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微专题01 配方法、△的应用通关专练
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的一元二次方程（1﹣2a）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤1 B．0＜a≤1
C．0≤a≤1且a≠ D．0≤a＜1且a≠
3．用配方法解时，配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．定义：如果一元二次方程满足，那么就称这个方程为“凤凰方程”．已知是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2023 D．2018
8．等腰△ABC的一边长为4,另外两边的长是关于x的方程x2 10x+m=0的两个实数根,则m的值是( )
A．24 B．25 C．26 D．24或25
9．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10．有两个一元二次方程：①，②，其中a＋c＝0，
以下四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根；
B．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是x=1；
C．如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根；
D．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异；
11．已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k≤2 C．k＜2 D．k≤2且k≠1
12．关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
14．下列方程中有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象是
A． B． C． D．
二、填空题
16．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
17．已知函数y=x2-2-1，若关于x的方程x2-2=k+3恰好有三个解，则k的值为 ．
18．若关于x的方程x2-mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2-8m+3的值为 ．
19．方程x2＋6x＋9c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
20．若方程2x2+x﹣2m+1＝0有一正实根和一负实根，则m的取值范围是 ．
21．如果关于x的方程有实数根，那么实数c的取值范围是 ．
22．已知x2﹣（m+3）x+m2+1＝0的实数根为α、β，且α+β＝α β，则m的值为 ．
23．用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ．
24．若，，则 ．
25．将一元二次方程化成的形式，那么的值为 ．
三、解答题
26．已知关于x的一元二次方程
判断该一元二次方程根的情况．
已知该一元二次方程的一根为，求k的值．
27．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
28．如果关于的一元二次方程有两个实数根，
（1）求的取值范围；
（2）若方程有一个根是1，求的值及方程的另一个根．
29．已知关于x的方程x2+2kx+k2-1=0
（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2021的值．
30．阅读下列材料，解答后面的问题：
材料：求代数式x2－2x＋5的最小值．
小明同学的解答过程：x2－2x＋5＝x2－2x＋1－1＋5＝(x－1)2＋4
我们把这种解决问题的方法叫做“配方法”．
(1)请按照小明的解题思路，写出完整的解答过程；
(2)请运用“配方法”解决问题：
①若x2＋y2－6x＋10y＋34＝0，求y－x的立方根；
②分解因式：4x4＋1．
31．已知关于x的方程没有实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）当k满足（1）中的最大整数时，求关于x的方程的根.
32．若关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值的范围；
(2)若m为正整数，求此时方程的根．
33．已知关于的方程
(1)取什么值时，方程有两个实数根；
(2)如果方程有两个实数根，，且，求的值．
34．求证：不论k为何值时，关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+（k﹣4）＝0有两个不相等的实数根．
35．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
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微专题01 配方法、△的应用通关专练
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的不等式，可求得的取值范围．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，
，即，
解得：，
故选：A．
2．若关于x的一元二次方程（1﹣2a）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤1 B．0＜a≤1
C．0≤a≤1且a≠ D．0≤a＜1且a≠
【答案】C
【分析】根据关于x的一元二次方程（1﹣2a）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，知Δ＝（﹣2）2﹣4×（1﹣2a）×（﹣1）≥0且1﹣2a≠0，解之即可．
【详解】解：根据题意，得Δ＝（﹣2）2﹣4×（1﹣2a）×（﹣1）≥0且1﹣2a≠0，，
解得0≤a≤1且a≠．
故选：C．
【点睛】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2 4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
3．用配方法解时，配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程x2-4x-5=0，
移项得：x2-4x=5，
配方得：x2-4x+4=9，即（x-2）2=9．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．定义：如果一元二次方程满足，那么就称这个方程为“凤凰方程”．已知是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系．
【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，
∴△=b2 4ac=0，
又a+b+c=0，即b= a c，
代入b2 4ac=0得( a c)2 4ac=0，
即(a+c)2 4ac=a2+2ac+c2 4ac=a2 2ac+c2=(a c)2=0，
∴a=c，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据方程根的情况确定方程中字母系数之间的关系是解题关键．
5．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】由题意可得且，然后解不等式即可．
【详解】∵有意义，
∴，
∵关于的方程有两个实数根，
∴且，
∴且，
综上所述，且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零以及二次根式有意义这些隐含条件．
6．若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程有实数解可知，解不等式即可．
【详解】解：一元二次方程有实数解，
，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是记住时，一元二次方程有实数解．
