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专题04 实际问题与一元二次方程
考点类型
知识一遍过
（一）解一元二次方程步骤
解题步骤：列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”：弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”：指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”：指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”：就是求出说列方程的解；
“答”：就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
（二）一元二次方程实际应用常见类型
（1）单双循环问题：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）
（2）传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数
（3）增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数，
原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。
（4）几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。
利用面积公式建立二元一次方程。
（5）销售利润问题：总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
考点一遍过
考点1：增长率问题
典例1：中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，则列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每年盈利的年增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设每年盈利的年增长率为，
由题意得：，
故选：．
【变式1】年月．锦绣中学组织七八年级学生到皖南研学游，同学们在学习徽文化同时，对黄山烧饼赞不绝口，据了解黄山烧饼月份销售额为万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计月份可以累计销售收入达万．设月收入的增长率为，则程可列为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意，设月收入的增长率为，则四月份销售额为，五月份销售额为，列出方程，即可．
【详解】设月收入的增长率为，
∴四月份销售额为；五月份销售额为，
∴列出方程为：．
故选：D．
【变式2】某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，试根据题意求的值 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】设平均每次降价的百分率为，依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
故答案为：．
【变式3】“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1537万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键．
设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为，利用这款新能源汽车2024年的销售量这款新能源汽车2022年的销售量这款新能源汽车销售量的年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为，
依题意得：．
故答案为：
考点2：传播问题
典例2：某小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发微信210条，则这个小组的人数为（ ）
A．21人 B．20人 C．14人 D．15人
【答案】D
【分析】设这个小组的人数为人，根据题意“全组共发微信210条”列出方程并求解，即可获得答案．
【详解】解：设这个小组的人数为人，
根据题意可得，
整理可得，
∴，
∴，（不合题意，舍去），
所以，这个小组的人数为15人．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清等量关系是解题关键．
【变式1】一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】每个人送礼物除了不送给自己其他人都有一件，故礼物总数为：人数×（人数1）即可得出对应方程．
【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物，
由题意列方程得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数的积．
【变式2】某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ．
【答案】7
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设这种植物每个支干长出x个小分支，根据“主干、支干和小分支的总数是57”，列出方程求解即可．
【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，
，
解得：（舍去），
∴这种植物每个支干长出7个小分支，
故答案为：7．
【变式3】请根据图片内容，回答下列问题：
（假设每轮传染人数相同）
每轮传染中，平均一个人传染了 个人．
【答案】10
【分析】设每轮传染中，平均一个人传染了人，根据“感染1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传染后共有121名感染者”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设每轮传染中，平均一个人传染了人，
依题意得：，
即，
解得：，（不符合题意，舍去），
每轮传染中，平均一个人传染了10人．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
考点3：循环问题
典例3：一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ）
A．11 B．12 C．22 D．33
【答案】B
【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据一共握了66次手列出方程求解．
【详解】解：设参加会议有x人，依题意得，
，
整理，得，
解得，，(舍去)
则参加这次会议的有12人．
故选：B．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为．
【变式1】中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（ ）
A．80个 B．120个 C．15个 D．16个
【答案】D
【分析】根据参赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛240场，可列出方程．
【详解】解：设参加比赛的队共有x，
根据题意可得：，
解得：，（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
【变式2】某校九(1)班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九(1)班有 名学生．
【答案】40
【分析】设有名学生，由题意知，计算求出符合要求的解即可．
【详解】解：设有名学生
由题意知
解得或（不符合要求，舍去）
故答案为：40．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列方程．
【变式3】2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡190张，设全班有名同学则可列方程为 ．
【答案】x(x-1)=190
【分析】根据题意x名同学，每个人送出（x-1）张贺卡，由此列出方程．
【详解】由题意得，
故答案为：．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
考点4：几何面积问题
典例4：如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键．
直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可．
【详解】解：由题意可得：，
即，故C正确．
故选：C．
