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专题03 期中预测模拟卷01
考试范围：第1-4章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【详解】解：A．是一元一次方程．故本选项不符合题意；
B．符合一元二次方程的定义，所以它是一元二次方程．故本选项正确；
C．不是整式方程．故本选项不符合题意；
D．中未知数最高次数是3次，不是一元二次方程．故本选项不符合题意．
故选B．
2．下列说法错误的是（ ）
A．必然事件发生的概率为1 B．不确定事件发生的概率为0.5
C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间
【答案】B
【知识点】概率的意义理解
【分析】本题考查了概率的意义．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．
【详解】解：选项A、B、D的说法都是正确的，都不符合题意；
C、不确定事件发生的概率为大于0且小于1，故原说法错误，符合题意．
故选：C．
3．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【分析】本题考查比例的性质，根据，设，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴设，
∴；
故选A．
4．在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】添一条件使四边形是矩形、证明四边形是矩形
【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．
【详解】A： ，
为平行四边形而非矩形
故A不符合题意
B： ，
为平行四边形而非矩形
故B不符合题意
C：
∴∥
四边形为矩形
故C符合题意
D：
不是平行四边形也不是矩形
故D不符合题意
故选：C ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
5．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似图形
【分析】根据相似图形的定义，即可求解．
【详解】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，熟练掌握图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形是解题的关键．
6．下列各组图形中的两个三角形均满足，这两个三角形不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似图形的识别
【分析】根据位似图形的概念和性质，对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，对各选项逐一分析，即可得出答案．
【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似变换，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．
7．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解；由题意得，，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
【答案】D
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【详解】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
9．如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】黄金分割
【分析】根据得出，根据，，得出．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，即，
∴，
∵，，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是根据得出．
10．如图，四边形和四边形是两个矩形，点B在边上，若，，则矩形的面积为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】B
【知识点】根据矩形的性质求面积、用勾股定理解三角形、利用平行线间距离解决问题
【分析】如图所示，连接，利用勾股定理求出进而求出，根据平行线间间距相等和矩形的性质可得，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得；，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在中，，，垂足为，为的中点．若，则的长是 ．
【答案】
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
故答案为：．
12．如图，已知，，；则与的周长之比为
【答案】
【知识点】利用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可．
【详解】解：∵，，；
∴，
∴和的相似比是，
∴与的周长之比为
故答案为：．
13．如图，将沿翻折，折痕，若， ，则的长等于 .
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值、折叠问题
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质和翻折变换的知识点，解答本题的关键是根据求出和的比例关系，此题难度不大．延长和交于，求出，得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：延长和交于，
∵将沿翻折，折痕，，
，
即，
∵，
∴，
，
，
即，
故答案为：3．
14．甲、乙、丙三人参加中考体育球类测试，分别从足球或篮球中随机选择一种，则三人选择的测试项目相同的概率为 ．
【答案】/0.25
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】根据题意画树状图分析，即可求得．
【详解】由题意，画树状图如下．
由树状图，可知共有8种等可能的结果，其中三人选择的测试项目相同的结果有2种
∴三人选择的测试项目相同的概率为
故答案为：．
【点睛】本题考查了树状图法求概率，列出树状图是关键．
15．已知实数a，b是满足 ，且，则的值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，推断出a，b是方程的两根是解题的关键，根据题意可知a，b是方程即的两根，得到，，从而利用得解．
【详解】解：∵，且，
∴a，b是方程即的两根，
∴，，
∴，
故答案是：．
16．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是 ．
【答案】
【知识点】证明四边形是菱形、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】先证明四边形是菱形，则，设，则，在中，由勾股定理可得，解方程求出，即可得到重叠部分的四边形周长．
【详解】解：如图所示，
由题意得，矩形矩形，
∴，，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形的面积＝，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理可得，，
则，
解得，
即，
∴四边形的周长．
故答案为：
【点睛】此题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形是菱形是解题的关键．
评卷人得分
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法
【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择方法是解题的关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
则
∴
则
∴
∴，
（2）
则
∴
则或
解得，
18．如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．连接．求证：四边形是矩形．
【答案】证明见解析
