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微专题02 根与系数的应用通关专练
一、单选题
1．方程的两个根分别为，则的值为( )
A．-7 B．7 C．3 D．-3
2．若关于x的方程x2-bx+6=0的一根是x=2，则另一根是（ ）
A．x=-3 B．x=-2 C．x=2 D．x=3
3．若矩形的长和宽是方程x2－7x+12=0的两根，则矩形的对角线长度为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
4．一元二次方程根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个正根，且有一根大于2
C．有两个负根，且都小于 D．有一个正根，一个负根
5．已知x1、x2是关于x的方程x2+mx﹣1＝0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2 B．x1+x2＜0 C．x1 x2＞0 D．x1＞0，x2＜0
6．如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实根．那么以下结论正确的是（ ）
A．k＞1 B．k＝﹣1 C．k≥﹣1 D．k＜﹣1
7．如果是一元二次方程的两个根，那么多项式的值等于（ ）
A．2018 B．2012 C． D．
8．设a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值为（ ）
A．﹣18 B．21 C．﹣20 D．18
9．已知：x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则2x12+x22﹣2x1＝（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
10．若关于x的方程有两个实数根x1、x2，则的最小值为（ ）
A．-2 B． C． D．
11．已知是方程的两个根，则代数式的值是（ ）
A．37 B．26 C．13 D．10
12．设方程的两个根为，，那么的值等于（ ）．
A．3 B． C．5 D．0
13．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝﹣，x1 x2＝．根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
14．若，是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
15．已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2021 B．2023 C．2024 D．2025
二、填空题
16．已知关于的方程的两个实数根互为倒数，则的值为 ．
17．若是方程的两个根，且，则m的值为 ．
18．已知、是方程的两个实数根，则 ．
19．已知实数a，b是方程x2－x－1＝0的两根，则的值为 ．
20．已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则 ．
21．已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一根为 ．
22．若a，b是关于x的方程的两个实数根，则 ．
23．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
24．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
25．若，是方程的两根，则 ．
三、解答题
26．阅读材料：已知方程a22a1=0，12bb2=0且ab≠1，求的值.
解：由a22a1=0及12bb2=0，
可知a≠0，b≠0，
又∵ab≠1，.
12bb2=0可变形为
，
根据a22a1=0和的特征.
、是方程x22x1=0的两个不相等的实数根，
则，即.
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.
已知：3m27m2=0，2n2+7n3=0且mn≠1，求的值.
27．已知关于的一元二次方程.
（1）对于任意的实数，判断该方程根的情况，并说明理由.
（2）若是这个方程的一个根，求的值及方程的另一根.
28．材料一：法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的根完全由它的系数决定，当时有两根：，；
于是，两根之和为；
两根之积为；
(1)已知一元二次方程的两个根满足，且、、分别是的、、的对边，若，求的度数．
(2)在上题中，将方程改为，要得到，而条件“”不变，那么应对条件中的的值是多少？请说明理由．
(3)已知一元二次方程的两根满足，且、、分别是的、、的对边，若，，求的值．
29．已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
30．已知关于的一元二次方程有实数根，两根分别、．
(1)求的取值范围；
(2)当为负整数时，求的值．
31．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求a的取值范围；
(2)若，满足，求a的值．
32．（1）解方程：2（x2﹣x）＝x2．
（2）已知方程x2+x+k+1＝0有一个根是2，求另一个根．
33．阅读理解：材料一：对于任意的非零实数和正实数，如果满足是整数，则称是的一个“整商系数”， 例如：时 ，则是的一个“整商系数”；时， ，则也是的一个“整商系数”；
结论：一个非零实数有无数个整商系数，其中最小的一个整商系数记为，例如： ．
材料二：对于一元二次方程中，两根有如下关系：， 应用：
（1）若实数满足，求的取值范围；
（2）关于的方程的两个根分别为，且满足， 则的值为多少？
34．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若该方程的两个实数根分别为，且，求m的值．
35．附加题：已知，是关于的一元二次方程的两个根，且，是直角三角形的两直角边，斜边的长为．求，，的值．
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微专题02 根与系数的应用通关专练
一、单选题
1．方程的两个根分别为，则的值为( )
A．-7 B．7 C．3 D．-3
【答案】B
【分析】由根与系数的关系得出，将其代入中即可得出结论．
【详解】解：∵方程的两个根分别为，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题，难度不大．解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．
2．若关于x的方程x2-bx+6=0的一根是x=2，则另一根是（ ）
A．x=-3 B．x=-2 C．x=2 D．x=3
【答案】D
【分析】把x=2代入方程x2-bx+6=0，求出b，得出方程，再求出方程的解即可．
【详解】解：把x=2代入方程x2-bx+6=0得：4-2b+6=0，
解得：b=5，
即方程为x2-5x+6=0，
解得：x=2或3，
即方程的另一个根是x=3，
故选：D．
【点睛】此题考查解一元二次方程，一元二次方程的解和根与系数的关系，能求出b的值是解题的关键．
3．若矩形的长和宽是方程x2－7x+12=0的两根，则矩形的对角线长度为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【答案】A
【详解】解：设矩形的长和宽分别为a、b，则a+b=7，ab=12，所以矩形的对角线长====5．故选A．