7．新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2023 D．2018
【答案】B
【分析】根据同族二次方程，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，
即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，
∴，
解得：，
∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021，
则代数式ax2+bx+2026能取的最小值是2021．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的规律是解答本题的关键．
8．等腰△ABC的一边长为4,另外两边的长是关于x的方程x2 10x+m=0的两个实数根,则m的值是( )
A．24 B．25 C．26 D．24或25
【答案】D
【分析】结合根与系数的关系，分已知边长4是底边和腰两种情况讨论．
【详解】方程x2-10x+m=0的有两个实数根，则△=100-4m≥0，得m≤25，
当底边长为4时，另两边相等时，x1+x2=10，∴另两边的长都是为5，则m=x1x2=25；
当腰长为4时，另两边中至少有一个是4，则4一定是方程x2-10x+m=0的根，代入得：16-40+m=0
解得m=24．
∴m的值为24或25．
故选D．
【点睛】考查了：①一元二次方程的根的判别式，②方程的根与系数的关系，③分类讨论的思想．
9．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：,
方程有两个不相等的两个实数根
故选：A
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根；解题关键是掌握一元二次方程根的判别式．
10．有两个一元二次方程：①，②，其中a＋c＝0，
以下四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根；
B．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是x=1；
C．如果4是方程①的一个根，那么是方程②的一个根；
D．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异；
【答案】B
【详解】选项A,因为两个判别式一致，所以A对.
选项B,因为将1代入方程，值相等，B对.
选项C,因为16a+4b+c=0,
选项D,
所以选B.
11．已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k≤2 C．k＜2 D．k≤2且k≠1
【答案】D
【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数不为0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：k≤2且k≠1．
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式，根据根的判别式△≥0结合二次项系数不为0得出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
12．关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意求得判别式，然后根据方程有两个不相等的实数根；求得答案．
【详解】解：，，，
∴，
关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
则的值可以是：，
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴的取值范围是且，
故选：．
14．下列方程中有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将一元二次方程转化为一般形式，然后运用根的判别式即可获得答案．
【详解】解：A. 对于一元二次方程，
，该方程无实数根，不符合题意；
B. 对于一元二次方程，可整理为，
，该方程有两个相等实数根，符合题意；
C. 对于一元二次方程，可整理为，
，该方程无实数根，不符合题意；
D. 对于一元二次方程，可整理为，
，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解题关键是理解并掌握一元二次方程的根的判别式，并将一元二次方程转化为一般形式．
15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，∴（﹣2）2﹣4（﹣k+1）＞0，即k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y=kx﹣k的图象位于一、三、四象限．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式及一次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k的取值范围，难度不大．
二、填空题
16．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得，且，
故答案为：且．
17．已知函数y=x2-2-1，若关于x的方程x2-2=k+3恰好有三个解，则k的值为 ．
【答案】﹣3
【分析】先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论．
【详解】原方程可化为
∴
∵若则方程有四个实数根，
∴方程必有一个根等于0，
∵
∴，
解得
故答案为
【点睛】考查公式法解一元二次方程，熟记公式法公式是解题的关键.
18．若关于x的方程x2-mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2-8m+3的值为 ．
【答案】3．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2﹣4m=0，将其代入2m2﹣8m+3中即可得出结论．
【详解】∵关于x的方程x2﹣mx+m=0有两个相等实数根，
∴△=（﹣m）2﹣4m=m2﹣4m=0，
∴2m2﹣8m+3=2（m2﹣4m）+3=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
19．方程x2＋6x＋9c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可判断其根的判别式，即可求出的值．
【详解】根据题意可知，即
解得：．
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程根的判别式为，且当时，一元二次方程有2个不相等的实数根；时，一元二次方程有2个相等的实数根；时，一元二次方程没有实数根是解答本题的关键．
20．若方程2x2+x﹣2m+1＝0有一正实根和一负实根，则m的取值范围是 ．
【答案】m＞
【分析】根据根与系数的关系＜0及根的判别式△＞0，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵方程2x2+x﹣2m+1＝0有一正实根和一负实根，
∴，
解得：m＞ ．
故答案是：m＞．
【点睛】考查了根与系数的关系以及根的判别式，由＜0及△＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
21．如果关于x的方程有实数根，那么实数c的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查根的判别式，分和两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：当时，方程化为，解得，满足题意；
当时，方程为一元二次方程，
∴，解得：，且；
综上：；
故答案为：．
22．已知x2﹣（m+3）x+m2+1＝0的实数根为α、β，且α+β＝α β，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】先由一元二次方程根与系数的关系可得：再列方程解方程可得的值，再进行检验，从而可得答案.