【知识点】证明四边形是矩形、根据三线合一证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，先证明，得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形，进一步由三线合一定理得到，由此即可证明四边形是矩形．
【详解】证明：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴四边形是矩形．
19．如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，延长BE交AD于点F，
(1)求证：．
(2)P为CD上一点，在AC上求作点Q，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)证明见解析
(2)画图见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质证明、尺规作一个角等于已知角
【分析】（1）先证，得到，结合即可证明，即可得到结论；
（2）作即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：尺规作图如图所示：
∴△CPQ就是所求作的三角形．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质以及尺规作图．正确运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
20．5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
(1)请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
(2)若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
A“杂交水稻之父”袁隆平 B“天眼之父”南仁东 C“航天之父”钱学森
【答案】(1)在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1
(2)、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】（1）根据题意先画树状图列出所有等可能结果
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A1A2抽取的都是同一名科技英雄的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：画树状图如下：
∴共有6种等可能的结果，分别是：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1．
答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1．
（2）解：画树状图如下：
∵由树状图知，共有9种等可能结果，其中、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果有3种，
∴P(、两人恰好讲述同一名科技英雄故事)== ，
答：、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为．
【点睛】此题考查了概率的应用，解题的关键是掌握运用列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法．
21．如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处，连接交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)取中点，连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】根据旋转的性质求解、利用矩形的性质证明、与三角形中位线有关的证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）根据平行线性质，得到；根据等腰三角形的性质，得到，等量代换得到即可．
（2）如图，过点B作，证明，后证明，得到，继而得到是中位线得证．
【详解】（1）∵矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴平分．
（2）如图，过点B作，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是中位线，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，实践中中位线定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
22．某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋、小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如下表所示．从该店店长处获悉：若按下表中价格销售，则该餐饮店平均每天实出的小份装70份．
份量 小份装 大份装
成本（元/份） 40 60
售价（元/份） 60 100
(1)求该店每天销售这款爆款菜品获得的总利润．
(2)店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了元（为整数）．每售出一份小份装可获利______元，此时大份装每天可售出______份．每天能否获利2768元？若能，求出值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)2600元
(2)（20+m），（30+4m），能获利2768元，
【知识点】用代数式表示式、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】（1）该店每天大份菜品卖30份，小份菜品卖70份，根据题意列出算式计算即可；
（2）小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份列出代数式即可；根据总利润=小份装利润+大份装利润列方程，再解方程即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
∴
∴该店每天销售这款爆款菜品获得的总利润为元．
（2）小份菜售价提高m元之后，售价为（60+m）元， 利润为60+m-40=（20+m）元
小份菜售价增加m元后，销量减少了4m份， 则目前每天销售小份菜（70-4m）份，
因为该菜品每天限量100份，小份菜减少了4m份，则大份菜会增加4m份， 则大份菜销量为100-（70-4m）=（30+4m）份．
∴每售出一份小份菜可获利（20+m）元，大份菜可售出（30+4m）份，
∵大份装多售出4m份，
∴大份装降价（元），
∴
整理得：
∴
解得：
∵为整数，∴
∴每天能获利2768元，此时
【点睛】本题考查的是列代数式，一元二次方程的实际应用，确定大份装降价元，及确定相等关系列方程是解本题的关键．
23．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有.在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
甲 乙
图例
方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3m的小视力表②.通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长
(1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？
(2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．
【答案】(1)
(2)
【知识点】相似三角形应用举例、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）根据两组对角相等证明，再根据相似三角形对应边成比例列式求解；
（2）作于点D，延长线交于点E，先证，再根据相似三角形的相似比等于高的比列式求解．
【详解】（1）解：由题意知，，
，
又 ，
，
，
由题意知，，，，
，
解得，
即小视力表中相应“”的高是
（2）解：如图，如图，作于点D，延长线交于点E，
由题意知，，
，，
，
，
，，
，
，
由题意知，，，
，
，
，
镜长至少为．
24．已知过点的抛物线还经过点，，中的两个点，且当时，y随x的增大而增大．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)直线交抛物线于两点（点M在点N左侧）．
①当，时，若，求t的值；