【变式1】我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案，正确表示出圆的面积是解题关键．
【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是，
，
故选：B．
【变式2】一块面积为的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的3倍，若设长方体盒子高为，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，设长方体盒子高为，则宽为，被剪去的正方形边长为；根据题意可得，无盖的长方体盒子的表面积为：；被剪去的四个正方形的面积为：，二者相加为原矩形材料的面积，方程即可列出．
【详解】解：设长方体盒子高为，则宽为，被剪去的正方形边长为，
则无盖的长方体盒子的表面积为：；
被剪去的四个正方形的面积为：，
根据题意得：，
故答案为：．
【变式3】如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖长方体铁盒．设正方形的边长为，则可列方程为 ，剪去的正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．设正方形的边长为，则铁盒的底面长为，宽为，根据“底面积是”即可列出方程，求解即可．
【详解】解：设正方形的边长为，根据题意，得
，
解得：，（不合题意，舍去）
∴剪去的正方形的边长为．
故答案为：；
考点5：销售利润问题
典例5：一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【答案】(1)，
(2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元；
(3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答；
（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答．
【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，．
（2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
（3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
【变式1】某商店以元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售（元/千克）之间函数关系如图所示．
(1)求与函数关系式；
(2)商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为多少？
【答案】(1)；
(2)商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为元．
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，利用数形结合的思想解答即可；
（1）根据函数图像可以设出函数解析式，函数图像过点，，从而可以求出函数的解析式；
（2）根据题意可以列出相应的方程和不等式，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
则，
解得，，
即与函数关系式是；
（2）商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，设销售单价应定为元/千克，
，
解得，或，
又，
解得，，
故，
即商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为元．
【变式2】“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗．
(1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？
【答案】(1)年平均增长率为
(2)当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设年平均增长率为，则2025年接待游客万人，2026年接待游客万人，据此列出方程求解即可；
（2）设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润（售价成本价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设年平均增长率为，
依题意有．
解得，（舍去）．
答：年平均增长率为；
（2）解：设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，
依题意得：，
解得，，
每碗售价不得超过15元，
当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元．
【变式3】月日习近平总书记在广东考察时强调：推进中国式现代化，必须全面推进乡村振兴，解决好城乡区域发展不平衡问题，产业振兴是乡村报兴的重中之重，要落实产业帮扶致策，做好“土特产”文章，网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售“土特产”的方式，受到社会各界的追捧，某直播间销售某种“土特产”，每袋获利元，每天可卖出袋，通过市场调查发现：每袋“土特产”的售价每降低元，每天的销售量就增加袋．
(1)若每袋“土特产”的售价降低元，求每天的销售量．
(2)为尽快减少库存，商家决定降价销售，若要使得每天获利元，则每袋“土特产”的售价降低了多少元？
【答案】(1)每天的销售为袋；
(2)每袋“土特产”的售价降低了元．
【分析】（）利用每天的销售量每袋“土特产”的售价降低的钱数，即可求出结论；
（）设每袋“土特产”的售价降低了元，则每袋“土特产”的销售利润为元，每天可售出袋，根据题意列出方程，解出方程，然后再结合要尽快减少库存，即可得出结论；
本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）
答：每天的销售为袋；
（2）设每袋“土特产”的售价降低了元，则每袋“土特产”的销售利润为元，每天可售出袋，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵要尽快减少库存，
∴
答：每袋“土特产”的售价降低了元．
考点6：数字问题
典例6：一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
【答案】257
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解数字与每个位上的数字的关系是关键．设该三位数的百位数字是，则十位数字是，个位数字是．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程．
【详解】解：设该三位数的百位数字是为正整数），则十位数字是，个位数字是．则：
，
整理，得：，
所以．
所以或，
解得，或（舍去），
则，，
则该三位数是257．
答：这个数是257．
【变式1】【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数：
(1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？
(2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？
【答案】(1)
(2)这两个正整数分别是4和5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）首先求出这两个连续的正整数中较大的数是4，然后列式求解即可；
（2）设较小的整数是，则较大的整数是，根据题意列出方程，然后解方程即可．
【详解】（1）∵这两个连续的正整数中，较小的数是3，
∴较大的数是4，
∴它们的平方之和为；
（2）设较小的整数是，则较大的整数是，
由题可得：，
方程可化为：，
把方程左边因式分解，得：，
解得：，（舍去），
答：这两个正整数分别是4和5．
【变式2】一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．
【答案】两位数为92或29
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据个位数字与十位数字的平方和为85，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设个位数字为 x，则十位数字为，
，
解得：，
当时，两位数为92，
当时，两位数为29．
答：两位数为92或29．
【变式3】2023年9月23日，杭州第19届亚运会在浙江杭州奥体中心体育场举行了盛大的开幕仪式，在本月日历表上可以用一个黑色方框圈出3个数（如图所示），若圈出的三个数中，最小数与最大数的乘积为207，求中间的数（请用方程知识解答）．