【详解】解： x2﹣（m+3）x+m2+1＝0的实数根为α、β，
α+β＝α β，
整理得：
解得：
当时，原方程为：
符合题意，
当时，原方程为：
原方程无解，
所以不符合题意，舍去，
所以
故答案为：2
【点睛】本题考查的是一元二次方程根分判别式，根与系数的关系，掌握“若是方程的两根，则”是解题的关键.
23．用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ．
【答案】13
【分析】因为配方成的方程和原方程是等价的，故只要把两个方程展开合并，根据方程的每项系数相等列式求解即可求出的值．
【详解】解：∵
∴，即
由题意可得，，
∴．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，等价方程的对应项及其系数相同，正确理解题意是解题的关键．
24．若，，则 ．
【答案】
【分析】观察未知数分别为a和b的两个方程，容易发现a和b就是方程的两个根，再将原式同时加上和减去2ab项进行求解.
【详解】由题意可知，a、b为方程的两个根，
∴a+b=-3，ab=-7，
∴原式=a2+b2=a2+b2+2ab-2ab=(a+b)2-2ab,
=(-3)2-2×(-7)=23.
【点睛】理解一元二次方程根的定义，同时要熟练运用韦达定理，如不能直接运用，则可通过配方法将原式转化为仅含有(a+b)、ab和数字的多项式.
25．将一元二次方程化成的形式，那么的值为 ．
【答案】
【分析】先移项，再在方程的两边都加上 配方后可求解的值，从而可得答案.
【详解】解：
移项得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键.
三、解答题
26．已知关于x的一元二次方程
判断该一元二次方程根的情况．
已知该一元二次方程的一根为，求k的值．
【答案】（1）该方程有两个不相等的实数根；（2）-2.
【分析】先计算一元二次方程的根的判别式的值，再根据判别式的意义即可求解；
把代入原方程，得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
该方程有两个不相等的实数根；
把代入原方程，得
，
解得，．
故答案为（1）该方程有两个不相等的实数根；（2）-2.
【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
也考查一元二次方程的解．
27．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k＝1或k＝3；（3）k的值为﹣3或0
【分析】（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑：当k+1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k+1≠0时，根的判别式△=（k-3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；
（2）由方程有两个实数根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x1、x2的值，由x1=-1和x2为整数以及k为正整数，即可求出k的值；
（3）结合（2）的结论即可得出关于k的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．
【详解】解：（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0，
解得：x=-1；
当k+1≠0，即k≠-1时，△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0，
∴方程有实数根，
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）∵方程有两个整数根，
∴，，且k≠﹣1，
∵x2为整数，k为正整数，
∴k=1或k=3；
（3）由（2）得x1=-1，，且k≠-1，
∴|x1-x2|=，
解得：k=-3或k=0，
经检验k=﹣3或k=0是原方程的解，
故k的值为﹣3或0．
【点睛】本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑；（2）找出x1=﹣1，；（3）找出关于k的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．
28．如果关于的一元二次方程有两个实数根，
（1）求的取值范围；
（2）若方程有一个根是1，求的值及方程的另一个根．
【答案】（1）且；（2）；
【分析】（1）根据根的判别式可得关于k的不等式，解不等式即可得出的取值范围；
（2）把代入方程得出的值，再解方程即可.
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
，且
，
，
的取值范围且；
（2）把代入中，
可得
解得：，或
当时方程为一元一次方程，不符合题意
原方程为，
解方程得：，
综上所述，.
