于点F．
(1)如图1，取的中点G，连接、、，求证：；
(2)如图2，是由沿射线平移得到的，点与点A重合，点M是的中点，连接、，交于点H．
①求证：；
②求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）证明和，根据相似三角形的性质分别求得，，再根据线段垂直平分线的性质可得结论；
（2）①延长到N，使，连接、，分别证明，，得到，根据等腰三角形的三线合一可证得结论；
②先证明为等腰直角三角形，进而求得，设，证明求得，则，在中，利用勾股定理求得可求解．
【详解】（1）证明：过G作于H，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点E是边的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，则，，
∵G是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，又，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：①根据题意，，，
延长到N，使，连接、，
∵M是的中点，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，又，
∴；
②在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，又，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，则，
∵在中，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、平移性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适辅助线构造全等三角形求解是解答的关键．
25．如图1，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝AC，点E在线段AD上，点F在线段AC上，连接EF，且EF∥CD．
(1)连接BE，若AE＝3，AB＝3，求线段BE的长．
(2)将△AFE绕A点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接BF、CF，CF交AE边于点P，延长BF交AE于M，且M为AE的中点，求证：AE+BF＝2AP．
(3)如图3，将△AEF绕A点沿逆时针方向旋转，连接CF，N为CF的中点，连接BN、AN，若，在旋转的过程中，当线段BN的长最大时，请直接写出的值．
【答案】(1)BE=
(2)证明见解析
(3)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】（1）如图1中，过点B作BH⊥DA交DA的延长线于H．解直角三角形求出BH，HE即可解决问题．
（2）如图2中，作BT∥FE交AE的延长线于T，连接CT．想办法证明BF＝ET，PA＝PT即可解决问题．
（3）如图3中，取AC的中点J，连接BJ，JN．AFm，AB＝4m，首先说明当B，J，N共线时，BN的值最大，如图3﹣1中，过点N作NH⊥AC于H，NK⊥BC于K，过点J作JT⊥BC于T．分别求出△ACN，△BCN的面积（用m表示），即可解决问题．
【详解】（1）如图1中，过点B作BH⊥DA交DA的延长线于H．
∵AB＝AC，AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠HAB＝∠ABC＝45°，
∵∠H＝90°，
∴∠ABH＝∠BAH＝45°，
∴HB＝HA，
∵AB＝3，
∴HB＝HA＝3，HE＝HA+AE＝3+3＝6，
∴BE3．
（2）如图2中，作BT∥FE交AE的延长线于T，连接CT．
由（1）可知，△AFE是等腰直角三角形，
∴FA＝FE，∠AFE＝90°，
∵AM＝ME，
∴BM⊥AE，FM＝ME＝AM，
∴∠MFE＝∠MEF＝45°，
∵BT∥FE，
∴∠MFE＝∠MBT＝45°，∠MTB＝∠MEF＝45°，
∴∠MBT＝∠MTB＝45°，
∴BM＝MT，
∵∠ABC＝∠MBT＝45°，
∴∠ABM＝∠CBT，
∵，
∴△ABM∽△CBT，
∴，∠AMB＝∠CTB＝90°，
∴CTAM，
∵AFAM，
∴AF＝CT，
∴CT⊥BT，
∵AF⊥EF，EF⊥CT，
∴AF∥CT，
∴∠FAP＝∠CTP，
∵∠APF＝∠TPC，
∴△APF≌△TPC（AAS），
∴PA＝PT，
∵BM＝MT，MF＝ME，
∴FB＝ET，
∴AE+BF＝AE+ET＝AT＝2AP．
（3）如图3中，取AC的中点J，连接BJ，JN．
∵AB：AF＝4：5，
∴可以假设AFm，AB＝4m，
∴AJ＝JC＝2m，BJ2m，
∵AJ＝JC，FN＝CN，
∴JNAFm，
∵BN≤BJ+JN，
∴BNm，
∴当B，J，N共线时，BN的值最大，如图3﹣1中，过点N作NH⊥AC于H，NK⊥BC于K，过点J作JT⊥BC于T．
∵AB∥NH，
∴，
∴，
∴HN＝m，
∴S△ACN4m×m＝2m2，
∵JT∥NH，JTm，
∴，
∴，
∴NKm，
∴S△BCN4mm＝5m2，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的综合知识，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练相关基本性质，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题是本题的解题关键．
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