【答案】中间的数为16
【分析】本题考查一元二次方程的应用．设中间的数为，根据日历上数字的规律用含的代数式表示上面和下面的数字，结合最小数与最大数的乘积为207，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】解：设中间的数为x．
根据题意，得：
解得，（不合题意，舍去）．
答：中间的数为16．
考点7：工程问题
典例7：某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2)的值为10
【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，
根据题意得，
，
解得：，
则，
答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
，
整理得，，
解得：，（舍去），
∴的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．
【变式1】2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵
(2)物业管理公司实际购买两种树共56棵
【分析】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案．
（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到 方程式求出满足条件的值，即可得出答案．
【详解】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，
根据题意，可得，
解得，．
答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．
（2）根据题意，可得 ，
整理得，，
解得：，，
∵，∴，
∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，
答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键．
【变式2】由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．
(1)求、两点各有多少名医护人员？
(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？
【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人
(2)从B检测队中抽调了2人到A检测队
【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人，
依题意得：，分解得：
答：A检测队有6人，B检测队有7人；
（2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人，
依题意得：，
解得：，解得：，，
由于从B对抽调部分人到A检测队，则故，
答：从B检测队中抽调了2人到A检测队．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式3】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子
(2)400
【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题．
（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程．
【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子
由题意得：解得：
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．
（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子
由题意得：
整理得：
解得：，，
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数
∴
∴200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键．
考点8：动态几何问题
典例8：已知：如图，在矩形中，，，动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动．当点停止运动时点也停止运动，设运动的时间为．
(1)点和点两点从出发开始到几秒，四边形的面积是；
(2)点和点两点从出发开始到几秒，点和点之间的距离是；
(3)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．
【答案】(1)秒
(2)秒
(3)当为或或或时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形
【分析】本题属于动点问题，动点几何问题的解题方法：根据图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置），利用动点位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用数形结合的转化的思想将几何问题转化为函数和方程问题，进而通过函数的性质或解方程就可以解决问题了．
（1）由题意，根据运动的时间为，表示出，根据四边形的面积是可列方程，解方程即可解答；
（2）过于，则，由勾股定理可求出t的值，从而解答题目．
（3）过于，由勾股定理得：，，，分为三种情况：①时，②时，③时，分别求解即可；
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：作于，则，
由勾股定理得，
解得：(舍)．
（3）解：作于，
∵四边形是矩形，
，
由勾股定理得：，
，
，
分为三种情况：①时，即，
解得：(舍)，
②时，即，
解得：或，
∵时，，此时舍去；
③时，，
解得：或，
当为或或或时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．
【变式1】如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）．
(1)求的面积关于的函数解析式；
(2)若的面积是面积的，求的值；
(3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)不存在，理由见解析．
【分析】（）根据题意列出关系式即可；
（）列出方程，然后求解即可；
（）的面积等于的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有实数根；
本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，读懂题意，列出方程是解题的关键．
【详解】（1）由题意得：，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴当的面积是面积的时，，
整理得：，
解得：；
（3）解：不存在，理由：
由（）得，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程无实数根，
则不存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半．
【变式2】如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为．
(1)_________；_________；（用含的代数式表示）
(2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
（1）根据速度时间路程，列出代数式即可；
（2）如图，过点D作于H，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）根据题意得：，，
所以；
（2）如图，过点D作于H，
∵，即，
∴，
∴
∴
又∵D是的中点，
∴
∴，，
∴
∵的面积为
∴
∴
∴
整理得，
解得：，，
∴当或4时，的面积是．
【变式3】如图，在四边形中， ，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．
(1) ， （用含x的代数式表示）；
(2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值；
(3)填空：①当 时，四边形是菱形；
②当 时，四边形是矩形．
【答案】(1)，x
(2)1
(3)①2；②
【分析】（）根据题意即可求解；
（）过点作于，过点作的延长线于，可得四边形和四边形是矩形，得，，，可得，利用勾股定理得，在中，由勾股定理得，解方程得或，又根据，得，即可求解；
（）由菱形的性质得，即，解方程即可求解；
由矩形的性质得，即，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：过点作于，过点作的延长线于，则，