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
29．已知关于x的方程x2+2kx+k2-1=0
（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2021的值．
【答案】（1）见解析；（2）2005
【分析】（1）计算出判别式的值，根据判别式的值即可得到结论；
（2）把方程的根代入方程中，可得关于k的等式k2+6k=-8，用整体代入法即可求得代数式的值．
【详解】（1）∵b2-4ac=4k2-4（k2-1）=4k2-4k2+4=4＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵方程有一个根为3，
∴32+2k×3+k2-1=0，
∴k2+6k=-8，
∴2k2+12k+2021=2（k2+6k）+2021=2005
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的概念及求代数式的值．根据判别式的符号可以判定一元二次方程解的情况，这是必须要掌握的．求代数式的值时用到了整体思想．
30．阅读下列材料，解答后面的问题：
材料：求代数式x2－2x＋5的最小值．
小明同学的解答过程：x2－2x＋5＝x2－2x＋1－1＋5＝(x－1)2＋4
我们把这种解决问题的方法叫做“配方法”．
(1)请按照小明的解题思路，写出完整的解答过程；
(2)请运用“配方法”解决问题：
①若x2＋y2－6x＋10y＋34＝0，求y－x的立方根；
②分解因式：4x4＋1．
【答案】(1)4；(2)①-2；②(2x2＋2x＋1)(2x2－2x＋1)．
【分析】(1)根据配方法的结果，得到即可求出代数式x2－2x＋5的最小值.
(2) ①将x2＋y2－6x＋10y＋34＝0，变形为(x－3)2＋(y＋5)2＝0，根据非负数的性质得到x－3＝0且y＋5＝0，求出的值，进而求解.
②将4x4＋1加上4x2再减去4x2，即4x4＋1＝4x4＋4x2＋1－4x2＝(2x2＋1)2－(2x)2，用平方差公式进行因式分解即可.
【详解】解：(1) x2－2x＋5＝x2－2x＋1－1＋5＝(x－1)2＋4，
代数式x2－2x＋5的最小值是4；
(2)①∵x2＋y2－6x＋10y＋34＝0，
∴x2－6x＋9＋y2＋10y＋25＝0，即(x－3)2＋(y＋5)2＝0，
∵(x－3)2≥0，(y＋5)2≥0，
∴x－3＝0且y＋5＝0，即x＝3，y＝－5，
∴y－x＝－5－3＝－8，
∴y－x的立方根是；
②4x4＋1＝4x4＋4x2＋1－4x2＝(2x2＋1)2－(2x)2
＝(2x2＋2x＋1)(2x2－2x＋1)．
【点睛】考查因式分解，平方差公式，非负数的性质等，掌握题目中的“配方法”是解题的关键.
31．已知关于x的方程没有实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）当k满足（1）中的最大整数时，求关于x的方程的根.
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）由方程没有实数根可知方程的判别式△<0，可得关于k的不等式，解不等式即可求出结果；
（2）根据（1）中k的范围可确定k的最大整数，然后代入方程后求解即可．
【详解】解：（1）∵关于x的方程没有实数根，
∴，解得；
（2）∵，∴k满足小于的最大整数是0．
∴方程可化为，即，
解得：，．
【点睛】错因分析：1．没有掌握一元二次方程根的判别式的内容；2．没有掌握因式分解法解一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的解法，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的基本知识是解题的关键．
32．若关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求m的取值的范围；
(2)若m为正整数，求此时方程的根．
【答案】(1)且；
(2)．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行解答即可；
（2）先确定正整数的值，然后代入求解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有两个实数根，
且，
且；
（2）解：为正整数，且，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式与一元二次方程的解法，熟练掌握根的判别式与一元二次方程的解法是解答此题的关键．
33．已知关于的方程
(1)取什么值时，方程有两个实数根；
(2)如果方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据根的判别式大于等于，求出的范围即可；
（2）利用根与系数的关系化简已知等式，计算即可得到k的值．
【详解】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴，
则，
解得：，
∴当时，方程有两个实数根；
（2）∵方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
即，
∴，
则，
∴，
解得.
【点评】
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
34．求证：不论k为何值时，关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+（k﹣4）＝0有两个不相等的实数根．
【答案】见解析.
【分析】先求出判别式△＝（k﹣4）2+4，再根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论．
【详解】△＝（k﹣2）2﹣4（k﹣4）＝k2﹣8k+20＝（k﹣4）2+4，
∵（k﹣4）2≥0，
∴（k﹣4）2+4＞0，
∴不论k为何值时，关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+（k﹣4）＝0有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2 4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
35．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
【答案】（1）k＜1；（2）另一个根是4．
【详解】（1）根据判别式大于零求得k的取值范围；
（2）把0代入方程求得k=-1，可以判定0是方程的一个根，从而求得另一个根．
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