4．一元二次方程根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个正根，且有一根大于2
C．有两个负根，且都小于 D．有一个正根，一个负根
【答案】D
【分析】先求出根的判别式判断根的情况，再利用根与系数的关系可得对答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有2个不相等的实数根．
∵，
∴方程有一个正根，一个负根．
故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．
5．已知x1、x2是关于x的方程x2+mx﹣1＝0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2 B．x1+x2＜0 C．x1 x2＞0 D．x1＞0，x2＜0
【答案】A
【分析】先计算判别式的值得到△＝m2+4＞0，根据判别式的意义可判断方程有两个不相等的实数解，再利用根与系数的关系得到x1、x2异号，然后对各选项进行判断．
【详解】解：根据题意得△＝m2﹣4×（﹣1）＝m2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数解，
∵x1x2＝﹣1＜0，
∴x1、x2异号．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了根的判别式．
6．如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实根．那么以下结论正确的是（ ）
A．k＞1 B．k＝﹣1 C．k≥﹣1 D．k＜﹣1
【答案】C
【分析】根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】解：由题意知△＝(-2) ﹣4×1×(-k)≥0，
解得：k≥-1，
故选：C
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
7．如果是一元二次方程的两个根，那么多项式的值等于（ ）
A．2018 B．2012 C． D．
【答案】A
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，，进而得出，则原式化简为，接着利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，，
∴，
∴
，
∵m、n是一元二次方程即的两个实数根，
∴，，
∴原式．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．
8．设a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值为（ ）
A．﹣18 B．21 C．﹣20 D．18
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系看得a+b＝﹣2，由a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根看得a2+2a＝20，进而可以得解．
【详解】解：∵a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，
∴a2+2a＝20，
a+b＝﹣2，
∴a2+3a+b
＝a2+2a+a+b
＝20﹣2＝18
则a2+3a+b的值为18．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系式解此题的关键.
9．已知：x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则2x12+x22﹣2x1＝（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系结合一元二次方程的解可得出：x12-2x1=5，x1+x2=2，x1x2=-5，将其代入2x12+x22-2x1=（x12-2x1）+（x1+x2）2-2x1x2中即可求出结论．
【详解】∵x1，x2是方程x2-2x-5=0的两根，
∴x12-2x1=5，x1+x2=2，x1x2=-5，
∴2x12+x22-2x1=（x12-2x1）+（x1+x2）2-2x1x2=5+22-2×（-5）=19．
故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用根与系数的关系及一元二次方程的解找出x12-2x1=5，x1+x2=2，x1x2=-5是解题的关键．
10．若关于x的方程有两个实数根x1、x2，则的最小值为（ ）
A．-2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系以及一元二次方程的解得到关于m的等式，配方后求解即可．
【详解】解：∵方程x2+2mx+m2+3m 2=0的两个实根为x1，x2，
∴x1+x2=-2m，x22+2mx2+m2+3m 2=0，即x22=-2mx2-m2-3m+2，
x1 (x2+x1)+x22
=-2mx1-2mx2-m2-3m+2
=-2m(x1+x2)-m2-3m+2
=4m2-m2-3m+2
=3m2-3m+2
=3(m-)2+，
∵3≥0，
∴m=时，x1 (x2+x1)+x22的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2=．也考查了完全平方公式．
11．已知是方程的两个根，则代数式的值是（ ）
A．37 B．26 C．13 D．10
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系可得，，然后化简代数式，再把前面的值代入即可求出．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键．
12．设方程的两个根为，，那么的值等于（ ）．
A．3 B． C．5 D．0
【答案】C
【分析】根据韦达定理得出α+β==-1，αβ==-2，将变为（α+β）2-2αβ，在求解即可．
【详解】∵方程的两个根为，，
∴α+β==-1，αβ==-2，
=（α+β）2-2αβ=（-1）2-2×（-2）=5，
故选：C．
【点睛】本题考查了韦达定理，完全平方公式，将原式变形为（α+β）2-2αβ是解题关键．
13．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝﹣，x1 x2＝．根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】∵x1、x2是方程x2+6x+3=0两个实数根，
∴x1+x2=-6，x1x2=3，
∴=．
故选D.．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
14．若，是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】欲求2x12﹣2x1+x22+3的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，∴x12﹣2x1=4，x1x2=﹣4，x1+x2=2，∴2x12﹣2x1+x22+3
=x12﹣2x1+x12+x22+3
=x12﹣2x1+（x1+x2）2﹣2x1x2+3
=4+4+8+3=19．
故选A．
【点睛】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