∵，，
∴，
∴，，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴不合，舍去，
∴；
（3）解：要使四边形是菱形，则，
即，
∴，
故答案为：；
要使四边形是矩形，则，
即，
∴
故答案为：，．
【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，解一元二次方程，勾股定理，不等式组的应用，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．
考点9：图表信息题
典例9：在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；
（3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）．
【答案】（1）证明见解析；（2）这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确．
【分析】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明；
（2）、设最大数为x，列出方程组解答即可；
（3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定．
【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7），
∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7），
=a2﹣1﹣（a2﹣49），
=48．
（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14），
依题意，得：x（x﹣14）＝435，
解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．
答：设这5个数中最大数为29．
（3）嘉琪的说法不正确．
设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确．
【点睛】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答．
【变式1】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费．
(1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元
(2)下表是9、10月份的用电和交费情况：
月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元)
9 80 25
10 45 10
根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？
(3)求8月份该户居民应交电费多少元
【答案】(1)超过部分应交(元)；(2) ；(3) 8月份该户居民交电费元．
【分析】根据题意直接一元二次方程求解，即可得到题目所问.
【详解】解：(1)超过部分应交(元)；
(2)由9月份交电费元，该户9月份用电量已超过规定的，所以9月份超过部分应交电费，即，解得，，由10月份的交电费元看，该户10月份的用电量没有超过，所以．所以．
(3)当时，超过部分应交元，所以8月份该户居民交电费元．
【点睛】本题考查了学生对一元二次方程在实际生活中的应用，掌握根据题意列方程是解决此题的关键.
【变式2】某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A 千瓦·时，那么这户居民这个月只需交10元电费；如果超过A 千瓦·时，则这个月除了要交10元的用电费以外，超过的部,分还要按每千瓦·时 元交费．
（1）该厂某居民2月份用电90千瓦·时，超过了规定的 A 千瓦·时，则超过的部分应交电费 元(用A 表示);
（2）下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况:
月份 用电量（千瓦时） 交电费总数（元）
3 80 25
4 45 10
根据上表数据，你能求电厂规定的A的值吗 试试看．
【答案】（1）；（2）50
【详解】分析：（1）由于超过部分要按每千瓦时元收费，所以超过部分电费（90 A） ，化简即可；
（2）依题意，得：（80 A） ＝15，解方程即可．此外从表格中知道没有超过45时，电费还是10元，由此可以舍去不符合题意的结果．
详解：（1）(90 A)×；
（2）由表中数据可知(80 A)×＋10＝25，
得 A2 80A＋1500＝0，
解得 A1＝30，A2＝50，
又∵用电45千瓦 时，付费总额10元，
∴A＞45，
∴A＝50
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，然后列出方程是解题的关键．
【变式3】某旅行社一则旅游消息如下：
旅游人数 收费标准
不超过人 人均收费元
超过人 每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元
(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人．
(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？
【答案】(1)15；
(2)乙公司人．
【分析】（1）设甲公司员工有x人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准，判断出两次都不超过10人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案；
（2）设乙公司员工人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了10人，再根据每增加一人，人均收费减少60元，列出方程，求出的值，再根据人均收费不低于1500元，即可得出乙公司去的人数．
【详解】（1）解：设甲公司有人，
，
，
（人）．
故答案为：
（2）设乙公司人，
，
，，
若，每人费用：，不符舍去，
若，每人费用：，符合，
答：乙公司人．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键．
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专题04 实际问题与一元二次方程
考点类型
知识一遍过
（一）解一元二次方程步骤
解题步骤：列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”：弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”：指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”：指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”：就是求出说列方程的解；
“答”：就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
（二）一元二次方程实际应用常见类型
（1）单双循环问题：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量）
（2）传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数
（3）增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数，
原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。
（4）几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。
利用面积公式建立二元一次方程。
（5）销售利润问题：总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
考点一遍过
考点1：增长率问题
典例1：中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，则列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】年月．锦绣中学组织七八年级学生到皖南研学游，同学们在学习徽文化同时，对黄山烧饼赞不绝口，据了解黄山烧饼月份销售额为万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计月份可以累计销售收入达万．设月收入的增长率为，则程可列为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，试根据题意求的值 ．
