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专题06 一元二次方程单元过关（培优版）
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程的解是，则值是（ ）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
2．下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．，是一元二次方程的两个根，，对的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．直线y=+a不经过第四象限，则关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
5．某花卉培育基地2018年郁金香产量为4万株，预计2020年郁金香产量达到6万株，求郁金香产量的年平均增长率.设郁金香产量的年平均增长率为x，则可列方程为( )
A．4(1+x)2=6 B．4(1-x)2=6 C．4(1+2x)=6 D．4(1+x2)=6
6．下列说法正确的是（ ）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
7．现规定：，例如，则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．必有一个正数根
8．下图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小黑点，图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，……，依此规律，图n中有2028个小黑点，则n的值为( )
A．44 B．45 C．46 D．47
9．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
10．如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0
C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．若、是方程x2＋2022x＋2021＝0的两个实数根，则＋的值为 ．
12．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为 ．
13．设是一元二次方程的两根， ，则a= ；
14．方程的根是 ．
15．如下表是学生小明探究关于的一元二次方程的根的情况，则的值是 ．
0 1 2 3
5 0 0
16．已知实数满足，则代数式的值为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．解下列方程：
（1） （2）（配方法）
（3） （4）
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值．
19．数学杨老师与学生学习一元二次方程应用有关面积问题时，他指导学生计划制作一个有盖的长方体盒子．他用一块长，宽的矩形纸板．为了合理使用材料，小凯同学设计了如图的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．
20．关于的一元二次方程有实数根，．
(1)求的取值范围．
(2)若，求的值．
21．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝＝﹣
请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：
（1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值．
（2）已知方程x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，求的值．
（3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？
22．月日习近平总书记在广东考察时强调：推进中国式现代化，必须全面推进乡村振兴，解决好城乡区域发展不平衡问题，产业振兴是乡村报兴的重中之重，要落实产业帮扶致策，做好“土特产”文章，网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售“土特产”的方式，受到社会各界的追捧，某直播间销售某种“土特产”，每袋获利元，每天可卖出袋，通过市场调查发现：每袋“土特产”的售价每降低元，每天的销售量就增加袋．
(1)若每袋“土特产”的售价降低元，求每天的销售量．
(2)为尽快减少库存，商家决定降价销售，若要使得每天获利元，则每袋“土特产”的售价降低了多少元？
23．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
24．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．
例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；
（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条件的所有k的值．
25．如图，在中，，厘米，厘米，点D在上，且厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以4厘米/秒的速度沿向终点C运动；点Q以5厘米/秒的速度沿向终点C运动．过点P作交于点E，连接．设动点运动时间为t秒．
(1) ；（用t的代数式表示）
(2)连接，并运用割补的思想表示的面积（用t的代数式表示）；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；
(4)当t为何值时，为直角三角形．
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专题06 一元二次方程单元过关（培优版）
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程的解是，则值是（ ）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解可知，进而代入求解即可．
【详解】解：把代入方程可得，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
2．下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的概念找出答案即可．
【详解】一元二次方程概念中要求只含有一个未知数，有二次项且二次项系数不为0，故A,B,C三项错误，
故选：D．
【点睛】此题考查一元二次方程的概念，难度一般．
3．，是一元二次方程的两个根，，对的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据韦达定理找到=1-,利用不等式性质求解即可.
【详解】解：由韦达定理知+=1,即=1-,
∵，
∴，整理得：,
故选A.
【点睛】本题考查了韦达定理和解不等式,属于简单题,熟悉韦达定理的内容是解题关键.