15．已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2021 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】根据，是方程的两个实数根，得出，，变形，然后整体代入求出结果即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．
二、填空题
16．已知关于的方程的两个实数根互为倒数，则的值为 ．
【答案】
【分析】若a=±1，方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0变为一元一次方程时，此时方程一定只有一解，所以a一定不能为±1．又因为方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0的两个实数根互为倒数，所以△＞0，两根之积等于1，由此得到关于a的方程，解方程即可求出a的值．
【详解】解：∵方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0有两个实数根，
∴a≠±1，
设方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0的两个实数根分别为α、β，
又∵方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0的两个实数根互为倒数，
∴αβ==1，
解得a=±，
∵a=-时，△=[-（a+1）]2-4×（a2-1）
=（1-）2-4×1
=-2-1＜0，
∴a=-时方程（a2-1）x2-（a+1）x+1=0无解，
因此a=-舍去，
∴a=，
故答案为：
【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、根的判别式等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17．若是方程的两个根，且，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】根据根与系数的关系结合 ，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而即可确定m的值，此题得解．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
整理得：
∴
∴，，
∵方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合，列出关于m的一元二次方程是解题的关键．
18．已知、是方程的两个实数根，则 ．
【答案】-1
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2、x1x2的值，代入并利用完全平方公式变形计算即可得出结论．
【详解】解：∵方程的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=2，x12+x1=-5，
∴===-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，解题的关键是根据根与系数的关系得到x1+x2，x1x2．
19．已知实数a，b是方程x2－x－1＝0的两根，则的值为 ．
【答案】－3
【详解】解：∵实数a，b是方程x2-x-1=0的两根，
∴a+b=1，ab=-1，
∴．
故答案为：-3．
20．已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则 ．
【答案】
【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得+、 ，代入求解即可．
【详解】解：∵实数、满足，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
∴，
∵一元二次方程的两个实数根分别为、，
∴+=2， =﹣3，
∴=，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．
21．已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一根为 ．
【答案】3
【分析】设方程x2-2x-k=0的解为x1、x2，根据根与系数的关系即可得出x1+x2=2，代入x1=-1即可求出x2的值．
【详解】解：设方程x2-2x-k=0的解为x1、x2，
则有：x1+x2=2，
∵x1=-1，
∴x2=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和等于-是解题的关键．
22．若a，b是关于x的方程的两个实数根，则 ．
【答案】2020
【分析】由a，b是关于x的方程的两个实数根得，，，再整理代数式即可求得答案．
【详解】解： a，b是的两个实数根，
，a+b=2,
即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出，是解题的关键．
23．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】4
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形求解即可得．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
24．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则化为，再利用根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元二次方程的解，求代数式的值，运用了整体代入的思想．
25．若，是方程的两根，则 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得出、，代入代数式求值即可．
【详解】解：，是方程的两根，
、，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
三、解答题
26．阅读材料：已知方程a22a1=0，12bb2=0且ab≠1，求的值.
解：由a22a1=0及12bb2=0，
可知a≠0，b≠0，
又∵ab≠1，.
12bb2=0可变形为
，
根据a22a1=0和的特征.
、是方程x22x1=0的两个不相等的实数根，
则，即.
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.
已知：3m27m2=0，2n2+7n3=0且mn≠1，求的值.
【答案】
【分析】将2n2+7n3=0变形为,再根据3m27m2=0和的特征，利用根与系数的关系得到，，问题得解.
【详解】解：由3m27m2=0及2n2+7n3=0
可知m≠0，m≠0，
又∵mn≠1，.
2n2+7n3=0可变形为
，
根据3m27m2=0和的特征.
∴m、是方程3x27x2=0的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得，，
∴.
∴，
∴.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，，.
27．已知关于的一元二次方程.
（1）对于任意的实数，判断该方程根的情况，并说明理由.
（2）若是这个方程的一个根，求的值及方程的另一根.
【答案】（1）理由见解析；（2），方程的另一根为.
【分析】（1）由方程的判别式△=b2-4ac计算的结果和0比较大小即可知道方程根的情况．
（2）把x=-1代入原方程即可求出m的值，解方程进而求出方程的另一个根.
【详解】（1）由题意，得：，
∵，
∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根.