②线段的中点为E，过点E作轴交抛物线于点F，若，则直线必过一定点，请直接写出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、线段周长问题(二次函数综合)
【分析】（1）由抛物线经过可得，当时，y随x的增大而增大，可知抛物线的对称轴为，再分三种情况当抛物线经过点，时，当抛物线经过点，时，当抛物线经过点，时，分别讨论即可求得的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）①当，时，，联立，求得，，由勾股定理求得，，，再根据建立方程即可求得的值；
②联立，整理得：，得，设，，则，，，则，求得，，可得，根据，得，整理得：，进而可知，当时，，
可知经过定点．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，
∴，抛物线的对称轴为，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴，
当抛物线经过点，时，抛物线的对称轴为，则，
∴；
当抛物线经过点，时，抛物线的对称轴为，不符合题意；
当抛物线经过点，时，抛物线的对称轴为，不符合题意；
综上，，
∴抛物线的解析式为；
（2）①当，时，，
联立，整理得：，
解得：，，
则，，
由勾股定理可得：，
，
，
∵，即，
，
，
∴；
②联立，整理得：，
，
设，，
则，，
，
则
，
∵为线段的中点
∴点的横坐标为，
纵坐标为，
则点的纵坐标为：，
∴
，
∵，
∴，
则，
∴，整理得：，
∴，
当时，，
∴经过定点．
【点睛】本题属于二次函数综合题，综合考查了求二次函数解析式、勾股定理及二次函数与一元二次方程的联系等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质是解题的关键．
25．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．
【答案】（1）见解析；（2）当时，，理由见解析；（3）．
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、正方形性质理解、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）由正方形的性质得出，，，，得出，则可证明，从而可得出结论；
（2）由菱形的性质得出，，则可证明，由全等三角形的性质可得出结论；
（3）设与交于Q，与交于点P，证明，得出，得出，连接，，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）∵四边形为正方形，
∴，，
又∵四边形为正方形，
∴，，
∴
∴，
在△AEB和△AGD中，
，
∴，
∴；
（2）当时，，
理由如下：
∵，
∴
∴，
又∵四边形和四边形均为菱形，
∴，，
在△AEB和△AGD中，
，
∴，
∴；
（3）设与交于Q，与交于点P，
由题意知，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接，，
∴
，
∵，，，
∴，，
在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理，
∴
．
【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．由(3)可得结论：当四边形的对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等．
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专题03 期中预测模拟卷01
考试范围：第1-4章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．必然事件发生的概率为1 B．不确定事件发生的概率为0.5
C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间
3．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各组图形中的两个三角形均满足，这两个三角形不是位似图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
9．如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．如图，四边形和四边形是两个矩形，点B在边上，若，，则矩形的面积为（ ）
A．3 B． C． D．6
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在中，，，垂足为，为的中点．若，则的长是 ．
12．如图，已知，，；则与的周长之比为
13．如图，将沿翻折，折痕，若， ，则的长等于 .
14．甲、乙、丙三人参加中考体育球类测试，分别从足球或篮球中随机选择一种，则三人选择的测试项目相同的概率为 ．
15．已知实数a，b是满足 ，且，则的值是 ．
16．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是 ．
评卷人得分
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．连接．求证：四边形是矩形．
19．如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，延长BE交AD于点F，
(1)求证：．
(2)P为CD上一点，在AC上求作点Q，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
20．5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
(1)请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
(2)若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
A“杂交水稻之父”袁隆平 B“天眼之父”南仁东 C“航天之父”钱学森
21．如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处，连接交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)取中点，连接，求证：．
22．某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋、小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如下表所示．从该店店长处获悉：若按下表中价格销售，则该餐饮店平均每天实出的小份装70份．
份量 小份装 大份装
成本（元/份） 40 60
售价（元/份） 60 100
(1)求该店每天销售这款爆款菜品获得的总利润．
(2)店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了元（为整数）．每售出一份小份装可获利______元，此时大份装每天可售出______份．每天能否获利2768元？若能，求出值；若不能，请说明理由．
23．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有.在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
甲 乙
图例
方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3m的小视力表②.通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长
(1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？
(2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．
24．已知过点的抛物线还经过点，，中的两个点，且当时，y随x的增大而增大．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)直线交抛物线于两点（点M在点N左侧）．
①当，时，若，求t的值；
②线段的中点为E，过点E作轴交抛物线于点F，若，则直线必过一定点，请直接写出该定点的坐标．
25．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．
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