4．直线y=+a不经过第四象限，则关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【分析】根据直线y=+a不经过第四象限，可得，然后分两种情况：当时，关于的方程a-2-1=0为一元二次方程，利用根与系数的关系，可得一元二次方程有两个不相等实数根；当时，关于的方程a-2-1=0为一元一次方程，有1个实数解，即可求解．
【详解】解：根据题意得直线y=+a一定经过第一、三象限，
∵直线y=+a不经过第四象限，
∴，
当时，关于的方程a-2-1=0为一元二次方程，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等实数根，
当时，关于的方程a-2-1=0为一元一次方程，有1个实数解，
综上所述，关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是1个或2个．
故选：D
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
5．某花卉培育基地2018年郁金香产量为4万株，预计2020年郁金香产量达到6万株，求郁金香产量的年平均增长率.设郁金香产量的年平均增长率为x，则可列方程为( )
A．4(1+x)2=6 B．4(1-x)2=6 C．4(1+2x)=6 D．4(1+x2)=6
【答案】A
【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从4万株增加到6万株”，即可得出方程．
【详解】由题意知，设郁金香产量的年平均增长率x，
根据2018年郁金香产量为4万株，预计2020年郁金香产量达到6万株，2020年郁金香产量达到4（1+x）（1+x）吨，预计2020年郁金香产量达到6万株，
即：4(1+x)2=6．
故选A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2018年和2020的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
6．下列说法正确的是（ ）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，根的判别式判断即可．
【详解】解：①若二次根式 有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．
故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．
②8＜ ＜9，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．
④ ＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．
⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形．
7．现规定：，例如，则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．必有一个正数根
【答案】C
【分析】先根据定义得到关于x的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．
【详解】解：由题意可得：，
∴方程 可变形为：，
∵，
∴原方程没有实数根，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了新定义下的方程应用，熟练掌握所给定义的应用、一元二次方程根的判别式的计算及应用是解题关键．
8．下图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小黑点，图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，……，依此规律，图n中有2028个小黑点，则n的值为( )
A．44 B．45 C．46 D．47
【答案】B
【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律利用规律求解即可．
【详解】第1个图案由个小黑点组成，
第2个图案由个小黑点组成，
第3个图案由个小黑点组成，
第4个图案由个小黑点组成，……，
按照此规律继续下去，可以发现：第个图案由个小黑点组成，
根据题意可得，
解得（不合题意，舍去），；
故选B．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律难度不大．
9．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
【答案】A
【分析】把x=a代入3个方程得出a a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．
【详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
10．如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0
C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0
【答案】A
【分析】根据题意，先要表示出AD、AC的长，AD=AE-DE，然后利用等腰三角形的性质证出DE=BE=CE，则AC=AE+CE，求出AD、AC之后，根据韦达定理判断以它们的长为根的一元二次方程．
【详解】解：∵AB⊥BE，BD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DBC＝90°，
在Rt△ABE中，a2+b2＝c2，
∵DE＝BE＝a，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EBD+∠EBC＝90°，∠EDB+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠C，
∴CE＝BE＝a，
∴AC＝AE+CE＝c+a，
∵AD+AC＝c﹣a+c+a＝2c，AD×AC＝（c﹣a）（c+a）＝c2﹣a2＝b2，
∴以AD和AC的长为根的一元二次方程可为x2﹣2cx+b2＝0．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用数形结合的方法，先表示出线段长度再根据韦达定理判断原方程．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．若、是方程x2＋2022x＋2021＝0的两个实数根，则＋的值为 ．
【答案】－2022
【分析】根据根与系数的关系可得出＋ ，此题得解．
【详解】解：、是方程x2＋2022x＋2021＝0的两个实数根，
则＋
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键．
12．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为 ．
【答案】2023
【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13．设是一元二次方程的两根， ，则a= ；
【答案】8
【分析】先根据根与系数的关系，求出x1+x2，x1 x2的值，然后化简所求代数式，把x1+x2，x1 x2的值整体代入求值即可．
【详解】解：根据题意可得x1+x2=-=-4，x1 x2==-3，
又∵2x1（x22+5x2-3）+a=2，
∴2x1x22+10x1x2-6x1+a=2，
-6x2+10x1x2-6x1+a=2，
-6（x1+x2）+10x1x2+a=2，
-6×（-4）+10×（-3）+a=2，
∴a=8．
故答案为8．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：
14．方程的根是 ．
【答案】，
【分析】移项得（3x-4）2-（3x-4）=0，即（3x-4）（3x-4-1）=0，得到3x-4=0或 3x-4-1=0，求出方程的解即可．
【详解】(3x 4)2=3x 4，
(3x 4)2 (3x 4)=0，
(3x 4)(3x 4 1)=0，
3x 4=0或3x 4 1=0，
x1=或 x2=.
故答案为x1=或 x2=.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据因式分解法解一元二次方程.
15．如下表是学生小明探究关于的一元二次方程的根的情况，则的值是 ．
0 1 2 3
5 0 0
【答案】-11
【分析】把表中的两组值代入x2+ax+b得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，然后计算4a+b的值．
【详解】解：根据题意得，解得，
所以方程为x2-2x-3=0，
所以4a+b=4×（-2）-3=-11．
故答案为-11．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
16．已知实数满足，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】把看作一个整体，利用因式分解法把方程分解为，由此即可求得的值.
【详解】，
，
，,
∴m2-m=7或m2-m=-3．
∵，△=1-12=-11＜0，
∴方程无解，
∴.
故答案为7.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
评卷人得分
三、解答题
17．解下列方程：
（1） （2）（配方法）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）先将-16移项，再利用直接开方法解方程即可；
（2）先将-6移项，再利用配方法解方程即可；
（3）利用公式法解此方程即可；
（4）将移项，再用因式分解法解方程即可.
【详解】（1）
解得：；
（2）
解得： ；
（3）
＞0
解得：；
（4）
解得：.
【点睛】此题考查的是利用直接开方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，掌握各个解法的适用题型是解决此题的关键.