【变式3】“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1537万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为 ．
考点2：传播问题
典例2：某小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发微信210条，则这个小组的人数为（ ）
A．21人 B．20人 C．14人 D．15人
【变式1】一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ．
【变式3】请根据图片内容，回答下列问题：
（假设每轮传染人数相同）
每轮传染中，平均一个人传染了 个人．
考点3：循环问题
典例3：一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ）
A．11 B．12 C．22 D．33
【变式1】中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（ ）
A．80个 B．120个 C．15个 D．16个
【变式2】某校九(1)班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九(1)班有 名学生．
【变式3】2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡190张，设全班有名同学则可列方程为 ．
考点4：几何面积问题
典例4：如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】一块面积为的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的3倍，若设长方体盒子高为，则可列方程为 ．
【变式3】如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖长方体铁盒．设正方形的边长为，则可列方程为 ，剪去的正方形的边长为 ．
考点5：销售利润问题
典例5：一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【变式1】某商店以元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售（元/千克）之间函数关系如图所示．
(1)求与函数关系式；
(2)商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为多少？
【变式2】“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗．
(1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？
【变式3】月日习近平总书记在广东考察时强调：推进中国式现代化，必须全面推进乡村振兴，解决好城乡区域发展不平衡问题，产业振兴是乡村报兴的重中之重，要落实产业帮扶致策，做好“土特产”文章，网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售“土特产”的方式，受到社会各界的追捧，某直播间销售某种“土特产”，每袋获利元，每天可卖出袋，通过市场调查发现：每袋“土特产”的售价每降低元，每天的销售量就增加袋．
(1)若每袋“土特产”的售价降低元，求每天的销售量．
(2)为尽快减少库存，商家决定降价销售，若要使得每天获利元，则每袋“土特产”的售价降低了多少元？
考点6：数字问题
典例6：一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
【变式1】【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数：
(1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？
(2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？
【变式2】一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．
【变式3】2023年9月23日，杭州第19届亚运会在浙江杭州奥体中心体育场举行了盛大的开幕仪式，在本月日历表上可以用一个黑色方框圈出3个数（如图所示），若圈出的三个数中，最小数与最大数的乘积为207，求中间的数（请用方程知识解答）．
考点7：工程问题
典例7：某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
【变式1】2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
【变式2】由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．
(1)求、两点各有多少名医护人员？
(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？
【变式3】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
考点8：动态几何问题
典例8：已知：如图，在矩形中，，，动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动．当点停止运动时点也停止运动，设运动的时间为．
(1)点和点两点从出发开始到几秒，四边形的面积是；
(2)点和点两点从出发开始到几秒，点和点之间的距离是；
(3)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．
【变式1】如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）．
(1)求的面积关于的函数解析式；
(2)若的面积是面积的，求的值；
(3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
【变式2】如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为．
(1)_________；_________；（用含的代数式表示）
(2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？
【变式3】如图，在四边形中， ，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．
(1) ， （用含x的代数式表示）；
(2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值；
(3)填空：①当 时，四边形是菱形；
②当 时，四边形是矩形．
考点9：图表信息题
典例9：在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；
（3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）．
【变式1】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费．
(1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元
(2)下表是9、10月份的用电和交费情况：
月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元)
9 80 25
10 45 10
根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？
(3)求8月份该户居民应交电费多少元
【变式2】某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A 千瓦·时，那么这户居民这个月只需交10元电费；如果超过A 千瓦·时，则这个月除了要交10元的用电费以外，超过的部,分还要按每千瓦·时 元交费．
（1）该厂某居民2月份用电90千瓦·时，超过了规定的 A 千瓦·时，则超过的部分应交电费 元(用A 表示);
（2）下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况:
月份 用电量（千瓦时） 交电费总数（元）
3 80 25
4 45 10
根据上表数据，你能求电厂规定的A的值吗 试试看．
【变式3】某旅行社一则旅游消息如下：
旅游人数 收费标准
不超过人 人均收费元
超过人 每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元
(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人．
(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？
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