（2）将代入方程，得：，
原方程：，
解得：，.
∴方程的另一根为：.
【点睛】本题主要是根据方程的解的定义求得未知系数，把判断一元二次方程的根的情况转化为根据判别式判断式子的值与0的大小关系的问题．
28．材料一：法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的根完全由它的系数决定，当时有两根：，；
于是，两根之和为；
两根之积为；
(1)已知一元二次方程的两个根满足，且、、分别是的、、的对边，若，求的度数．
(2)在上题中，将方程改为，要得到，而条件“”不变，那么应对条件中的的值是多少？请说明理由．
(3)已知一元二次方程的两根满足，且、、分别是的、、的对边，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）先由题意得到，再根据完全平方公式的变形得到，由此建立方程，推出，如图所示，过点B作于D，则，，解直角三角形求出，则；
（2）根据（1）可以推出，由此即可得到答案；
（3）如图所示，过点C作于D，解直角三角形得到，，则，即可推出，再由，得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点B作于D，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
由题意得，，
∴，
由（1）可知，当时，，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作于D，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，数据处理较大，较难．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
29．已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，即可求解；
（）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）∵，，
∴ ．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
30．已知关于的一元二次方程有实数根，两根分别、．
(1)求的取值范围；
(2)当为负整数时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式及根与系数关系．
（1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可得到的取值范围；
（2）在（1）的范围内确定的负整数值为，则原方程变形为，然后再利用根与系数关系及方程的解求值即可．
【详解】（1）关于x的一元二次方程有实数根，
，
解得：；
（2），m为负整数，
，
方程为，
，
，
，
．
31．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求a的取值范围；
(2)若，满足，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根, 可知方程的判别式大于0，据此列不等式即可求解；
（2） 根据根与系数的关系得出，代入中即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若,是方程的两个根, 则有，，掌握该知识点是解答本题的关键．
【详解】（1）（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即
∴；
（2）∵，，
由得，，
∴，解得，，
∵，
∴
32．（1）解方程：2（x2﹣x）＝x2．
（2）已知方程x2+x+k+1＝0有一个根是2，求另一个根．
【答案】（1）x1＝0，x2＝2；（2）﹣3．
【分析】（1）整理后，利用因式分解法求解即可；
（2）设另一个根为m，根据根与系数的关系得到m+2＝﹣1，即可求得m＝﹣3．
【详解】解：（1）化简，得x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0．
∴原方程的解为x1＝0，x2＝2，
（2）设另一个根为m，
∵a＝1，b＝1，
∴m+2＝﹣＝﹣1，
解得，m＝﹣3，
∴方程另一个根为﹣3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了解一元二次方程．
33．阅读理解：材料一：对于任意的非零实数和正实数，如果满足是整数，则称是的一个“整商系数”， 例如：时 ，则是的一个“整商系数”；时， ，则也是的一个“整商系数”；
结论：一个非零实数有无数个整商系数，其中最小的一个整商系数记为，例如： ．
材料二：对于一元二次方程中，两根有如下关系：， 应用：
（1）若实数满足，求的取值范围；
（2）关于的方程的两个根分别为，且满足， 则的值为多少？
【答案】（1）或 （2）
【分析】（1）根据分类讨论列出不等式解不等式即可．
（2）利用根与系数关系把，转化为含有b的方程，分类讨论即可．
【详解】解：（1） 因为：且，
所以：当时，
因为：，
所以：，
解得：，
所以：，
当时，
因为：，
所以：，
解得：，
所以：，
综上：或．
（2）设方程的两个根有， 由于 ，故与同号．
当时，，
所以：，所以：，
当时，，
所以：，所以：．
综上所述，b的值为±8．
【点睛】本题考查根与系数关系，解题的关键是理解题意，根据整商系数的定义解决问题，学会用转化的思想把问题转化为方程或不等式，题中也体现了分类讨论的数学思想．
34．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若该方程的两个实数根分别为，且，求m的值．
【答案】(1)
(2)－1
【分析】（1）利用根的判别式得到，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到，接着解关于m的方程，然后利用m的范围确定满足条件的m的值即可．
【详解】（1）解：∵ 关于x的一元二次方程有实数根，
∴ ，
解得．
（2）解：由根与系数的关系得：，，
，
，
或，
又，
．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，也考查了根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
35．附加题：已知，是关于的一元二次方程的两个根，且，是直角三角形的两直角边，斜边的长为．求，，的值．
【答案】，，；，，
【分析】本题主要考查利用根与系数的关系求解．根据根与系数的关系可得、的值，然后再联合已知中的，，可求出、、的值．
【详解】解：由题意得：，，，，
，
，
，
，
，，，．
，，；，，．
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