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值．
【答案】(1)见解析；
(2)3
【分析】（1）先根据判别式的值得到，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得到，，再根据勾股定理得到，接着利用完全平方公式变形得到，则，然后解方程后利用方程的两根为正数确定k的值．
【详解】（1）证明：，
所以无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：，，
∵、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得：，，
∵，，
∴k的值为3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况及根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程；熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键，对于一元二次方程，若，方程有两个不相等的实数根，若，方程有两个相等的实数根，若，方程无实数根；若、是一元二次方程的两根时，，．
19．数学杨老师与学生学习一元二次方程应用有关面积问题时，他指导学生计划制作一个有盖的长方体盒子．他用一块长，宽的矩形纸板．为了合理使用材料，小凯同学设计了如图的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．
【答案】能折成的有盖盒子，裁去左侧的正方形边长是
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为，
列方程为：，
整理得：，
解得： (不合题意，舍去)
答：能折成的有盖盒子，裁去左侧的正方形边长是．
20．关于的一元二次方程有实数根，．
(1)求的取值范围．
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由有实数根，可得，解之即可；
（2）由的实数根为，，得，，根据，即可得，解出的值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根，，
∴，
∴；
（2）由题意可得：，，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
21．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝＝﹣
请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：
（1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值．
（2）已知方程x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，求的值．
（3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？
【答案】（1），；（2）；（3）．
【分析】（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
（2）先把所求的代数式变形为含有和的形式，然后利用根与系数的关系进行解答．
（3）依据题意可得，解关于的一元二次方程即可．
【详解】解：（1），；
（2），，
；
（3）关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，
，
，
解得．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程，根与系数的关系中，，中、、所表示的意义是解题的关键．
22．月日习近平总书记在广东考察时强调：推进中国式现代化，必须全面推进乡村振兴，解决好城乡区域发展不平衡问题，产业振兴是乡村报兴的重中之重，要落实产业帮扶致策，做好“土特产”文章，网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售“土特产”的方式，受到社会各界的追捧，某直播间销售某种“土特产”，每袋获利元，每天可卖出袋，通过市场调查发现：每袋“土特产”的售价每降低元，每天的销售量就增加袋．
(1)若每袋“土特产”的售价降低元，求每天的销售量．
(2)为尽快减少库存，商家决定降价销售，若要使得每天获利元，则每袋“土特产”的售价降低了多少元？
【答案】(1)每天的销售为袋；
(2)每袋“土特产”的售价降低了元．
【分析】（）利用每天的销售量每袋“土特产”的售价降低的钱数，即可求出结论；
（）设每袋“土特产”的售价降低了元，则每袋“土特产”的销售利润为元，每天可售出袋，根据题意列出方程，解出方程，然后再结合要尽快减少库存，即可得出结论；
本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）
答：每天的销售为袋；
（2）设每袋“土特产”的售价降低了元，则每袋“土特产”的销售利润为元，每天可售出袋，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵要尽快减少库存，
∴
答：每袋“土特产”的售价降低了元．
23．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
【答案】（1）不是；8人；（2）729人
【分析】（1）设每人每轮传染人，根据经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于的一元二次方程；解之，可得出的值，将其正值与10比较后即可得出结论；
（2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数＝经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1＋每人每轮传染的人数），即可求出结论．
【详解】（1）设每人每轮传染人，
依题意，得：，得：，（不合题意，舍去），
又∵ 8＜10，∴最初的这名病毒携带者不是“超级传播者”；
所以最初这名病毒携带者不是“超级传播者”；他每轮传染的人数8人；
（2）81×（1＋8）＝729（人），
所以若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有729人成为新冠肺炎病毒的携带者．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，重点在求解方程和实际问题进行结合解决问题；
24．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．
例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；
（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条件的所有k的值．
【答案】（1）241不是喜鹊数；最小的“喜鹊数”是121；（2）满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
【分析】（1）由题意代入验证即可解答；
（2）求出m与n互为倒数，又m＋n＝ 2，得出m＝ 1，n＝ 1，求出b＝a＋c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
【详解】解：（1）∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121；
（2）∵k＝100a＋10b＋c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，
∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，
∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0，
将cn2＋bn＋a＝0两边同除以n2得：a（）2＋b（）＋c＝0，
∴将m、看成是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2＋bx＋c有两个相等的实数根，
∴m＝，即mn＝1，
∵m＋n＝﹣2，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b＋c＝0，
∴b＝a＋c，
∵b2＝4ac，
∴（a＋c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．
25．如图，在中，，厘米，厘米，点D在上，且厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以4厘米/秒的速度沿向终点C运动；点Q以5厘米/秒的速度沿向终点C运动．过点P作交于点E，连接．设动点运动时间为t秒．
(1) ；（用t的代数式表示）
(2)连接，并运用割补的思想表示的面积（用t的代数式表示）；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；
(4)当t为何值时，为直角三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
(4)或
【分析】（1）用减去的长即可；
（2）连接，由平行线的性质可得，由，可求出，再利用三角形面积公式计算即可；
（3）由平行四边形的性质可得，可得，可求的值；
（4）分两种情况讨论，利用直角三角形的性质和面积和差关系可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：
；
（2）如图1，连接，
，
，
cm，
，
，
，
，
∴；
（3）四边形是平行四边形，
，
，
，
∴当时，使四边形是平行四边形；
（4）如图2，当时，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
；
当时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（不合题意舍去），
综上所述：或时，为直角三角形．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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